9. 如图,现有一张三角形纸片 ABC,沿 BC 边上的高 AE 所在的直线翻折,使得点 C 与 BC 边上的点 D 重合.
(1)填空:$△ ADC$是三角形;
(2)如图①,若$AB=15,AC=13,BC=14$,求 BC边上的高 AE 的长;
(3)如图②,若$∠ DAC=90°$,试猜想:BC,BD,AE 之间的数量关系,并加以证明.

9. (1)等腰 解析:$\because$三角形纸片$ABC$沿$BC$边上的高$AE$所在的直线翻折,使得点$C$与$BC$边上的点$D$重合,$\therefore AD=AC$,$\therefore △ ADC$是等腰三角形.
(2)设$CE=x$,则$BE=14-x$,在$\mathrm{Rt}△ AEC$中,由勾股定理,得$AE^2=AC^2-CE^2$,$\therefore AE^2=13^2-x^2$.在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,由勾股定理,得$AE^2=AB^2-BE^2$,$\therefore AE^2=15^2-(14-x)^2$,$\therefore 13^2-x^2=15^2-(14-x)^2$,解得$x=5$.在$\mathrm{Rt}△ AEC$中,由勾股定理,得$AE^2=AC^2-CE^2=13^2-5^2=12^2$,$\therefore AE=12.$
(3)$BC-BD=2AE$.证明如下:由(1)得$△ ADC$是等腰三角形,又$∠ DAC=90°$,$\therefore △ ADC$是等腰直角三角形.又$AE$是$CD$边上的高,$\therefore DE=CE$,$∠ DAE=∠ EAC=\dfrac{1}{2}∠ DAC=\dfrac{1}{2}×90°=45°$,$\therefore △ AED$与$△ AEC$都是等腰直角三角形,$\therefore DE=AE=EC$,即$CD=2AE$.$\because BC-BD=CD$,$\therefore BC-BD=2AE.$
归纳总结 (一)单勾股列方程:知道一边的长和另外两边的和差倍分关系(或知道三边之间的和差倍分关系).和差关系如折竹抵地问题、引葭赴岸问题,倍分关系如含特殊角($30°$或$45°$)的直角三角形.(二)双勾股列方程:当两个直角三角形共边或等边时,常使用两次勾股定理构造方程,如梯子滑动问题、母子直角三角形问题.

10. 在$△ ABC$中,$AB=15$,$AC=20$,$BC$边上的高线为 12,则$△ ABC$的面积为.

10. 42或150 解析:已知三角形两边的长和第三边上的高,未明确这个三角形是钝角三角形还是锐角三角形,所以需分情况讨论.①如图①,当$△ ABC$为锐角三角形时,高$AD$在三角形的内部.在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AB=15$,$AD=12$,由勾股定理,得$BD^2=AB^2-AD^2=15^2-12^2=81$,则$BD=9$(负值舍去).在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AC=20$,$AD=12$,由勾股定理,得$DC^2=AC^2-AD^2=20^2-12^2=256$,则$DC=16$(负值舍去).$\therefore BC=BD+DC=9+16=25$,$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×25×12=150$.②如图②,当$△ ABC$为钝角三角形时,高$AD$在三角形的外部.同①的解法相同,可解得$BC=7$,$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×7×12=42$.综上所述,$△ ABC$的面积为42或150.

11. (2025·苏州校级月考)如

图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=$$90°,AC = 12,AB = 9,DE ⊥$$AC,CD=\dfrac{1}{3}BC,CE=\dfrac{1}{3}AC,$$P$是直线$AC$上一动点,把$△ CDP$沿$DP$所在的直线翻折后,点$C$落在直线$DE$上的点$H$处,则$CP$的长是.

11. 10或$\dfrac{5}{2}$ 解析:当点$P$在点$E$左边时,如图①.由折叠知,$PC=PH$,$DC=DH$.$\because ∠ BAC=90°$,$AC=12$,$AB=9$,$\therefore BC=15$.$\because CD=\dfrac{1}{3}BC$,$CE=\dfrac{1}{3}AC$,$\therefore CD=5$,$CE=4$.$\because DE⊥ AC$,$\therefore DE=3$.$\because DH=CD=5$,$\therefore EH=ED+DH=8$.设$PC=x$,则$PH=x$,$PE=x-4$.$\because PH^2-PE^2=EH^2$,$\therefore x^2-(x-4)^2=64$,解得$x=10$,即$CP=10$.当点$P$在点$E$右边时,如图②.由折叠知,$DH=DC=5$,$\therefore EH=DH-DE=5-3=2$.设$PC=x$,则$PE=CE-PC=4-x$,$PH=x$.$\because PH^2-PE^2=EH^2$,$\therefore x^2-(4-x)^2=4$,解得$x=\dfrac{5}{2}$,即$CP=\dfrac{5}{2}$.综上,$CP=10$或$\dfrac{5}{2}.$

12. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=5\ \mathrm{cm}$,$BC=$$3\ \mathrm{cm}$,若动点$P$从点$C$开始,按$C\to A\to B\to C$的路径运动,且速度为每秒$1\ \mathrm{cm}$,设出发的时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)点$P$出发$\quantity{6.5}{s}$后,求$CP$和$BP$的长.
(2)当满足什么条件时($t$的值或取值范围),$△ BCP$为直角三角形?

12. (1)$\because ∠ C=90°$,$AB=5\ \mathrm{cm}$,$BC=3\ \mathrm{cm}$,由勾股定理得$AC=4\ \mathrm{cm}$,$\therefore$出发$6.5\ \mathrm{s}$后点$P$在线段$AB$上且此时有$AP=BP=2.5\ \mathrm{cm}$,即点$P$为$AB$中点,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,$\therefore$此时$CP=BP=2.5\ \mathrm{cm}.$
(2)$\because AC=4\ \mathrm{cm}$,动点$P$从点$C$开始按$C\to A\to B\to C$的路径运动,且速度为每秒$1\ \mathrm{cm}$,$\therefore$当点$P$在$AC$上运动时,$△ BCP$为直角三角形,$\therefore 0＜t≤4$.如图,当点$P$在$AB$上,$CP⊥ AB$时,$△ BCP$为直角三角形.$\because \dfrac{1}{2}AB· CP=\dfrac{1}{2}AC· BC$,$\therefore \dfrac{1}{2}×5CP=\dfrac{1}{2}×3×4$,$\therefore CP=\dfrac{12}{5}\ \mathrm{cm}$.由勾股定理得$AC^2=AP^2+PC^2$,即$4^2=AP^2+(\dfrac{12}{5})^2$,解得$AP=\dfrac{16}{5}\ \mathrm{cm}$,$\therefore AC+AP=4+\dfrac{16}{5}=\dfrac{36}{5}(\mathrm{cm})$,$\therefore t=\dfrac{36}{5}÷1=\dfrac{36}{5}$.综上所述,当$0＜t≤4$或$t=\dfrac{36}{5}$时,$△ BCP$为直角三角形.

13. 如图,将三角形纸片$ABC$沿$AD$折叠,使点$C$落在$BD$边上的点$E$处.若$BC=8,BE=2$,则$AB^{2}-AC^{2}$的值为.

13. 16 解析:$\because$将三角形纸片$ABC$沿$AD$折叠,使点$C$落在$BD$边上的点$E$处,$\therefore ∠ ADC=∠ ADE=90°$,$DE=CD=\dfrac{1}{2}CE$.$\because BC=8$,$BE=2$,$\therefore CE=6$,$\therefore CD=DE=3$,$BD=5$,在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AB^2=AD^2+BD^2$,在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$AC^2=AD^2+CD^2$,$\therefore AB^2-AC^2=BD^2-CD^2=16.$

14. (2025·咸阳期末) 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形,面积分别记为 $S_1,S_2,S_3$.若 $S_3+S_2-S_1=18$,则图中阴影部分的面积为.

14. $\dfrac{9}{2}$ 解析:由勾股定理得$BC^2-AC^2=AB^2$,即$S_3-S_1=S_2$,$\because S_3+S_2-S_1=18$,$\therefore S_2=9$,由图形可知,阴影部分的面积为$\dfrac{1}{2}S_2$,$\therefore$阴影部分的面积为$\dfrac{9}{2}.$

15. 如图, 在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°, AC = 3$, $BC=4$. 分别以 $AB,AC,BC$ 为边在 $AB$ 的同侧作正方形 $ABEF,ACPQ,BCMN$, 四块阴影部分的面积分别为 $S_1,S_2,S_3,S_4$, 则 $S_1 - S_2 + S_3 + S_4 =$.

15. 6 解析:由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$,即$S_{\mathrm{正方形}ACPQ}+S_{\mathrm{正方形}BCMN}=S_{\mathrm{正方形}ABEF}$,$S_1+S_{△ ACT}+S_3+S_4+S_{\mathrm{四边形}CBEK}=S_2+S_{△ ACT}+S_{\mathrm{四边形}CBEK}+S_{△ ABC}$,化简得$S_1+S_3+S_4=S_2+S_{△ ABC}$,即$S_1-S_2+S_3+S_4=S_{△ ABC}$.$\because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× AC× BC=\dfrac{1}{2}×3×4=6$,$\therefore S_1-S_2+S_3+S_4=6.$