1[中]如图,点A,D,B,E在一条直线上,AC//DF,BC//EF,AC=DF,求证:AD=BE.

1.【证明】因为 AC // DF,BC // EF,所以 ∠A = ∠EDF, ∠ABC = ∠E. 又因为 AC = DF, 所以 △ABC ≌ △DEF (AAS), 所以 AB = DE, 所以 AB-BD = DE-BD, 所以 AD = BE.

2[中]如图(1)是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架示意图如图(2)所示，$AB=AE$，$AC=AD$，$∠ BAD=∠ EAC$，$∠ C=50°$，求$∠ D$的大小。

2.【解】因为 ∠BAD = ∠EAC, 所以 ∠BAD + ∠CAD=∠EAC+∠CAD,即 ∠BAC=∠EAD.
在△BAC与△EAD中,
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAC=∠EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
所以 △BAC ≌ △EAD(SAS), 所以 ∠D = ∠C = 50°.

3[中]如图,已知$AD=AB$,$AC=AE$,$∠DAB=∠CAE$,连接$DC$,$BE$.
(1)求证:$△ BAE ≌ △ DAC$.
(2)若$∠CAD=125°$,$∠D=20°$,求$∠E$的度数.

3. (1)【证明】因为 ∠DAB = ∠CAE, 所以 ∠DAB + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC, 所以 ∠DAC = ∠BAE. 又因为 AD = AB, AC = AE, 所以 △BAE ≌ △DAC (SAS).
(2)【解】因为 △BAE ≌ △DAC, 所以 ∠E = ∠C. 因为 ∠CAD = 125°, ∠D = 20°, 所以 ∠C = 180°-(∠CAD + ∠D) = 180°-(125°+20°) = 35°, 所以 ∠E = ∠C = 35°.

4[中]在平面内，正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连接DE，BH，两线段交于点M。求证：
(1)$BH=DE$.
(2)$BH ⊥ DE$.

4.【证明】(1)在正方形 ABCD 与正方形 CEFH 中, BC = DC, CH = CE, ∠BCD = ∠ECH = 90°, 所以 ∠BCD + ∠DCH = ∠ECH + ∠DCH, 即 ∠BCH = ∠DCE.
在△BCH 和 △DCE 中,
$\begin{cases} BC=DC, \\ ∠BCH=∠DCE, \\ CH=CE, \end{cases}$
所以 △BCH ≌ △DCE (SAS), 所以 BH = DE.
(2)设 BH 与 CD 相交于点 O. 因为 △BCH ≌ △DCE, 所以 ∠CBH = ∠CDE. 又因为 ∠BOC = ∠DOM, 所以 ∠DMB = ∠BCD = 90°, 所以 BH ⊥ DE.
思路分析
(2)根据全等三角形对应角相等可得 ∠CBH = ∠CDE, 然后根据三角形的内角和定理求出 ∠DMB = ∠BCD = 90° 即可证明结论.

5[较难]如图, 四边形 ABCD 中, ∠ABC = ∠BCD=90°,点 E 在 BC 边上,∠AED=90°.
(1)求证:∠BAE=∠CED.
(2)若AB+CD=DE,求证:AE+BE=CE.
(3)在(2)的条件下,若△CDE与△ABE的面积的差为18,CD=6,求BE的长.

5. (1)【证明】
∵ ∠AED = ∠ABC = 90°,
∴ ∠AEB + ∠CED = 180° - 90° = 90°, ∠BAE + ∠AEB = 90°,
∴ ∠BAE = ∠CED.
(2)【证明】在 ED 上取一点 F 使 EF = AB, 过点 F 作 FG ⊥ DE 交 BC 于点 G, 连接 DG, 如图所示.
由(1)知 ∠BAE = ∠FEG. 在 △ABE 和 △EFG 中,
$\begin{cases} ∠BAE=∠FEG, \\ AB=EF, \\ ∠ABE=∠EFG=90°, \end{cases}$
∴ △ABE ≌ △EFG (ASA),
∴ AE = EG, BE = FG.
∵ AB + CD = DE, EF + DF = DE,
∴ DF = CD.
在 Rt△DFG 和 Rt△DCG 中,
$\begin{cases} DG=DG, \\ DF=CD, \end{cases}$
∴ Rt△DFG ≌ Rt△DCG (HL),
∴ FG = CG,
∴ BE = CG,
∴ AE + BE = EG + CG = CE.
(3)【解】由(2)可知 △ABE ≌ △EFG, Rt△DFG ≌ Rt△DCG,
∴ S△ABE = S△EFG, S△DFG = S△DCG,
∴ S△CDE - S△ABE = 2S△CDG = 18,
∴ S△CDG = 9,
∴ $\frac{1}{2}CG·CD = 9$, 即 $\frac{1}{2}×CG×6 = 9$,
∴ CG = BE = 3.