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18.（8分）如图，$EF// MN$，A，B是EF，MN上的点，$∠ ABN$的平分线交EF于点D，过点D作AB的平行线交MN于点C.
求证：四边形ABCD是菱形.
求证：四边形ABCD是菱形.
答案
证明：EF//MN，DC//AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ADB=∠CBD，
∵BD是∠ABN的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形.
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ADB=∠CBD，
∵BD是∠ABN的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形.
解析
【分析】
要证明四边形ABCD是菱形，需结合菱形的判定方法：先证明四边形是平行四边形，再证明其一组邻边相等。首先根据已知的两组对边平行，判定四边形ABCD为平行四边形；再利用角平分线的性质和平行线的内错角相等，推导出邻边AB=AD，即可完成菱形的判定。
【解析】
证明：
∵ EF//MN，DC//AB，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，且∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。
∵ BD是∠ABN的平分线，
∴ ∠ABD=∠CBD（角平分线的定义）。
∴ ∠ABD=∠ADB（等量代换），
∴ AB=AD（等角对等边）。
又
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】
四边形ABCD是菱形。
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、平行线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，考查平行四边形与菱形的判定定理，解题思路清晰，需先证平行四边形，再结合角平分线与平行线的性质得到邻边相等，适合巩固几何证明的基本逻辑。
【难度系数】
0.6
要证明四边形ABCD是菱形，需结合菱形的判定方法：先证明四边形是平行四边形，再证明其一组邻边相等。首先根据已知的两组对边平行，判定四边形ABCD为平行四边形；再利用角平分线的性质和平行线的内错角相等，推导出邻边AB=AD，即可完成菱形的判定。
【解析】
证明：
∵ EF//MN，DC//AB，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，且∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。
∵ BD是∠ABN的平分线，
∴ ∠ABD=∠CBD（角平分线的定义）。
∴ ∠ABD=∠ADB（等量代换），
∴ AB=AD（等角对等边）。
又
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】
四边形ABCD是菱形。
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、平行线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，考查平行四边形与菱形的判定定理，解题思路清晰，需先证平行四边形，再结合角平分线与平行线的性质得到邻边相等，适合巩固几何证明的基本逻辑。
【难度系数】
0.6
19.（8分）根据教育部相关通知要求，各地中小学校需保障学生每天校内、校外各1个小时的体育活动时间，部分有条件的学校可延长校内户外活动至2小时.某区各中小学积极落实通知要求，增加学生在校活动时间，同时，为了解学生每天平均校外活动时间的情况，某校随机抽查了该学校七、八、九年级部分同学，对其每天平均校外活动时间进行统计，并绘制了如图所示的不完整的统计图.请根据相关信息，解答下列问题：
（1）该校抽查的学生的人数为
（2）求被抽查的学生每天平均校外活动时间的平均数.
（3）根据统计的样本数据，简要谈谈你对该校“学生每天平均校外活动时间情况”的看法，并结合自己的实际，提一条关于校外活动的建议.
（1）该校抽查的学生的人数为
100
人，图中的$ b $的值是 40
，这组数据的众数是 1.5小时
.（2）求被抽查的学生每天平均校外活动时间的平均数.
（3）根据统计的样本数据，简要谈谈你对该校“学生每天平均校外活动时间情况”的看法，并结合自己的实际，提一条关于校外活动的建议.
答案
解：（1）该校抽查的学生的人数为 30÷30%=100（人），
∴每天平均校外活动时间是1.5小时的人数为100 - 12 - 30 - 18=40（人），
∴a%=$\frac{18}{100}$×100%=18%，b%=$\frac{100-12-30-18}{100}$×100%=40%，
∴a=18，b=40；
故答案为：100，40，1.5小时；
（2）$\frac{0.5×12+1×30+1.5×40+2×18}{100}$=1.32（小时），
答：被抽查的学生每天平均校外活动时间的平均数为1.32小时；
（3）该校学生大部分都符合要求，极少部分同学还要加强校外活动；建议增加校外活动场所，方便同学们参加活动（言之有理即可）.
∴每天平均校外活动时间是1.5小时的人数为100 - 12 - 30 - 18=40（人），
∴a%=$\frac{18}{100}$×100%=18%，b%=$\frac{100-12-30-18}{100}$×100%=40%，
∴a=18，b=40；
故答案为：100，40，1.5小时；
（2）$\frac{0.5×12+1×30+1.5×40+2×18}{100}$=1.32（小时），
答：被抽查的学生每天平均校外活动时间的平均数为1.32小时；
（3）该校学生大部分都符合要求，极少部分同学还要加强校外活动；建议增加校外活动场所，方便同学们参加活动（言之有理即可）.
解析
【分析】
首先，根据扇形图中“1小时”的占比30%和对应条形图的人数30，可求出抽查的总人数；再用总人数减去其他时间的人数得到1.5小时的人数，进而算出b的值；众数是出现次数最多的数据，对应人数最多的时间即为众数。计算平均数时，利用加权平均数公式，用各时间乘以对应人数的和除以总人数即可。
【解析】
（1）已知“1小时”对应的人数为30，占比30%，则抽查总人数为：$30÷30\% = 100$（人）。
1.5小时的人数为：$100 - 12 - 30 - 18 = 40$（人），因此$b\% = \frac{40}{100}×100\% = 40\%$，即$b=40$。
在这组数据中，1.5小时对应的人数最多（40人），故众数是1.5小时。
（2）根据加权平均数公式，被抽查学生每天平均校外活动时间的平均数为：
$\frac{0.5×12 + 1×30 + 1.5×40 + 2×18}{100} = \frac{6 + 30 + 60 + 36}{100} = \frac{132}{100} = 1.32$（小时）
（3）看法：该校大部分学生每天平均校外活动时间符合要求，仅少数学生的校外活动时间不足，整体落实情况较好。建议：学校可与社区合作，开放更多适合学生的校外体育活动场地，丰富学生的校外活动选择。
【答案】
（1）100，40，1.5小时；（2）1.32小时；（3）看法合理即可，建议合理即可。
【知识点】
条形统计图，扇形统计图，众数，加权平均数
【点评】
本题结合两种统计图考查统计基础应用，解题核心是从图中提取有效数据，计算总人数、众数和加权平均数，难度较低，注重对统计知识的实际运用。
【难度系数】
0.8
首先，根据扇形图中“1小时”的占比30%和对应条形图的人数30，可求出抽查的总人数；再用总人数减去其他时间的人数得到1.5小时的人数，进而算出b的值；众数是出现次数最多的数据，对应人数最多的时间即为众数。计算平均数时，利用加权平均数公式，用各时间乘以对应人数的和除以总人数即可。
【解析】
（1）已知“1小时”对应的人数为30，占比30%，则抽查总人数为：$30÷30\% = 100$（人）。
1.5小时的人数为：$100 - 12 - 30 - 18 = 40$（人），因此$b\% = \frac{40}{100}×100\% = 40\%$，即$b=40$。
在这组数据中，1.5小时对应的人数最多（40人），故众数是1.5小时。
（2）根据加权平均数公式，被抽查学生每天平均校外活动时间的平均数为：
$\frac{0.5×12 + 1×30 + 1.5×40 + 2×18}{100} = \frac{6 + 30 + 60 + 36}{100} = \frac{132}{100} = 1.32$（小时）
（3）看法：该校大部分学生每天平均校外活动时间符合要求，仅少数学生的校外活动时间不足，整体落实情况较好。建议：学校可与社区合作，开放更多适合学生的校外体育活动场地，丰富学生的校外活动选择。
【答案】
（1）100，40，1.5小时；（2）1.32小时；（3）看法合理即可，建议合理即可。
【知识点】
条形统计图，扇形统计图，众数，加权平均数
【点评】
本题结合两种统计图考查统计基础应用，解题核心是从图中提取有效数据，计算总人数、众数和加权平均数，难度较低，注重对统计知识的实际运用。
【难度系数】
0.8
20.(8分)如图,在四边形ABCD中,E是AD的中点,CE,BD交于点F,DF=FB,连接AF,若
请从（1）AF//CB；（2）CF=2EF；（3）AF=BC这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立.将选择的序号先填写在横线上，再说明理由.
(1)或(2)
,则四边形AFCB是平行四边形.请从（1）AF//CB；（2）CF=2EF；（3）AF=BC这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立.将选择的序号先填写在横线上，再说明理由.
答案
解：如图，
∵E是AD的中点，DF=FB，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF//AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，
选择（1）AF//CB，
又
∵AB//CF，
∴四边形AFCB是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
故（1）符合题意；
选择（2）CF=2EF，
∵EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=CF，
又
∵AB//CF，
∴四边形AFCB是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
故（2）符合题意；
选择（3）AF=BC，无法证明四边形AFCB是平行四边形，
故（3）不符合题意；
故答案为：（1）或（2）.
∵E是AD的中点，DF=FB，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF//AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，
选择（1）AF//CB，
又
∵AB//CF，
∴四边形AFCB是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
故（1）符合题意；
选择（2）CF=2EF，
∵EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=CF，
又
∵AB//CF，
∴四边形AFCB是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
故（2）符合题意；
选择（3）AF=BC，无法证明四边形AFCB是平行四边形，
故（3）不符合题意；
故答案为：（1）或（2）.
解析
【分析】要判断哪个条件能使四边形AFCB为平行四边形，先利用E是AD中点、DF=FB，得出EF是△ABD的中位线，进而得到EF//AB且EF=1/2 AB，即AB//CF；再结合各选项条件，依据平行四边形的判定定理逐一验证即可。
【解析】
∵E是AD的中点，DF=FB，
∴EF是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理得：EF//AB，且EF=$\frac{1}{2}$AB，即AB//CF。
选（1）AF//CB：已知AB//CF，又AF//CB，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形AFCB是平行四边形，故（1）符合题意；
选（2）CF=2EF：
∵EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2EF，又CF=2EF，故AB=CF，且AB//CF，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形AFCB是平行四边形，故（2）符合题意；
选（3）AF=BC：仅AF=BC，无法推出边的平行关系，不能判定四边形AFCB是平行四边形，故（3）不符合题意。
【答案】（1）或（2）
【知识点】三角形中位线定理，平行四边形的判定
【点评】本题结合三角形中位线定理和平行四边形的判定，考查几何推理能力，需熟练运用相关定理分析边的平行与数量关系，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5
【解析】
∵E是AD的中点，DF=FB，
∴EF是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理得：EF//AB，且EF=$\frac{1}{2}$AB，即AB//CF。
选（1）AF//CB：已知AB//CF，又AF//CB，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形AFCB是平行四边形，故（1）符合题意；
选（2）CF=2EF：
∵EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2EF，又CF=2EF，故AB=CF，且AB//CF，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形AFCB是平行四边形，故（2）符合题意；
选（3）AF=BC：仅AF=BC，无法推出边的平行关系，不能判定四边形AFCB是平行四边形，故（3）不符合题意。
【答案】（1）或（2）
【知识点】三角形中位线定理，平行四边形的判定
【点评】本题结合三角形中位线定理和平行四边形的判定，考查几何推理能力，需熟练运用相关定理分析边的平行与数量关系，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5
