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10.已知实数$a$在数轴上的位置如图所示，则化简$|a - 2| + \sqrt{(a - 4)^2}$的结果为（
A.2
B.−2
C.$2a - 6$
D.$-2a + 6$
A
）A.2
B.−2
C.$2a - 6$
D.$-2a + 6$
答案
10.A
解析
【分析】
首先观察数轴确定a的取值范围为2＜a＜4，再结合绝对值的性质、二次根式$\sqrt{x^2}=|x|$的性质，先判断绝对值内式子的正负性：a-2为正，a-4为负，再分别去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知，实数a的取值范围是$2 ＜ a ＜ 4$，
因此$a - 2 ＞ 0$，$a - 4 ＜ 0$。
根据绝对值的性质和二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式化简：
$|a - 2| + \sqrt{(a - 4)^2}$
$= |a - 2| + |a - 4|$
$= (a - 2) + (4 - a)$
$= a - 2 + 4 - a$
$= 2$
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用，绝对值化简，二次根式的性质
【点评】
本题属于基础题型，考查了数轴、绝对值与二次根式的综合应用，解题的核心是先通过数轴确定未知字母的取值范围，再根据相关性质去绝对值符号计算，熟练掌握对应性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先观察数轴确定a的取值范围为2＜a＜4，再结合绝对值的性质、二次根式$\sqrt{x^2}=|x|$的性质，先判断绝对值内式子的正负性：a-2为正，a-4为负，再分别去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知，实数a的取值范围是$2 ＜ a ＜ 4$，
因此$a - 2 ＞ 0$，$a - 4 ＜ 0$。
根据绝对值的性质和二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式化简：
$|a - 2| + \sqrt{(a - 4)^2}$
$= |a - 2| + |a - 4|$
$= (a - 2) + (4 - a)$
$= a - 2 + 4 - a$
$= 2$
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用，绝对值化简，二次根式的性质
【点评】
本题属于基础题型，考查了数轴、绝对值与二次根式的综合应用，解题的核心是先通过数轴确定未知字母的取值范围，再根据相关性质去绝对值符号计算，熟练掌握对应性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11.若$\sqrt{18x}$是一个正整数，则$x$可取的最小正整数的值为（
A.2
B.3
C.4
D.8
A
）A.2
B.3
C.4
D.8
答案
11.A
解析
【分析】
要使$\sqrt{18x}$为正整数，首先需要利用二次根式的性质化简被开方数，把能开得尽方的因数先提取出来，最终剩余的被开方数必须是完全平方数才能保证整个二次根式的结果为整数，据此推导x的最小正整数值即可。
【解析】
先对二次根式进行化简：
$\sqrt{18x}=\sqrt{9×2x}=\sqrt{9}×\sqrt{2x}=3\sqrt{2x}$
已知$\sqrt{18x}$是正整数，因此$3\sqrt{2x}$是正整数，即$\sqrt{2x}$必须是正整数，由此可得$2x$是完全平方数。
要取x的最小正整数值，即找最小的正整数x使得2x为完全平方数：
当x=2时，$2x=4$，4是最小的满足条件的完全平方数，此时$\sqrt{18x}=\sqrt{36}=6$，符合要求。
因此x可取的最小正整数为2。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的化简；完全平方数
【点评】
本题属于二次根式的基础应用题，解题核心是先将二次根式化为最简形式，再结合整数的要求判断剩余被开方数的特征，熟练掌握二次根式的化简规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要使$\sqrt{18x}$为正整数，首先需要利用二次根式的性质化简被开方数，把能开得尽方的因数先提取出来，最终剩余的被开方数必须是完全平方数才能保证整个二次根式的结果为整数，据此推导x的最小正整数值即可。
【解析】
先对二次根式进行化简：
$\sqrt{18x}=\sqrt{9×2x}=\sqrt{9}×\sqrt{2x}=3\sqrt{2x}$
已知$\sqrt{18x}$是正整数，因此$3\sqrt{2x}$是正整数，即$\sqrt{2x}$必须是正整数，由此可得$2x$是完全平方数。
要取x的最小正整数值，即找最小的正整数x使得2x为完全平方数：
当x=2时，$2x=4$，4是最小的满足条件的完全平方数，此时$\sqrt{18x}=\sqrt{36}=6$，符合要求。
因此x可取的最小正整数为2。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的化简；完全平方数
【点评】
本题属于二次根式的基础应用题，解题核心是先将二次根式化为最简形式，再结合整数的要求判断剩余被开方数的特征，熟练掌握二次根式的化简规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
12.已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且$ ab = 10 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{5 - a} $，则该等腰三角形的周长为
12
。答案
12.12
解析
【分析】
解题时首先根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，先求出a的取值，再代入原式算出b的值。接下来结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论边长组合，最后用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证组合是否成立，进而计算符合条件的周长。
【解析】
1. 求a的值：
要使$\sqrt{a-5}$和$\sqrt{5-a}$有意义，需满足$\begin{cases}a-5≥0 \\5-a≥0\end{cases}$，解得$a≥5$且$a≤5$，因此$a=5$。
2. 求b的值：
将$a=5$代入$ab = 10 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{5 - a}$，得$5b=10+\sqrt{0}+\sqrt{0}=10$，解得$b=2$。
3. 结合等腰三角形性质和三边关系计算周长：
已知等腰三角形两边长为5和2，分两种情况讨论：
① 若腰长为2，底边长为5，三边长为2、2、5，此时$2+2=4＜5$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，舍去；
② 若腰长为5，底边长为2，三边长为5、5、2，此时$5+2＞5$，$5+5＞2$，满足三边关系，周长为$5+5+2=12$。
【答案】
12
【知识点】
二次根式有意义的条件；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是二次根式和三角形性质的综合基础题，易错点是求出a、b的值后，直接默认两种边长组合都能构成三角形，忽略三边关系的验证，做题时要注意对三角形边长的合理性进行检验。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，先求出a的取值，再代入原式算出b的值。接下来结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论边长组合，最后用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证组合是否成立，进而计算符合条件的周长。
【解析】
1. 求a的值：
要使$\sqrt{a-5}$和$\sqrt{5-a}$有意义，需满足$\begin{cases}a-5≥0 \\5-a≥0\end{cases}$，解得$a≥5$且$a≤5$，因此$a=5$。
2. 求b的值：
将$a=5$代入$ab = 10 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{5 - a}$，得$5b=10+\sqrt{0}+\sqrt{0}=10$，解得$b=2$。
3. 结合等腰三角形性质和三边关系计算周长：
已知等腰三角形两边长为5和2，分两种情况讨论：
① 若腰长为2，底边长为5，三边长为2、2、5，此时$2+2=4＜5$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，舍去；
② 若腰长为5，底边长为2，三边长为5、5、2，此时$5+2＞5$，$5+5＞2$，满足三边关系，周长为$5+5+2=12$。
【答案】
12
【知识点】
二次根式有意义的条件；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是二次根式和三角形性质的综合基础题，易错点是求出a、b的值后，直接默认两种边长组合都能构成三角形，忽略三边关系的验证，做题时要注意对三角形边长的合理性进行检验。
【难度系数】
0.7
13.已知实数$x$，$y$满足$x^2 -10x +25 + \sqrt{y+6}=0$，则$(x+y)^{2026}$的值为
1
。答案
13.1
解析
【分析】
解题时首先观察等式左边的结构，其中多项式$x^2-10x+25$符合完全平方公式的形式，可变形为平方形式，再结合算术平方根的非负性分析：我们学过平方数和算术平方根都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自都为0，据此可列出方程求出$x$、$y$的值，最后代入$(x+y)^{2026}$计算即可。
【解析】
首先对等式左边的多项式因式分解：
$x^2 -10x +25 + \sqrt{y+6}=(x-5)^2 + \sqrt{y+6}=0$
根据非负数的性质：平方数和算术平方根均为非负数，即$(x-5)^2≥0$，$\sqrt{y+6}≥0$，两个非负数相加和为0时，每个非负数的值都为0，因此可得：
$\begin{cases}x-5=0\\y+6=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=5\\y=-6\end{cases}$
将$x=5$，$y=-6$代入$(x+y)^{2026}$得：
$(x+y)^{2026}=(5-6)^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
1
【知识点】
完全平方公式；非负数的性质；有理数的乘方
【点评】
本题是常考的基础题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的变形，以及“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质，代入计算时要注意负数乘方的符号规律，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察等式左边的结构，其中多项式$x^2-10x+25$符合完全平方公式的形式，可变形为平方形式，再结合算术平方根的非负性分析：我们学过平方数和算术平方根都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自都为0，据此可列出方程求出$x$、$y$的值，最后代入$(x+y)^{2026}$计算即可。
【解析】
首先对等式左边的多项式因式分解：
$x^2 -10x +25 + \sqrt{y+6}=(x-5)^2 + \sqrt{y+6}=0$
根据非负数的性质：平方数和算术平方根均为非负数，即$(x-5)^2≥0$，$\sqrt{y+6}≥0$，两个非负数相加和为0时，每个非负数的值都为0，因此可得：
$\begin{cases}x-5=0\\y+6=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=5\\y=-6\end{cases}$
将$x=5$，$y=-6$代入$(x+y)^{2026}$得：
$(x+y)^{2026}=(5-6)^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
1
【知识点】
完全平方公式；非负数的性质；有理数的乘方
【点评】
本题是常考的基础题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的变形，以及“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质，代入计算时要注意负数乘方的符号规律，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
14.当$x$满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) $\frac{\sqrt{x}}{x-5}$；
(2) $\sqrt{-(x+2)^2}$；
(3) $\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}$；
(4) $\frac{3}{2-\sqrt{x}}$。
(1) $\frac{\sqrt{x}}{x-5}$；
(2) $\sqrt{-(x+2)^2}$；
(3) $\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}$；
(4) $\frac{3}{2-\sqrt{x}}$。
答案
14.解:(1)$x≥0$ 且$x≠5$;(2)$x=-2$;(3)$-1≤x≤2$;(4)$x≥0$ 且$x≠4$.
解析
【分析】
解决这类“代数式在实数范围内有意义”的问题，核心要牢记两个规则：1. 二次根式的被开方数必须是非负数（即≥0）；2. 分式的分母不能为0。解题时先找出每个式子中含有的二次根式、分式，分别列出对应的限制条件，再解不等式（组），取所有条件的公共部分即可得到结果。
(1) 式子包含二次根式$\sqrt{x}$和分式，所以既要满足被开方数$x≥0$，又要满足分母$x-5≠0$；
(2) 式子只有二次根式，被开方数是$-(x+2)^2$，注意平方数本身是非负的，所以只有被开方数等于0时才满足≥0的要求；
(3) 式子包含两个二次根式，两个被开方数都要满足≥0，解不等式组即可；
(4) 式子包含二次根式$\sqrt{x}$和分式，既要满足被开方数$x≥0$，又要满足分母$2-\sqrt{x}≠0$。
【解析】
(1) 要使$\frac{\sqrt{x}}{x-5}$有意义，需同时满足：
$\begin{cases}x≥0 \\x-5≠0\end{cases}$
解得$x≥0$且$x≠5$。
(2) 要使$\sqrt{-(x+2)^2}$有意义，需满足被开方数非负：
$-(x+2)^2≥0$
$\because (x+2)^2≥0$，$\therefore$ 只有$(x+2)^2=0$时不等式成立，解得$x=-2$。
(3) 要使$\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}$有意义，需同时满足两个二次根式的被开方数非负：
$\begin{cases}x+1≥0 \\2-x≥0\end{cases}$
解第一个不等式得$x≥-1$，解第二个不等式得$x≤2$，综上$-1≤ x≤2$。
(4) 要使$\frac{3}{2-\sqrt{x}}$有意义，需同时满足：
$\begin{cases}x≥0 \\2-\sqrt{x}≠0\end{cases}$
由$2-\sqrt{x}≠0$得$\sqrt{x}≠2$，即$x≠4$，综上$x≥0$且$x≠4$。
【答案】
(1)$x≥0$ 且$x≠5$;(2)$x=-2$;(3)$-1≤x≤2$;(4)$x≥0$ 且$x≠4$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式组
【点评】
本题是代数式有意义的基础题型，解题的关键是准确识别式子中的所有限制条件，不要遗漏分母不为0的要求，多个条件同时成立时需取各条件解集的公共部分。
【难度系数】
0.8
解决这类“代数式在实数范围内有意义”的问题，核心要牢记两个规则：1. 二次根式的被开方数必须是非负数（即≥0）；2. 分式的分母不能为0。解题时先找出每个式子中含有的二次根式、分式，分别列出对应的限制条件，再解不等式（组），取所有条件的公共部分即可得到结果。
(1) 式子包含二次根式$\sqrt{x}$和分式，所以既要满足被开方数$x≥0$，又要满足分母$x-5≠0$；
(2) 式子只有二次根式，被开方数是$-(x+2)^2$，注意平方数本身是非负的，所以只有被开方数等于0时才满足≥0的要求；
(3) 式子包含两个二次根式，两个被开方数都要满足≥0，解不等式组即可；
(4) 式子包含二次根式$\sqrt{x}$和分式，既要满足被开方数$x≥0$，又要满足分母$2-\sqrt{x}≠0$。
【解析】
(1) 要使$\frac{\sqrt{x}}{x-5}$有意义，需同时满足：
$\begin{cases}x≥0 \\x-5≠0\end{cases}$
解得$x≥0$且$x≠5$。
(2) 要使$\sqrt{-(x+2)^2}$有意义，需满足被开方数非负：
$-(x+2)^2≥0$
$\because (x+2)^2≥0$，$\therefore$ 只有$(x+2)^2=0$时不等式成立，解得$x=-2$。
(3) 要使$\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}$有意义，需同时满足两个二次根式的被开方数非负：
$\begin{cases}x+1≥0 \\2-x≥0\end{cases}$
解第一个不等式得$x≥-1$，解第二个不等式得$x≤2$，综上$-1≤ x≤2$。
(4) 要使$\frac{3}{2-\sqrt{x}}$有意义，需同时满足：
$\begin{cases}x≥0 \\2-\sqrt{x}≠0\end{cases}$
由$2-\sqrt{x}≠0$得$\sqrt{x}≠2$，即$x≠4$，综上$x≥0$且$x≠4$。
【答案】
(1)$x≥0$ 且$x≠5$;(2)$x=-2$;(3)$-1≤x≤2$;(4)$x≥0$ 且$x≠4$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式组
【点评】
本题是代数式有意义的基础题型，解题的关键是准确识别式子中的所有限制条件，不要遗漏分母不为0的要求，多个条件同时成立时需取各条件解集的公共部分。
【难度系数】
0.8
15.有一个长、宽之比为$5:2$的长方形过道，其面积为$60\ \mathrm{m}^2$.
(1)求这个长方形过道的长和宽；
(2)若用30块大小相同的正方形地砖刚好把这个过道铺满，求这种地砖的边长.
(1)求这个长方形过道的长和宽；
(2)若用30块大小相同的正方形地砖刚好把这个过道铺满，求这种地砖的边长.
答案
15.解:(1)设这个长方形过道的长为5x m,宽为2x m.由题意,得5x·2x=60,解得$x=±\sqrt{6}$.
∵x＞0,
∴$x=\sqrt{6}$,
∴这个长方形过道的长为$5\sqrt{6}$ m,宽为$2\sqrt{6}$ m;
(2)设这种地砖的边长为y m.由题意,得$30y^2=60$,解得$y=±\sqrt{2}$,
∵y＞0,
∴$y=\sqrt{2}$,
∴这种地砖的边长为$\sqrt{2}$ m.
∵x＞0,
∴$x=\sqrt{6}$,
∴这个长方形过道的长为$5\sqrt{6}$ m,宽为$2\sqrt{6}$ m;
(2)设这种地砖的边长为y m.由题意,得$30y^2=60$,解得$y=±\sqrt{2}$,
∵y＞0,
∴$y=\sqrt{2}$,
∴这种地砖的边长为$\sqrt{2}$ m.
解析
【分析】
(1) 已知长方形长宽比为5:2，可通过设参数的方法简化计算：设长为5x m，宽为2x m，再根据长方形面积=长×宽，结合已知面积列一元二次方程，求解后根据长度为正数的实际要求舍去负根，即可得到长宽的具体值。
(2) 30块相同正方形地砖刚好铺满过道，说明30块地砖的总面积等于过道面积，设地砖边长为y m，根据正方形面积=边长×边长列出方程，同样结合边长为正的要求舍去负根，得到地砖边长。
【解析】
(1) 设这个长方形过道的长为$5x\ \mathrm{m}$，宽为$2x\ \mathrm{m}$。
由题意得：$5x·2x=60$
整理得$10x^2=60$，即$x^2=6$
解得$x=\pm\sqrt{6}$
$\because x＞0$（长度为正数）
$\therefore x=\sqrt{6}$
则长为$5x=5\sqrt{6}\ \mathrm{m}$，宽为$2x=2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
(2) 设这种地砖的边长为$y\ \mathrm{m}$。
由题意得：$30y^2=60$
整理得$y^2=2$
解得$y=\pm\sqrt{2}$
$\because y＞0$（边长为正数）
$\therefore y=\sqrt{2}$
即这种地砖的边长为$\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 长为$5\sqrt{6}\ \mathrm{m}$，宽为$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$；(2) 地砖边长为$\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积计算、正方形面积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，解题关键是根据比例关系设未知数简化计算，同时注意实际问题中线段长度为正数，求解方程后要舍去不符合实际意义的负根。
【难度系数】
0.8
(1) 已知长方形长宽比为5:2，可通过设参数的方法简化计算：设长为5x m，宽为2x m，再根据长方形面积=长×宽，结合已知面积列一元二次方程，求解后根据长度为正数的实际要求舍去负根，即可得到长宽的具体值。
(2) 30块相同正方形地砖刚好铺满过道，说明30块地砖的总面积等于过道面积，设地砖边长为y m，根据正方形面积=边长×边长列出方程，同样结合边长为正的要求舍去负根，得到地砖边长。
【解析】
(1) 设这个长方形过道的长为$5x\ \mathrm{m}$，宽为$2x\ \mathrm{m}$。
由题意得：$5x·2x=60$
整理得$10x^2=60$，即$x^2=6$
解得$x=\pm\sqrt{6}$
$\because x＞0$（长度为正数）
$\therefore x=\sqrt{6}$
则长为$5x=5\sqrt{6}\ \mathrm{m}$，宽为$2x=2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
(2) 设这种地砖的边长为$y\ \mathrm{m}$。
由题意得：$30y^2=60$
整理得$y^2=2$
解得$y=\pm\sqrt{2}$
$\because y＞0$（边长为正数）
$\therefore y=\sqrt{2}$
即这种地砖的边长为$\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 长为$5\sqrt{6}\ \mathrm{m}$，宽为$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$；(2) 地砖边长为$\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积计算、正方形面积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，解题关键是根据比例关系设未知数简化计算，同时注意实际问题中线段长度为正数，求解方程后要舍去不符合实际意义的负根。
【难度系数】
0.8
