25. (12分)如图1,A型卡片是边长为a的正方形,B型卡片是边长为b的正方形,C型卡片是长和宽分别为a,b的长方形.

(1)选取1张A型卡片,2张C型卡片,1张B型卡片,请在图2的方框中画出拼得的正方形示意图并标出卡片类型(所拼的图既不能有缝隙,也不能有重合部分),并完成填空.

你画的正方形的面积既可以表示为,又可以表示为,所以可得等式;
(2)请利用A型,B型,C型卡片若干张拼出一个面积为$a^2 +3ab +2b^2$的长方形,在图3的方框中画出示意图并标出卡片类型,研究拼图发现等式;
(3)选取1张A型卡片,1张B型卡片按图4的方式放在一起,E,F,P在一条直线上,已知M是EP的中点.若$a +b =6$,$ab =6$,则阴影部分的面积为;
(4)选取1张A型卡片,3张C型卡片按图5的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内,已知GF的长度固定不变,DG的长度可以变化,图中两阴影部分(长方形)的面积分别表示为$S_1$,$S_2$.若$S =2S_1 -S_2$,则当a与b满足时,S为定值.
无锡市天一实验学校七年级期中考试数学真卷
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25.
【点拨】本题考查多项式乘法在几何图形中的应用,单项式乘以多项式的应用,完全平方公式在几何图形中的应用,利用数形结合的思想求解是解题的关键.
【解析】(1)所画正方形如图所示.
正方形的面积既可以表示为$(a+b)^2$,
又可以表示为$a^2 + 2ab + b^2$,
$\therefore$ 可得等式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
故答案为$(a+b)^2$,$a^2 + 2ab + b^2$,$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
(2)所画长方形,如图所示.
最大长方形的面积可以表示为$(a+2b)(a+b)$,
又可以表示为$a^2 + 3ab + 2b^2$,
$\therefore (a+2b)(a+b) = a^2 + 3ab + 2b^2$.
故答案为$(a+2b)(a+b) = a^2 + 3ab + 2b^2$.
(3)$\because a + b = 6$,$ab = 6$,$M$是$EP$的中点,
$\therefore EM = MP = \dfrac{1}{2}EP = \dfrac{1}{2}(a+b) = 3$,
$\therefore a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 6^2 - 2 × 6 = 24$,
$\therefore S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{正方形}EFGH} + S_{\mathrm{正方形}PQNF} - S_{△HEM} - S_{△PQM} = a^2 + b^2 - \dfrac{1}{2} × 3a - \dfrac{1}{2} × 3b = a^2 + b^2 - \dfrac{3}{2}(a+b) = 24 - \dfrac{3}{2} × 6 = 15$.
故答案为15.
(4)由题知$S_1 = 2b(EF - a)$,$S_2 = a(EF - a - b)$,
$\therefore S = 2S_1 - S_2 = 4b(EF - a) - a(EF - a - b) = 4b · EF - 4ab - a · EF + a^2 + ab = (4b - a)EF - 3ab + a^2$.
$\because S$为定值,$\therefore S$的结果与$EF$无关,
$\therefore 4b - a = 0$,$\therefore a = 4b$,
$\therefore S = a^2 - 3ab = 16b^2 - 12b^2 = 4b^2$.
故答案为$a = 4b$,$4b^2$.