1. (2026·盐城期末)生活中的旋梯随处可见.如图,油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯.油罐底面圆半径为$\dfrac{5.8}{π}$米,高为12米,旋梯正中间有一段0.8米的平台,则从旋梯底部A到顶部B的扶手长度至少为米(旋梯宽度忽略不计).

1. 13.8 解析:如图,B处为顶部扶手,A处为底部扶手,其点A移到点E处,则$AE=CD=0.8$米,$DE=CA$,$\therefore$ 旋梯底部A到顶部B的扶手长度$=BD+CD+AC=BD+DE+AE=BD+$$DE+0.8$,由两点之间线段最短可知,当B,D,E三点共线时,$BD+DE$有最小值BE,即此扶手长度有最小值,$\because$ 油罐底面圆半径为$\frac{5.8}{π}$米,高为12米,$\therefore AF=π × \frac{5.8}{π}=5.8$(米),$\therefore EF=AF-AE=5.8-0.8=5$(米),在$\mathrm{Rt}△ BFE$中,由勾股定理得$BE=\sqrt{BF^{2}+EF^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$(米),$\therefore$ 旋梯的扶手长度的最小值为$13+0.8=13.8$(米).

2. (2025·郑州期末)如图①,在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程.

(一)理解问题、拟定计划
小林根据题意将圆柱展开,设计了两条路线.
路线1:如图②,路线1的路程$s_1$即为线段AB的长度;
路线2:如图③,路线2的路程$s_2$即为线段AB的长度.
(二)实施计划
(1)小林说:“由图可知,$s_1＜s_2$,所以蚂蚁沿路线1爬行时,路程最短.”小亮却不同意小林的说法,并举两个例子:
①当圆柱的高$h=5$,底面半径$r=1$时,$s_1=$,$s_2=$,所以选择路线路程最短;
②当圆柱的高$h=1$,底面半径$r=5$时,$s_1=$,$s_2=$,所以选择路线路程最短.
(2)请你帮小亮和小林算一算,当圆柱的高$h$和底面半径$r$满足什么关系时,$s_1=s_2$?
(三)回顾反思
(3)直接写出当圆柱的高$h$和底面半径$r$满足什么关系时,选择路线1(或路线2)路程最短.

(1)①$\sqrt{25+π^{2}}$ 7 1 解析:当圆柱的高$h=5$,底面半径$r=1$时,$s_{1}=\sqrt{5^{2}+(\dfrac{2π × 1}{2})^{2}}=\sqrt{25+π^{2}}$,$s_{2}=5+1× 2=$$7.\because 25+π^{2}＜7^{2}$,$\therefore s_{1}＜s_{2}$,$\therefore$ 选择路线1路程最短.
②$\sqrt{1+25π^{2}}$ 11 2 解析:当圆柱的高$h=1$,底面半径$r=5$时,$s_{1}=\sqrt{1^{2}+(\dfrac{2π × 5}{2})^{2}}=\sqrt{1+25π^{2}}$,$s_{2}=1+5× 2=$$11.\because 1+25π^{2}＞11^{2}$,$\therefore s_{1}＞s_{2}$,$\therefore$ 选择路线2路程最短.
(2)由题意得,$s_{1}=\sqrt{h^{2}+(\dfrac{2π × r}{2})^{2}}=\sqrt{h^{2}+π^{2}r^{2}}$,$s_{2}=h+2r$,当$h^{2}+π^{2}r^{2}=(h+2r)^{2}$时,$s_{1}=s_{2}$,解得$h=\dfrac{π^{2}r-4r}{4}$,$\therefore$ 当$h=$$\dfrac{π^{2}r-4r}{4}$时,$s_{1}=s_{2}$.
(3)由题意得,当$h＞\dfrac{π^{2}r-4r}{4}$时,$s_{1}＜s_{2}$,此时选择路线1路程最短;当$h＜\dfrac{π^{2}r-4r}{4}$时,$s_{1}＞s_{2}$,此时选择路线2路程最短.