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16.若$x$，$y$为实数，且$y＞\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+2$，化简：$\frac{1}{2-y}\sqrt{y^2 -4y +4} + \sqrt{2x}$
答案
16.解:由题意得$\begin{cases} x-2≥0, \\ 2-x≥0, \end{cases}$解得x=2,
∴y＞2,
∴原式=$\frac{y-2}{2-y}+2=-1+2=1$.
∴y＞2,
∴原式=$\frac{y-2}{2-y}+2=-1+2=1$.
解析
【分析】
要化简给定的式子，需先确定x、y的取值范围：第一步，观察到式中出现$\sqrt{x-2}$和$\sqrt{2-x}$，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，可列出关于x的不等式组求出x的值；第二步，结合x的值推导y的取值范围；第三步，将根号内的多项式整理为完全平方形式，根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合y的范围去掉绝对值，最后代入x的值计算即可得到结果。
【解析】
解：由二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得：
$\begin{cases} x-2≥0, \\ 2-x≥0, \end{cases}$
解得$x=2$。
代入已知条件得$y＞\sqrt{2-2}+\sqrt{2-2}+2=2$，即$y＞2$。
对原式逐步化简：
1. 处理根号内的完全平方：$\sqrt{y^2-4y+4}=\sqrt{(y-2)^2}=|y-2|$，因为$y＞2$，所以$|y-2|=y-2$；
2. 计算$\sqrt{2x}$：代入$x=2$，得$\sqrt{2×2}=\sqrt{4}=2$。
将化简结果代入原式：
$\frac{1}{2-y}×(y-2)+2=\frac{y-2}{-(y-2)}+2=-1+2=1$
【答案】
1
【知识点】
二次根式有意义的条件，二次根式的化简，绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式部分的常见题型，解题的关键是先通过二次根式被开方数的非负性锁定x的取值，进而确定y的范围，再结合绝对值的性质完成化简，易错点是去绝对值时符号判断错误。
【难度系数】
0.6
要化简给定的式子，需先确定x、y的取值范围：第一步，观察到式中出现$\sqrt{x-2}$和$\sqrt{2-x}$，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，可列出关于x的不等式组求出x的值；第二步，结合x的值推导y的取值范围；第三步，将根号内的多项式整理为完全平方形式，根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合y的范围去掉绝对值，最后代入x的值计算即可得到结果。
【解析】
解：由二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得：
$\begin{cases} x-2≥0, \\ 2-x≥0, \end{cases}$
解得$x=2$。
代入已知条件得$y＞\sqrt{2-2}+\sqrt{2-2}+2=2$，即$y＞2$。
对原式逐步化简：
1. 处理根号内的完全平方：$\sqrt{y^2-4y+4}=\sqrt{(y-2)^2}=|y-2|$，因为$y＞2$，所以$|y-2|=y-2$；
2. 计算$\sqrt{2x}$：代入$x=2$，得$\sqrt{2×2}=\sqrt{4}=2$。
将化简结果代入原式：
$\frac{1}{2-y}×(y-2)+2=\frac{y-2}{-(y-2)}+2=-1+2=1$
【答案】
1
【知识点】
二次根式有意义的条件，二次根式的化简，绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式部分的常见题型，解题的关键是先通过二次根式被开方数的非负性锁定x的取值，进而确定y的范围，再结合绝对值的性质完成化简，易错点是去绝对值时符号判断错误。
【难度系数】
0.6
17.若实数$a$,$b$,$c$满足$|a-\sqrt{2}|+\sqrt{b-2}=\sqrt{c-3}+\sqrt{3-c}$.
(1)求$a$,$b$,$c$的值；
(2)若满足上式的$a$,$b$为等腰三角形的两条边长,求这个等腰三角形的周长.
(1)求$a$,$b$,$c$的值；
(2)若满足上式的$a$,$b$为等腰三角形的两条边长,求这个等腰三角形的周长.
答案
17.解:(1)由$|a-\sqrt{2}|+\sqrt{b-2}=\sqrt{c-3}+\sqrt{3-c}$得c-3≥0且3-c≥0,
∴c≥3且c≤3,
∴c=3.把c=3代入已知等式得$|a-\sqrt{2}|+\sqrt{b-2}=0$,
∴$a=\sqrt{2},b=2$;
(2)若腰长为$\sqrt{2}$,则底边长为2,符合三边关系,周长为$2\sqrt{2}+2$;若腰长为2,则底边长为$\sqrt{2}$,符合三边关系,周长为$\sqrt{2}+4$.综上可得这个等腰三角形的周长为$2\sqrt{2}+2$或$\sqrt{2}+4$.
∴c≥3且c≤3,
∴c=3.把c=3代入已知等式得$|a-\sqrt{2}|+\sqrt{b-2}=0$,
∴$a=\sqrt{2},b=2$;
(2)若腰长为$\sqrt{2}$,则底边长为2,符合三边关系,周长为$2\sqrt{2}+2$;若腰长为2,则底边长为$\sqrt{2}$,符合三边关系,周长为$\sqrt{2}+4$.综上可得这个等腰三角形的周长为$2\sqrt{2}+2$或$\sqrt{2}+4$.
解析
【分析】
(1) 先观察等式右侧的两个二次根式，根据二次根式被开方数必须非负的性质，可列出关于c的不等式组，先求出c的值；再将c代入原式，此时等式左侧是绝对值加算术平方根，二者都是非负数，和为0时每一项都为0，即可求出a、b的值。
(2) 已知a、b是等腰三角形的两条边长，需分两种情况讨论：①a为腰长，b为底边长；②b为腰长，a为底边长，每种情况都要先验证是否满足三角形三边关系，符合要求的再计算周长。
【解析】
(1) 要使$\sqrt{c-3}$和$\sqrt{3-c}$有意义，被开方数需满足：
$\begin{cases} c-3≥0 \\ 3-c≥0 \end{cases}$
解得$c≥3$且$c≤3$，因此$c=3$。
将$c=3$代入原式，得$|a-\sqrt{2}|+\sqrt{b-2}=0$。
∵$|a-\sqrt{2}|≥0$，$\sqrt{b-2}≥0$，两个非负数的和为0，则每一项都为0，
∴$a-\sqrt{2}=0$，$b-2=0$，解得$a=\sqrt{2}$，$b=2$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当腰长为$\sqrt{2}$时，底边长为2，三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{2}$、2。
验证三边关系：$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}＞2$，满足两边之和大于第三边，可构成三角形，
周长为$\sqrt{2}+\sqrt{2}+2=2\sqrt{2}+2$。
② 当腰长为2时，底边长为$\sqrt{2}$，三边长为2、2、$\sqrt{2}$。
验证三边关系：$2+2=4＞\sqrt{2}$，满足两边之和大于第三边，可构成三角形，
周长为$2+2+\sqrt{2}=4+\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $a=\sqrt{2}$，$b=2$，$c=3$；
(2) 等腰三角形的周长为$2\sqrt{2}+2$或$4+\sqrt{2}$。
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 非负数的性质
3. 等腰三角形三边关系
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是先抓住二次根式的隐含取值范围求出c的值，再利用非负数的性质求解a、b；涉及等腰三角形边长问题时，要注意分情况讨论，且必须验证三边是否能构成三角形，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
(1) 先观察等式右侧的两个二次根式，根据二次根式被开方数必须非负的性质，可列出关于c的不等式组，先求出c的值；再将c代入原式，此时等式左侧是绝对值加算术平方根，二者都是非负数，和为0时每一项都为0，即可求出a、b的值。
(2) 已知a、b是等腰三角形的两条边长，需分两种情况讨论：①a为腰长，b为底边长；②b为腰长，a为底边长，每种情况都要先验证是否满足三角形三边关系，符合要求的再计算周长。
【解析】
(1) 要使$\sqrt{c-3}$和$\sqrt{3-c}$有意义，被开方数需满足：
$\begin{cases} c-3≥0 \\ 3-c≥0 \end{cases}$
解得$c≥3$且$c≤3$，因此$c=3$。
将$c=3$代入原式，得$|a-\sqrt{2}|+\sqrt{b-2}=0$。
∵$|a-\sqrt{2}|≥0$，$\sqrt{b-2}≥0$，两个非负数的和为0，则每一项都为0，
∴$a-\sqrt{2}=0$，$b-2=0$，解得$a=\sqrt{2}$，$b=2$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当腰长为$\sqrt{2}$时，底边长为2，三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{2}$、2。
验证三边关系：$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}＞2$，满足两边之和大于第三边，可构成三角形，
周长为$\sqrt{2}+\sqrt{2}+2=2\sqrt{2}+2$。
② 当腰长为2时，底边长为$\sqrt{2}$，三边长为2、2、$\sqrt{2}$。
验证三边关系：$2+2=4＞\sqrt{2}$，满足两边之和大于第三边，可构成三角形，
周长为$2+2+\sqrt{2}=4+\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $a=\sqrt{2}$，$b=2$，$c=3$；
(2) 等腰三角形的周长为$2\sqrt{2}+2$或$4+\sqrt{2}$。
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 非负数的性质
3. 等腰三角形三边关系
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是先抓住二次根式的隐含取值范围求出c的值，再利用非负数的性质求解a、b；涉及等腰三角形边长问题时，要注意分情况讨论，且必须验证三边是否能构成三角形，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
