新趋势 项目式学习 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载.如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”.
【探究1】
(1)①若$a,b,c$是一组勾股数，即满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则$ka,kb,kc$($k$为正整数)也是一组勾股数.如：5，12，13是一组勾股数，则也是一组勾股数.
②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出$a=2n+1,b=2n^{2}+2n,c=2n^{2}+2n+1$($n$为正整数)是一组勾股数，证明满足以上公式的$a,b,c$是一组勾股数.
【探究2】
(2)观察$3,4,5;5,12,13;7,24,25;···$，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股$4=\dfrac{1}{2}×(9-1)$，弦$5=\dfrac{1}{2}×(9+1)$；勾为5时，股$12=\dfrac{1}{2}×(25-1)$，弦$13=\dfrac{1}{2}×(25+1)$.
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
①若勾为7，则股$24=$；弦$25=$.
②如果用$n$($n≥3$，且$n$为奇数)表示勾，请用含有$n$的式子表示股和弦，则股$=$，弦$=$.
【探究3】
(3)①在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？若存在，试写出一组勾股数；若不存在，请说明理由.
②在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？若存在，试写出一组勾股数；若不存在，请说明理由.
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视频讲题

(1) ①10,24,26(答案不唯一) 解析:由题意可得5k,12k,13k(k为正整数)是一组勾股数,则可为10,24,26.
②$\because (2n+1)^2+(2n^2+2n)^2=4n^2+4n+1+4n^4+8n^3+4n^2=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1$,$(2n^2+2n+1)^2=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1$,$\therefore (2n+1)^2+(2n^2+2n)^2=(2n^2+2n+1)^2$,$\therefore a^2+b^2=c^2$,$\therefore a,b,c$是一组勾股数.
(2) ①$\frac{1}{2}×(49-1)$ $\frac{1}{2}×(49+1)$
②$\frac{1}{2}(n^2-1)$ $\frac{1}{2}(n^2+1)$
(3) ①存在.6,8,10.
②不存在.理由:$\because$ 奇数的平方+奇数的平方是偶数,而奇数的平方是奇数,$\therefore$ 不存在三个连续奇数能组成勾股数.