2.如图,写出符合下列条件的角.
(1)能用一个大写字母表示的角:;
(2)以B为顶点的角:;
(3)图中共有个小于平角的角.

2.(1)∠A,∠C (2)∠ABE,∠ABC,∠EBC (3)7

【分析】
解题时先回忆角的相关概念：1. 只有顶点处仅有1个角时，才能用一个大写字母表示这个角；2. 数角时按顶点分类计数可以避免漏数、重复计数。
首先解决第(1)问：逐个观察各顶点处的角的数量，找到顶点处只有1个角的即可；
第(2)问：先找出所有以B为端点的射线，再两两组合写出对应的角；
第(3)问：分别统计A、B、C、E四个顶点处小于平角的角的数量，相加得到总数量。
【解析】
(1) 观察图形，顶点A处只有1个角，顶点C处只有1个角，符合用一个大写字母表示角的条件，因此符合要求的角是∠A、∠C；
(2) 以B为端点的射线有BA、BE、BC三条，每两条射线可组成一个角，分别是∠ABE、∠EBC、∠ABC，这就是所有以B为顶点的角；
(3) 按顶点统计小于平角的角：
顶点A：1个（∠A）；
顶点B：3个（∠ABE、∠EBC、∠ABC）；
顶点C：1个（∠C）；
顶点E：2个（∠AEB、∠BEC）；
总数量：$1+3+1+2=7$个。
【答案】
(1)$∠A,∠C$ (2)$∠ABE,∠ABC,∠EBC$ (3)$7$
【知识点】
角的表示方法、角的计数、平角的认识
【点评】
本题是角的概念的基础考查题，重点要求掌握角的表示规则，计数时按顶点分类的方法能有效降低出错率，解题时注意不要漏计顶点E处的两个角。
【难度系数】
0.8

3.下列说法:①两条射线所组成的图形叫作角；②一条射线旋转而成的图形叫作角；③两边成一条直线的角是平角；④平角是一条直线；⑤把一个角放在放大镜下观察,角的度数也放大了.其中正确的是(填序号).

3. ③ [解析]①错误,两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角;②错误,角是一条射线绕它的端点旋转形成的图形;④错误,平角是一个角,不是一条直线;⑤错误,角的大小与边的长短无关,只与两条边张开的幅度有关.

【分析】
这道题考查角的相关基础概念，解题时需要我们逐个验证每个说法是否符合角的定义、平角的特征以及角的大小的决定规律，逐一排查错误说法就能得出正确结论。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
① 角的静态定义是有公共端点的两条射线组成的图形，该说法缺少“公共端点”的条件，错误；
② 角的动态定义是一条射线绕它的端点旋转形成的图形，该说法缺少“绕端点旋转”的条件，错误；
③ 当角的两边成一条直线时，符合平角的特征，该说法正确；
④ 平角是角，具备角的顶点和两条边的要素，只是两条边在同一直线上，而直线没有顶点，不属于角，该说法错误；
⑤ 角的大小只和两条边张开的幅度有关，和边的长度无关，放大镜只会放大边的视觉长度，不会改变两边张开的幅度，角的度数不变，该说法错误。
综上只有③正确。
【答案】
③
【知识点】
角的定义；平角的概念；角的大小的影响因素
【点评】
本题属于角相关概念的基础辨析题，易错点在于容易忽略角定义中的公共端点、旋转端点等限定条件，混淆平角与直线的区别，或误认为角的大小和边的长度有关，只要准确牢记核心概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.7

4.计算:
(1)$35.15° =$ $°$ $'$;
(2)$12°15'36'' =$ $°$.

4.(1)35 9 (2)12.26 [解析](1)35.15°=35°+(0.15×60)'=35°+9'=35°9'.
(2)15'=(15÷60)°=0.25°,
36''=(36÷3 600)°=0.01°,
12°15'36''=12°+0.25°+0.01°=12.26°.

【分析】
做度分秒换算题首先要牢记度、分、秒是60进制，换算规则为1°=60'，1'=60''。
第(1)题是将含小数的度转换为度、分组合形式，只需保留度数的整数部分作为度的数值，将小数部分的度乘60即可换算为分的数值；
第(2)题是将度分秒组合形式转换为含小数的度，只需将分除以60、秒除以3600，分别换算为度的小数部分，再和原有整度数相加即可。
【解析】
(1) 将$35.15°$拆分为$35°$和$0.15°$两部分：
$0.15°=(0.15×60)'=9'$
因此$35.15°=35°9'$。
(2) 分别将分、秒换算为度：
$15'=(15÷60)°=0.25°$
$36''=(36÷3600)°=0.01°$
再合并所有度的部分：
$12°15'36''=12°+0.25°+0.01°=12.26°$。
【答案】
(1)35，9；(2)12.26
【知识点】
度分秒的换算、角度单位进率
【点评】
本题是角度单位换算的基础题，核心是掌握度分秒的60进制换算规则，换算时注意区分“大单位转小单位乘进率、小单位转大单位除以进率”，避免和十进制混淆即可轻松解答。
【难度系数】
0.85

5.如图,某轮船8时在点A处,此时测得灯塔S在轮船北偏东$60°$的方向上.轮船向东行驶至12时于点B处,此时测得灯塔S在轮船北偏西$30°$的方向上.在图中画出灯塔S的位置.

5.解:灯塔S的位置如图所示.

【分析】
要确定灯塔S的位置，需要同时满足两个方向条件：①在A点的北偏东60°方向；②在B点的北偏西30°方向。我们可以分别以A、B为观测点，画出对应方向的射线，两条射线的交点就是同时满足两个条件的S点。
【解析】
1. 过点A作竖直向上的正北方向虚线，以A为顶点，正北方向线为起始边，向东（向右）画出60°的角，延长角的另一条边得到第一条射线；
2. 过点B作竖直向上的正北方向虚线，以B为顶点，正北方向线为起始边，向西（向左）画出30°的角，延长角的另一条边得到第二条射线；
3. 两条射线的交点即为灯塔S的位置。
【答案】
灯塔S的位置如图所示.

【知识点】
1. 方向角的认识
2. 根据方向确定位置
【点评】
本题考查结合方位描述进行作图的能力，解题的关键是找准观测点，正确判断方位角的偏转方向，作图时注意标注必要的角度和方向标识。
【难度系数】
0.8

6.(江苏盐城月考)若∠1=25°12′，∠2=25.12°，∠3=25.2°，则下面说法正确的是（）

A.∠1=∠2
B.∠2=∠3
C.∠1=∠3
D.∠1,∠2,∠3互不相等

6.C [解析]因为12'=(12÷60)°=0.2°,
所以∠1=25°12'=25.2°,所以∠1=∠3.

【分析】
要判断三个角的大小关系，首先发现三个角的单位表示形式不统一，∠1是度加分的形式，∠2、∠3是小数形式的度，解题时需要先统一单位。根据度和分的换算规则：1°=60′，把∠1的分换算成度，再和另外两个角对比即可得出结论。
【解析】
已知度和分的进率是60，即1°=60′，先把∠1中的分换算为度：
12′=(12÷60)°=0.2°
因此∠1=25°12′=25°+0.2°=25.2°
对比三个角的大小：∠1=25.2°，∠2=25.12°，∠3=25.2°，可得∠1=∠3。
【答案】
C
【知识点】
度分秒换算、角的大小比较
【点评】
本题核心是掌握度与分的换算进率为60，解题时要先统一单位再比较大小，注意不要误把进率当成100计算。
【难度系数】
0.7

7.(黑龙江哈尔滨松北区期末)如图,图书馆在剧院的南偏东$60°$方向500米处,那么剧院在图书馆的 （）

A.南偏东$30°$方向500米处
B.南偏东$60°$方向500米处
C.北偏西$30°$方向500米处
D.北偏西$60°$方向500米处

7.D
【解题技巧】相对位置变化时,方向变为原来的反方向,角度和距离均不变.

【分析】
要解决这道题，首先需要明确两个地点相对位置的核心规律：当两个地点互为观测点时，相对位置满足方向相反、角度相等、距离相同的特点。先确定原描述的观测点是剧院，现在要找剧院相对于图书馆的位置，观测点变为图书馆，只需要把原方向替换为相反方向，角度和距离保持不变即可推出结果。
【解析】
1. 确定观测点变化：描述“图书馆在剧院的南偏东60°方向500米处”时，观测点是剧院；求剧院在图书馆的位置时，观测点变为图书馆，二者互为相对观测点。
2. 应用相对位置规律：相对位置中方向相反，南的反方向是北，东的反方向是西，因此“南偏东”的相反方向为“北偏西”；角度大小不变，仍为60°；两点间距离不变，仍为500米。
3. 综上可得剧院在图书馆的北偏西60°方向500米处。
【答案】
D
【知识点】
1. 位置的相对性
2. 方向与位置判定
【点评】
本题是方向与位置模块的典型基础题，主要考查相对位置的判断，只要掌握“相对位置方向相反、角度和距离不变”的规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8

8. 练思维·类比探究 (1)如图1,如果过点A在角的内部作1条射线,那么图1中一共有个角.
(2)如图2,如果过点A在角的内部作2条射线,那么图2中一共有个角.
(3)如图3,如果过点A在角的内部作3条射线,那么图3中一共有个角.
(4)以此类推,如果过角的顶点在角的内部作n条射线,那么一共有个角.

[拓展变式]以直线l外一点P为端点,向直线l上的n(n＞1)个点作射线,则以点P为顶点,以这些射线为边的角(小于180°)的个数为.(用含有n的式子表示)

8.(1)3 (2)6 (3)10 (4)$\frac{(n+2)(n+1)}{2}$
[拓展变式]$\frac{n(n-1)}{2}$
[解析](1)2+1=3(个).
(2)3+2+1=6(个).
(3)4+3+2+1=10(个).
(4)以此类推,如果过角的顶点在角的内部作n条射线,那么一共有角的个数为n+1+n+n-1+…+2+1.
令S=n+1+n+n-1+…+2+1①,
倒序,得S=1+2+…+n-1+n+n+1②,
①+②,得
2S=(n+1+1)+(n+2)+(n-1+3)+…+(2+n)+(1+n+1),观察发现每组计算的结果均为(n+2),从1加到(n+1)共(n+1)组,
可得2S=(n+2)(n+1),则S=$\frac{(n+2)(n+1)}{2}$.
[拓展变式]如图,图中一共有角的个数为n-1+n-2+…+3+2+1,类比(4)的方法,共(n-1)组,利用首尾相加可得,每组和均为n,所以n-1+n-2+…+3+2+1=$\frac{n(n-1)}{2}$.

【分析】
数角的本质是每两条有公共顶点的射线就能组成一个角，解题时先确定每个图中以顶点为端点的射线条数，按顺序累加计数：先数相邻射线组成的最小角的个数，再数由多个小角组成的角的个数，依次累加得到总个数；再通过前几问的结果推导一般规律，拓展变式也可沿用相同的计数思路求解。
【解析】
(1) 图1中角内部有1条射线，加上原来∠BAC的两条边，共3条射线。按顺序计数：以AB为边的角有2个，以AD为边的角有1个，总个数为$2+1=3$个。
(2) 图2中角内部有2条射线，共4条射线。按顺序计数：以AB为边的角有3个，以AD为边的角有2个，以AE为边的角有1个，总个数为$3+2+1=6$个。
(3) 图3中角内部有3条射线，共5条射线。按顺序计数：以AB为边的角有4个，以AD为边的角有3个，以AE为边的角有2个，以AF为边的角有1个，总个数为$4+3+2+1=10$个。
(4) 若角内部作n条射线，共有$(n+2)$条射线，计数时需要从$(n+1)$开始依次累加至1，根据等差数列求和公式“和=(首项+末项)×项数÷2”，可得总角数为$\frac{(n+1+1)×(n+1)}{2}=\frac{(n+2)(n+1)}{2}$。
[拓展变式] 以P为端点向直线l上n个点作射线，共有n条以P为顶点的射线，累加计数得总个数为$(n-1)+(n-2)+\dots+1$，求和后得$\frac{n(n-1)}{2}$。
【答案】
(1)3 (2)6 (3)10 (4)$\frac{(n+2)(n+1)}{2}$
[拓展变式]$\frac{n(n-1)}{2}$
【知识点】
角的计数、图形规律探究、等差数列求和
【点评】
这道题采用从特殊到一般的探究思路，考查角的计数方法和规律归纳能力，解题核心是理解角的构成特点，按顺序计数避免漏数、多数，掌握连续整数求和的计算方法即可顺利解决，能有效锻炼逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7

9.(江苏南通)上午9时整,钟表的时针和分针构成的角的度数为 ()

A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$

9.C

【分析】
拿到这道题我们可以按以下思路思考：首先回忆钟表表盘的特征，整个表盘是一个360°的周角，被平均分成了12个大格，所以第一步我们可以先算出每个大格对应的角度；接着确定9时整时针和分针的位置，数出两个指针之间间隔的大格数；最后用间隔的大格数乘每个大格的角度，就能算出夹角的度数，匹配选项得到答案。
【解析】
解：首先计算钟表上每个大格对应的角度：
整个表盘为360°，平均分为12个大格，每个大格的度数 = $360°÷12=30°$。
上午9时整，时针指向数字9，分针指向数字12，时针和分针之间一共有3个大格。
所以此时时针和分针构成的角度 = $3×30°=90°$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
钟表夹角计算、角的度量
【点评】
本题是钟表角度类的基础常考题，解题关键是掌握表盘每个大格对应的角度，以及准确判断特定时间时针和分针的位置，整体计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.9