1. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,分别以$AC$,$BC$,$AB$为边向外作正方形$ACDE$、正方形$BCPH$、正方形$ABGF$,其面积分别为$S_1,S_2,S_3$,则$S_1,S_2,S_3$之间的等量关系为;连接$GH,PD$,$EF$,分别以$GH,PD,EF$为边向外作正方形,其面积分别为$S_4,S_5,S_6$,则$S_4,S_5$,$S_6$之间的等量关系为.

1. $S_1+S_2=S_3\quad S_4+S_6=5S_5$
提示:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,设$BC=a,AC=b,AB=c$,由勾股定理,得$AB^2=BC^2+AC^2$,所以$c^2=a^2+b^2$.由正方形的面积公式,得$S_1=b^2,S_2=a^2,S_3=c^2$,所以$S_1+S_2=S_3$.如图,过点$F$作$FM⊥ EA$,交$EA$的延长线于点$M$,过点$G$作$GN⊥ HB$,交$HB$的延长线于点$N$,所以$∠ M=∠ N=∠ ACB=90°$.由正方形的性质,得$∠ FAB=∠ MAC=90°,∠ GBA=∠ NBC=90°$,$AF=AB=BG,AE=AC=b,BH=BC=a$,所以$∠ FAB-∠ MAB=∠ MAC-∠ MAB$,所以$∠ FAM=∠ BAC$.在$△ FAM$和$△ BAC$中,$∠ M=∠ ACB=90°$,$∠ FAM=∠ BAC,AF=AB$,所以$△ FAM≌△ BAC$(AAS),所以$MF=BC=a,AM=AC=b$,所以$EM=AE+AM=2b$.在$\mathrm{Rt}△ EFM$中,由勾股定理,得$EF^2=MF^2+EM^2=a^2+(2b)^2=a^2+4b^2$,所以$S_6=EF^2=a^2+4b^2$.同理,易证$△ GBN≌△ ABC$(AAS),所以$GN=AC=b,BN=BC=a$,所以$HN=BH+BN=2a$.在$\mathrm{Rt}△ HNG$中,由勾股定理,得$HG^2=GN^2+HN^2=b^2+(2a)^2=b^2+4a^2$,所以$S_4=HG^2=4a^2+b^2$,所以$S_4+S_6=5a^2+5b^2$.在$\mathrm{Rt}△ PCD$中,$CD=AC=b,PC=BC=a$,由勾股定理,得$PD^2=PC^2+CD^2=a^2+b^2$,所以$S_5=PD^2=a^2+b^2$,所以$S_4+S_6=5S_5$.

2.【问题提出】
数学活动课上,某研究小组提出如下问题:任意给定一个长方形$ABCD$,其中$AD=a,AB=b$,通过尺规作图作出一个与之面积相等的正方形.
显然,问题解决的关键在于如何作出一条长为$\sqrt{ab}$的线段.
【特例引路】
小莉和小敏从特殊情形入手,假设$a=2,b=3$,并给出了她们的思路.
小莉的思路:如图1,先作出一个正方形$AHGD$,再作$BC$的垂直平分线,垂足为$E$,以点$G$为圆心,$GE$长为半径作弧,与$HG$的延长线交于点$F$,连接$DF$,则$DF$即为所求;
小敏的思路:如图2,先作出一个正方形$AHGD$,再作$CG$的垂直平分线,垂足为$M$,以点$M$为圆心,$MD$长为半径作弧,与$HG$的延长线交于点$N$,则$GN$即为所求.
(1)请写出图1中$DF$和图2中$GN$的长度,并评价小莉和小敏的作图方法是否适用于任意的长方形,请直接写出评价结果.
【一般探究】
(2)如图3,在长方形$ABCD$中,不妨设$a＞b$.请利用尺规作图作出一条长为$\sqrt{ab}$的线段.(不写作法,保留痕迹)
(3)请结合(2)中作法,证明所得结果的正确性.(如需画图,请用备用图)

2. (1) $DF=\sqrt{6},GN=\sqrt{6}$.小敏的作图方法适用于任意的长方形,而小莉的不适用.
提示:小莉的思路:由题意,可得$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=\frac{a}{2},CG=DC-DG=b-a$.根据勾股定理,可得$EG^2=EC^2+CG^2=\frac{a^2}{4}+(b-a)^2$.根据作图可得,$GF=GE$,所以$EG^2=GF^2=\frac{a^2}{4}+(b-a)^2$.根据勾股定理,可得$DF=\sqrt{DG^2+GF^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}+(b-a)^2}$.当$a=2,b=3$时,$DF=\sqrt{2^2+\frac{2^2}{4}+(3-2)^2}=\sqrt{6}$.小敏的思路:由题意,可得$CG=DC-DG=b-a$,所以$GM=\frac{1}{2}GC=\frac{b-a}{2}$.连接$MN$,根据作图,可得$MN=DM=DG+GM=a+\frac{b-a}{2}=\frac{b+a}{2}$.根据勾股定理,可得$GN=\sqrt{MN^2-GM^2}=\sqrt{(\frac{b+a}{2})^2-(\frac{b-a}{2})^2}=\sqrt{ab}$.当$a=2,b=3$时,$GN=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$.小莉的作图方法求得$DF=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}+(b-a)^2}$,故不适用于任意的长方形;小敏的作图方法求得$GN=\sqrt{ab}$,故适用于任意的长方形.
(2) 如图,$GN$是长为$\sqrt{ab}$的线段.
提示:以点$A$为圆心,$AB$长为半径作弧,与$AD$交于点$G$,以点$B$为圆心,$BA$长为半径作弧,与$BC$交于点$H$,连接$GH$,得到正方形$AGHB$.作线段$DG$的垂直平分线,与$GD$交于点$M$.以点$M$为圆心,$MA$长为半径作弧,与$HG$的延长线交于点$N$,则$GN=\sqrt{ab}$.

(3) 证明:连接$MN$,由题意,得$AG=AB=b,GD=AD-AG=a-b,GM=MD=\frac{a-b}{2}$,所以$AM=MN=b+\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}$.在$\mathrm{Rt}△ GMN$中,$GN^2=MN^2-GM^2=(\frac{a+b}{2})^2-(\frac{a-b}{2})^2=ab$,所以$GN=\sqrt{ab}$.