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21.（8分）由小正方形组成的$5×7$网格，每个小正方形的顶点叫做格点.$A$，$B$，$C$三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每问的画线不能超过四条.
（1）在图1中先画点$D$，连$CD$，使$CD⊥AC$于$C$点，且$CD=AC$；再在线段$AB$上点$E$，连$CE$，使$∠ACE=45°$；
（2）在图2中，格点$O$为平面直角坐标系原点，先画$ABC$的高$BF$，再在$x$轴上画点$G$，连接$AG$，使$∠OAG=\frac{1}{2}∠OAC$.
（1）在图1中先画点$D$，连$CD$，使$CD⊥AC$于$C$点，且$CD=AC$；再在线段$AB$上点$E$，连$CE$，使$∠ACE=45°$；
（2）在图2中，格点$O$为平面直角坐标系原点，先画$ABC$的高$BF$，再在$x$轴上画点$G$，连接$AG$，使$∠OAG=\frac{1}{2}∠OAC$.
答案
解：（1）如图1，点D即为所求.
连接AD，取AD的中点O，连接CO并延长，交AB于点E，
则点E即为所求.
（2）如图2，BF即为所求.
由勾股定理得，AC=$\sqrt{3^2 + 4^2}$=5，
取格点D，使AD=AC=5，连接CD，取CD的中点E，连接AE交x轴于点G，
此时△ACD为等腰三角形，AE为△ACD的中线，
∴AE平分∠CAD，
∴∠OAG=$\frac{1}{2}$∠OAC，
则点G即为所求.
解析
【分析】
本题为网格中的无刻度直尺作图题，需结合网格特性与几何图形性质解题：
（1）画点D时，利用网格构造与AC垂直且等长的线段CD，使△ACD为等腰直角三角形；找点E时，利用等腰直角三角形的中线平分直角的性质，通过取AD中点连接CO，找到AB上的E，满足∠ACE=45°。
（2）画高BF时，利用网格中垂直直线的斜率关系，找到从B到AC的垂线段；画点G时，构造等腰△ACD（AD=AC），取CD中点E，利用等腰三角形中线平分顶角的性质，使AE平分∠CAD，从而得到x轴上的G，满足∠OAG=1/2∠OAC。
【解析】
（1）① 画点D：在图1网格中，根据AC的垂直与等长要求，找到格点D，使CD⊥AC且CD=AC，连接CD；② 找点E：连接AD，取AD中点O，连接CO，CO与AB的交点即为E，此时CO为等腰直角△ACD的中线，平分∠ACD，故∠ACE=45°。
（2）① 画高BF：在图2网格中，从B出发作AC的垂线，找到格点F，线段BF即为△ABC的高；② 画点G：取格点D使AD=AC，连接CD，取CD中点E，连接AE，AE与x轴的交点即为G，此时AE为等腰△ACD的中线，平分∠CAD，故∠OAG=1/2∠OAC。
【答案】
解：（1）如图1，点D即为所求.
连接AD，取AD的中点O，连接CO并延长，交AB于点E，
则点E即为所求.
（2）如图2，BF即为所求.
由勾股定理得，AC=$\sqrt{3^2 + 4^2}$=5，
取格点D，使AD=AC=5，连接CD，取CD的中点E，连接AE交x轴于点G，
此时△ACD为等腰三角形，AE为△ACD的中线，
∴AE平分∠CAD，
∴∠OAG=$\frac{1}{2}$∠OAC，
则点G即为所求.
【知识点】
格点作图、等腰三角形性质、角平分线
【点评】
本题考查网格中的无刻度直尺作图，需灵活运用网格的直角特性、等腰三角形的中线性质构造图形，重点考察几何性质的应用能力，是一道结合网格的几何作图题。
【难度系数】
0.5
本题为网格中的无刻度直尺作图题，需结合网格特性与几何图形性质解题：
（1）画点D时，利用网格构造与AC垂直且等长的线段CD，使△ACD为等腰直角三角形；找点E时，利用等腰直角三角形的中线平分直角的性质，通过取AD中点连接CO，找到AB上的E，满足∠ACE=45°。
（2）画高BF时，利用网格中垂直直线的斜率关系，找到从B到AC的垂线段；画点G时，构造等腰△ACD（AD=AC），取CD中点E，利用等腰三角形中线平分顶角的性质，使AE平分∠CAD，从而得到x轴上的G，满足∠OAG=1/2∠OAC。
【解析】
（1）① 画点D：在图1网格中，根据AC的垂直与等长要求，找到格点D，使CD⊥AC且CD=AC，连接CD；② 找点E：连接AD，取AD中点O，连接CO，CO与AB的交点即为E，此时CO为等腰直角△ACD的中线，平分∠ACD，故∠ACE=45°。
（2）① 画高BF：在图2网格中，从B出发作AC的垂线，找到格点F，线段BF即为△ABC的高；② 画点G：取格点D使AD=AC，连接CD，取CD中点E，连接AE，AE与x轴的交点即为G，此时AE为等腰△ACD的中线，平分∠CAD，故∠OAG=1/2∠OAC。
【答案】
解：（1）如图1，点D即为所求.
连接AD，取AD的中点O，连接CO并延长，交AB于点E，
则点E即为所求.
（2）如图2，BF即为所求.
由勾股定理得，AC=$\sqrt{3^2 + 4^2}$=5，
取格点D，使AD=AC=5，连接CD，取CD的中点E，连接AE交x轴于点G，
此时△ACD为等腰三角形，AE为△ACD的中线，
∴AE平分∠CAD，
∴∠OAG=$\frac{1}{2}$∠OAC，
则点G即为所求.
【知识点】
格点作图、等腰三角形性质、角平分线
【点评】
本题考查网格中的无刻度直尺作图，需灵活运用网格的直角特性、等腰三角形的中线性质构造图形，重点考察几何性质的应用能力，是一道结合网格的几何作图题。
【难度系数】
0.5
22.（10分）气象部门现将1号、2号两个气象探测气球同时放飞且匀速上升，1号气球从海拔5m处放飞，以$1m/min$的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处放飞，以$0.5m/min$的速度上升.设气球上升时间为$xmin$.
（1）分别直接写出1号气球上升的海拔高度$y_1(m)$，2号气球上升的海拔高度$y_2(m)$与上升时间$x(min)$的函数关系式；（不要求写出自变量$x$的取值范围）
（2）若两个气球位于同一高度，求气球上升的时间；
（3）若两个气球上升后某一时刻所在位置的海拔高度相差$7m$，直接写出气球上升的时间.
（1）分别直接写出1号气球上升的海拔高度$y_1(m)$，2号气球上升的海拔高度$y_2(m)$与上升时间$x(min)$的函数关系式；（不要求写出自变量$x$的取值范围）
（2）若两个气球位于同一高度，求气球上升的时间；
（3）若两个气球上升后某一时刻所在位置的海拔高度相差$7m$，直接写出气球上升的时间.
答案
解：（1）1号气球的海拔高度y₁与x的函数关系式为y₁=x+5；
2号气球的海拔高度y₂与x的函数关系式为y₂=0.5x+15；
（2）由题意得x+5=0.5x+15，
解得：x=20，
答：气球上升20分钟时，两个气球位于同一高度；
（3）①当y₁ - y₂=7时，得x+5 -（0.5x+15）=7，
解得：x=34；
②当y₂ - y₁=7时，得0.5x+15 -（x+5）=7，
解得：x=6；
答：气球上升6或34分钟时，两个气球所在位置的海拔高度相差7m.
2号气球的海拔高度y₂与x的函数关系式为y₂=0.5x+15；
（2）由题意得x+5=0.5x+15，
解得：x=20，
答：气球上升20分钟时，两个气球位于同一高度；
（3）①当y₁ - y₂=7时，得x+5 -（0.5x+15）=7，
解得：x=34；
②当y₂ - y₁=7时，得0.5x+15 -（x+5）=7，
解得：x=6；
答：气球上升6或34分钟时，两个气球所在位置的海拔高度相差7m.
解析
【分析】
本题是一次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 匀速上升的气球，海拔高度与上升时间成一次函数关系，初始海拔为函数常数项，上升速度为一次项系数，据此可直接写出两个气球的函数关系式；
2. 两气球同一高度时，海拔高度相等，据此建立方程求解上升时间；
3. 海拔相差7m时，需分两种情况讨论：1号气球比2号高7m，或2号气球比1号高7m，分别建立方程求解即可。
【解析】
（1）1号气球初始海拔5m，上升速度1m/min，因此海拔高度$y_1$与时间$x$的函数关系式为：$y_1 = x + 5$；
2号气球初始海拔15m，上升速度0.5m/min，因此海拔高度$y_2$与时间$x$的函数关系式为：$y_2 = 0.5x + 15$。
（2）当两气球同一高度时，$y_1 = y_2$，代入得：
$x + 5 = 0.5x + 15$
移项得：$0.5x = 10$
解得：$x = 20$，即气球上升20分钟时两气球同高。
（3）海拔相差7m分两种情况：
① $y_1 - y_2 = 7$，代入得：
$x + 5 - (0.5x + 15) = 7$
化简得：$0.5x = 17$，解得$x = 34$；
② $y_2 - y_1 = 7$，代入得：
$0.5x + 15 - (x + 5) = 7$
化简得：$-0.5x = -3$，解得$x = 6$；
即气球上升6或34分钟时，海拔相差7m。
【答案】
解：（1）1号气球的海拔高度$y_1$与$x$的函数关系式为$y_1=x+5$；2号气球的海拔高度$y_2$与$x$的函数关系式为$y_2=0.5x+15$；
（2）由题意得$x+5=0.5x+15$，解得：$x=20$，答：气球上升20分钟时，两个气球位于同一高度；
（3）①当$y_1 - y_2=7$时，得$x+5 -（0.5x+15）=7$，解得：$x=34$；②当$y_2 - y_1=7$时，得$0.5x+15 -（x+5）=7$，解得：$x=6$；答：气球上升6或34分钟时，两个气球所在位置的海拔高度相差7m。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合气球上升的实际情境，考查一次函数与一元一次方程的综合应用，核心是理解匀速运动中海拔与时间的关系，以及相差问题需分情况讨论，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是一次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 匀速上升的气球，海拔高度与上升时间成一次函数关系，初始海拔为函数常数项，上升速度为一次项系数，据此可直接写出两个气球的函数关系式；
2. 两气球同一高度时，海拔高度相等，据此建立方程求解上升时间；
3. 海拔相差7m时，需分两种情况讨论：1号气球比2号高7m，或2号气球比1号高7m，分别建立方程求解即可。
【解析】
（1）1号气球初始海拔5m，上升速度1m/min，因此海拔高度$y_1$与时间$x$的函数关系式为：$y_1 = x + 5$；
2号气球初始海拔15m，上升速度0.5m/min，因此海拔高度$y_2$与时间$x$的函数关系式为：$y_2 = 0.5x + 15$。
（2）当两气球同一高度时，$y_1 = y_2$，代入得：
$x + 5 = 0.5x + 15$
移项得：$0.5x = 10$
解得：$x = 20$，即气球上升20分钟时两气球同高。
（3）海拔相差7m分两种情况：
① $y_1 - y_2 = 7$，代入得：
$x + 5 - (0.5x + 15) = 7$
化简得：$0.5x = 17$，解得$x = 34$；
② $y_2 - y_1 = 7$，代入得：
$0.5x + 15 - (x + 5) = 7$
化简得：$-0.5x = -3$，解得$x = 6$；
即气球上升6或34分钟时，海拔相差7m。
【答案】
解：（1）1号气球的海拔高度$y_1$与$x$的函数关系式为$y_1=x+5$；2号气球的海拔高度$y_2$与$x$的函数关系式为$y_2=0.5x+15$；
（2）由题意得$x+5=0.5x+15$，解得：$x=20$，答：气球上升20分钟时，两个气球位于同一高度；
（3）①当$y_1 - y_2=7$时，得$x+5 -（0.5x+15）=7$，解得：$x=34$；②当$y_2 - y_1=7$时，得$0.5x+15 -（x+5）=7$，解得：$x=6$；答：气球上升6或34分钟时，两个气球所在位置的海拔高度相差7m。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合气球上升的实际情境，考查一次函数与一元一次方程的综合应用，核心是理解匀速运动中海拔与时间的关系，以及相差问题需分情况讨论，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
23.（10分）如图，正方形ABCD的边长为$2\sqrt{5}$，点E，F分别是边AB，BC上的点，$AE=BF$，连DE，AF交于点G，过B点作AF垂线交AF，CD于点M，N.
（1）如图1，求证：四边形BEDN为平行四边形.
（2）如图2，若$AE=\sqrt{5}$，则求BG的长.
（1）如图1，求证：四边形BEDN为平行四边形.
（2）如图2，若$AE=\sqrt{5}$，则求BG的长.
答案
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=AB，∠DAE=∠ABF=90°，AB//CD，
在△ADE和△BAF中，
$\begin{cases}DA = AB\\∠DAE = ∠ABF = 90°\\AE = BF\end{cases}$
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠BAF+∠DAG=∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠DAG=90°，
在△ADG中，∠AGD=180° -（∠ADE+∠DAG）=90°，
∴DE⊥AF，
∵BN⊥AF，
∴DE//BN，
又
∵AB//CD，
∴四边形BEDN为平行四边形；
（2）解：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2√5，
∴AB=2√5，
∵AE=BF，AE=√5，
∴BF=√5，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=$\sqrt{AB^2 + BF^2}$=$\sqrt{(2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2}$=5，
由三角形的面积公式得：$S_{△ABF}=\frac{1}{2}AF•BM=\frac{1}{2}AB•BF$，
∴BM=$\frac{AB•BF}{AF}$=$\frac{2\sqrt{5}×\sqrt{5}}{5}$=2，
在Rt△BFM中，由勾股定理得：MF=$\sqrt{BF^2 - BM^2}$=$\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2}$=1，
∴AM=AF - MF=5 - 1=4，
∵AB=2√5，AE=√5，
∴BE=AB - AE=√5，
∴AE=BE=√5，
又
∵DE//BN，
∴EG是△ABM的中位线，
∴GM=AG=$\frac{1}{2}$AM=2，
在Rt△BMG中，由勾股定理得：BG=$\sqrt{BM^2 + GM^2}$=$\sqrt{2^2 + 2^2}$=2√2.
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=AB，∠DAE=∠ABF=90°，AB//CD，
在△ADE和△BAF中，
$\begin{cases}DA = AB\\∠DAE = ∠ABF = 90°\\AE = BF\end{cases}$
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠BAF+∠DAG=∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠DAG=90°，
在△ADG中，∠AGD=180° -（∠ADE+∠DAG）=90°，
∴DE⊥AF，
∵BN⊥AF，
∴DE//BN，
又
∵AB//CD，
∴四边形BEDN为平行四边形；
（2）解：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2√5，
∴AB=2√5，
∵AE=BF，AE=√5，
∴BF=√5，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=$\sqrt{AB^2 + BF^2}$=$\sqrt{(2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2}$=5，
由三角形的面积公式得：$S_{△ABF}=\frac{1}{2}AF•BM=\frac{1}{2}AB•BF$，
∴BM=$\frac{AB•BF}{AF}$=$\frac{2\sqrt{5}×\sqrt{5}}{5}$=2，
在Rt△BFM中，由勾股定理得：MF=$\sqrt{BF^2 - BM^2}$=$\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2}$=1，
∴AM=AF - MF=5 - 1=4，
∵AB=2√5，AE=√5，
∴BE=AB - AE=√5，
∴AE=BE=√5，
又
∵DE//BN，
∴EG是△ABM的中位线，
∴GM=AG=$\frac{1}{2}$AM=2，
在Rt△BMG中，由勾股定理得：BG=$\sqrt{BM^2 + GM^2}$=$\sqrt{2^2 + 2^2}$=2√2.
解析
【分析】
要解决第（2）问求BG的长度，首先利用正方形的性质和已知AE=BF，先推导DE⊥AF，结合BN⊥AF得到DE//BN；接着在Rt△ABF中用勾股定理算出AF的长度，再通过三角形面积公式求出BM的长；再用勾股定理算出MF，得到AM的长度；根据E是AB中点及DE//BN，得出EG是△ABM的中位线，从而得到GM的长度；最后在Rt△BMG中用勾股定理计算BG的长度。
【解析】
（2）解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为$2\sqrt{5}$，
∴$AB=2\sqrt{5}$，∠ABF=90°，
已知$AE=\sqrt{5}$，且$AE=BF$，
∴$BF=\sqrt{5}$，
在$Rt△ABF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2 + BF^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2}=\sqrt{20 + 5}=5$，
由三角形面积公式：$S_{△ABF}=\frac{1}{2}AF·BM=\frac{1}{2}AB·BF$，
代入数值：$\frac{1}{2}×5×BM=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\sqrt{5}$，
化简得$5BM=10$，解得$BM=2$，
在$Rt△BFM$中，由勾股定理得：
$MF=\sqrt{BF^2 - BM^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2}=\sqrt{5 - 4}=1$，
∴$AM=AF - MF=5 - 1=4$，
又
∵$BE=AB - AE=2\sqrt{5} - \sqrt{5}=\sqrt{5}$，
∴$AE=BE$，即E为AB中点，
由（1）知$DE//BN$，
∴EG是△ABM的中位线，
∴$GM=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×4=2$，
在$Rt△BMG$中，由勾股定理得：
$BG=\sqrt{BM^2 + GM^2}=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
正方形性质、勾股定理、三角形中位线
【点评】
本题是几何综合题，综合运用正方形的性质、勾股定理、三角形面积公式及中位线定理，解题关键是通过面积法求出高BM，再利用中位线得到GM的长度，最终用勾股定理计算BG，考查学生对几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
要解决第（2）问求BG的长度，首先利用正方形的性质和已知AE=BF，先推导DE⊥AF，结合BN⊥AF得到DE//BN；接着在Rt△ABF中用勾股定理算出AF的长度，再通过三角形面积公式求出BM的长；再用勾股定理算出MF，得到AM的长度；根据E是AB中点及DE//BN，得出EG是△ABM的中位线，从而得到GM的长度；最后在Rt△BMG中用勾股定理计算BG的长度。
【解析】
（2）解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为$2\sqrt{5}$，
∴$AB=2\sqrt{5}$，∠ABF=90°，
已知$AE=\sqrt{5}$，且$AE=BF$，
∴$BF=\sqrt{5}$，
在$Rt△ABF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2 + BF^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2}=\sqrt{20 + 5}=5$，
由三角形面积公式：$S_{△ABF}=\frac{1}{2}AF·BM=\frac{1}{2}AB·BF$，
代入数值：$\frac{1}{2}×5×BM=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\sqrt{5}$，
化简得$5BM=10$，解得$BM=2$，
在$Rt△BFM$中，由勾股定理得：
$MF=\sqrt{BF^2 - BM^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2}=\sqrt{5 - 4}=1$，
∴$AM=AF - MF=5 - 1=4$，
又
∵$BE=AB - AE=2\sqrt{5} - \sqrt{5}=\sqrt{5}$，
∴$AE=BE$，即E为AB中点，
由（1）知$DE//BN$，
∴EG是△ABM的中位线，
∴$GM=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×4=2$，
在$Rt△BMG$中，由勾股定理得：
$BG=\sqrt{BM^2 + GM^2}=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
正方形性质、勾股定理、三角形中位线
【点评】
本题是几何综合题，综合运用正方形的性质、勾股定理、三角形面积公式及中位线定理，解题关键是通过面积法求出高BM，再利用中位线得到GM的长度，最终用勾股定理计算BG，考查学生对几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
