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1. 不等式组$\begin{cases}1-\dfrac{1}{2}x≥0, \\3x+2＞-1\end{cases}$的解集是（ ）
A.$-1＜x≤2$
B.$-2≤ x＜1$
C.$x＜-1$或$x≥2$
D.$-2≤ x＜-1$
A.$-1＜x≤2$
B.$-2≤ x＜1$
C.$x＜-1$或$x≥2$
D.$-2≤ x＜-1$
答案
1.A
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解每个不等式的解集，再找两个解集的公共部分即为不等式组的解集。首先我们先处理第一个不等式，注意移项后系数化为1时，若两边同时乘除负数，不等号方向要改变；再解第二个不等式，最后根据解集口诀确定公共解集即可。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$1-\dfrac{1}{2}x≥ 0$：
移项得：$-\dfrac{1}{2}x≥ -1$，
两边同时乘以$-2$（不等号方向改变），得：$x≤ 2$。
2. 解不等式$3x+2＞-1$：
移项得：$3x ＞ -1-2$，
合并同类项得：$3x ＞ -3$，
系数化为1得：$x ＞ -1$。
两个解集的公共部分为$-1 ＜ x≤ 2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式的解法、一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题是不等式组求解的基础题型，解题关键是牢记解不等式时系数化为1的符号变化规则，确定公共解集时可结合数轴或“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀验证，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解每个不等式的解集，再找两个解集的公共部分即为不等式组的解集。首先我们先处理第一个不等式，注意移项后系数化为1时，若两边同时乘除负数，不等号方向要改变；再解第二个不等式，最后根据解集口诀确定公共解集即可。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$1-\dfrac{1}{2}x≥ 0$：
移项得：$-\dfrac{1}{2}x≥ -1$，
两边同时乘以$-2$（不等号方向改变），得：$x≤ 2$。
2. 解不等式$3x+2＞-1$：
移项得：$3x ＞ -1-2$，
合并同类项得：$3x ＞ -3$，
系数化为1得：$x ＞ -1$。
两个解集的公共部分为$-1 ＜ x≤ 2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式的解法、一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题是不等式组求解的基础题型，解题关键是牢记解不等式时系数化为1的符号变化规则，确定公共解集时可结合数轴或“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀验证，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
2.把不等式组$\begin{cases}2x+1＞-1,\\x+2≤3\end{cases}$的解集表示在数轴上,下列选项正确的是( )
答案
2.B
解析
【分析】
解题时需先分别求解不等式组内的两个一元一次不等式，得到各自的解集后，取两个解集的公共部分即为不等式组的总解集，再结合数轴表示解集的规则：大于向右延伸、小于向左延伸，包含端点用实心点、不包含端点用空心圈，对照选项判断即可。
【解析】
1. 解第一个不等式$2x+1＞-1$：
移项计算得$2x＞-1-1$，即$2x＞-2$，两边同时除以2，解得$x＞-1$。
2. 解第二个不等式$x+2≤3$：
移项计算得$x≤3-2$，解得$x≤1$。
3. 取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-1＜x≤1$。
4. 数轴表示：$-1$处不含等号，画空心圆圈向右延伸；$1$处含等号，画实心圆点向左延伸，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的解法，解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题型，重点考查不等式组的求解和数轴表示解集的规范，需注意区分空心圈和实心点的使用场景，避免因细节失误选错答案。
【难度系数】
0.8
解题时需先分别求解不等式组内的两个一元一次不等式，得到各自的解集后，取两个解集的公共部分即为不等式组的总解集，再结合数轴表示解集的规则：大于向右延伸、小于向左延伸，包含端点用实心点、不包含端点用空心圈，对照选项判断即可。
【解析】
1. 解第一个不等式$2x+1＞-1$：
移项计算得$2x＞-1-1$，即$2x＞-2$，两边同时除以2，解得$x＞-1$。
2. 解第二个不等式$x+2≤3$：
移项计算得$x≤3-2$，解得$x≤1$。
3. 取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-1＜x≤1$。
4. 数轴表示：$-1$处不含等号，画空心圆圈向右延伸；$1$处含等号，画实心圆点向左延伸，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的解法，解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题型，重点考查不等式组的求解和数轴表示解集的规范，需注意区分空心圈和实心点的使用场景，避免因细节失误选错答案。
【难度系数】
0.8
3.一个一元一次不等式组的解集在数轴上的表示为
，则该不等式组的解集是(
A.$-1≤ x＜3$
B.$-1＜ x≤3$
C.$x≥ -1$
D.$x＜3$
，则该不等式组的解集是(A
)A.$-1≤ x＜3$
B.$-1＜ x≤3$
C.$x≥ -1$
D.$x＜3$
答案
3.A
解析
【分析】
要确定数轴表示的不等式组的解集，首先要掌握数轴表示不等式解集的规则：实心圆点代表包含该点对应的数，对应不等号带等号（≥或≤）；空心圆圈代表不包含该点对应的数，对应不等号不带等号（＞或＜）；折线向右对应“大于”，向左对应“小于”。接下来我们先分别读出两个不等式的解集，再取它们的公共部分，就是不等式组的解集。
【解析】
第一步：观察-1处的标识：是实心圆点，且折线向右，因此对应的不等式解集为$x≥ -1$；
第二步：观察3处的标识：是空心圆圈，且折线向左，因此对应的不等式解集为$x＜3$；
第三步：一元一次不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分，因此该不等式组的解集为$-1≤ x＜3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
不等式解集的数轴表示；一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对不等式解集数轴表示规则的掌握，只要能准确区分实心点、空心点的含义以及折线方向对应的不等号方向，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
要确定数轴表示的不等式组的解集，首先要掌握数轴表示不等式解集的规则：实心圆点代表包含该点对应的数，对应不等号带等号（≥或≤）；空心圆圈代表不包含该点对应的数，对应不等号不带等号（＞或＜）；折线向右对应“大于”，向左对应“小于”。接下来我们先分别读出两个不等式的解集，再取它们的公共部分，就是不等式组的解集。
【解析】
第一步：观察-1处的标识：是实心圆点，且折线向右，因此对应的不等式解集为$x≥ -1$；
第二步：观察3处的标识：是空心圆圈，且折线向左，因此对应的不等式解集为$x＜3$；
第三步：一元一次不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分，因此该不等式组的解集为$-1≤ x＜3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
不等式解集的数轴表示；一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对不等式解集数轴表示规则的掌握，只要能准确区分实心点、空心点的含义以及折线方向对应的不等号方向，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
二、填空题
4.若不等式$\begin{cases}x＞a, \\ 3x+2＜4x-1\end{cases}$的解集是$x＞3$，则$a$的取值范围是 ______ 。
4.若不等式$\begin{cases}x＞a, \\ 3x+2＜4x-1\end{cases}$的解集是$x＞3$，则$a$的取值范围是 ______ 。
答案
4.$a≤3$
解析
【分析】
解题时先求解不等式组中不含参数的一元一次不等式，得到其解集，再结合已知的不等式组的最终解集，根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，分析参数a和解集边界3的大小关系，注意不要遗漏等号的情况。
【解析】
第一步：解不等式$3x+2＜4x-1$，
移项可得：$3x-4x＜-1-2$，
合并同类项得：$-x＜-3$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x＞3$。
第二步：已知不等式组的另一个不等式为$x＞a$，且不等式组的解集是$x＞3$，根据“同大取大”的解集判定规则：当两个不等式都是大于号时，解集取边界值较大的部分。若$a＞3$，则不等式组的解集应为$x＞a$，不符合题意，因此$a$的取值不能大于3，即$a≤3$。
【答案】
$a≤3$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 一元一次不等式组的解集
【点评】
本题考查根据不等式组的解集求参数的取值范围，解题的核心是熟练掌握不等式组解集的确定口诀，尤其要注意验证等号是否成立，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先求解不等式组中不含参数的一元一次不等式，得到其解集，再结合已知的不等式组的最终解集，根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，分析参数a和解集边界3的大小关系，注意不要遗漏等号的情况。
【解析】
第一步：解不等式$3x+2＜4x-1$，
移项可得：$3x-4x＜-1-2$，
合并同类项得：$-x＜-3$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x＞3$。
第二步：已知不等式组的另一个不等式为$x＞a$，且不等式组的解集是$x＞3$，根据“同大取大”的解集判定规则：当两个不等式都是大于号时，解集取边界值较大的部分。若$a＞3$，则不等式组的解集应为$x＞a$，不符合题意，因此$a$的取值不能大于3，即$a≤3$。
【答案】
$a≤3$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 一元一次不等式组的解集
【点评】
本题考查根据不等式组的解集求参数的取值范围，解题的核心是熟练掌握不等式组解集的确定口诀，尤其要注意验证等号是否成立，避免漏解。
【难度系数】
0.7
5. 已知关于$x$的分式方程$\frac{2}{x+1} - \frac{2a - x -1}{x^2 + x} = 0$无解，则$a$的值为
$a=\frac{1}{2}$或$a=-1$
。答案
5.$a=\frac{1}{2}$或$a=-1$
解析
【分析】
分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数取值）。解题时先确定原方程的最简公分母，找到可能的增根，再去分母化为整式方程，分两种情况讨论计算a的值即可。
【解析】
首先确定原分式方程的分母为$x^2+x=x(x+1)$，因此原方程的增根只能是$x=0$或$x=-1$（此时分母为0，分式无意义）。
给原方程两边同时乘最简公分母$x(x+1)$去分母，得：
$2x - (2a - x - 1) = 0$
整理整式方程：
$2x - 2a + x + 1 = 0$
$3x = 2a - 1$
解得$x=\frac{2a-1}{3}$。
因为原分式方程无解，分两种情况讨论：
1. 整式方程的解为增根$x=0$：
代入得$\frac{2a-1}{3}=0$，解得$a=\frac{1}{2}$；
2. 整式方程的解为增根$x=-1$：
代入得$\frac{2a-1}{3}=-1$，解得$a=-1$。
本题中去分母后的整式方程是一元一次方程，系数$3≠0$，一定有解，不存在整式方程无解的情况。
综上，a的值为$\frac{1}{2}$或$-1$。
【答案】
$a=\frac{1}{2}$或$a=-1$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件；解分式方程
【点评】
本题是分式方程求参数类的典型题型，解题核心是明确分式方程无解的两类情形，尤其不要遗漏增根的情况，去分母时要注意符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数取值）。解题时先确定原方程的最简公分母，找到可能的增根，再去分母化为整式方程，分两种情况讨论计算a的值即可。
【解析】
首先确定原分式方程的分母为$x^2+x=x(x+1)$，因此原方程的增根只能是$x=0$或$x=-1$（此时分母为0，分式无意义）。
给原方程两边同时乘最简公分母$x(x+1)$去分母，得：
$2x - (2a - x - 1) = 0$
整理整式方程：
$2x - 2a + x + 1 = 0$
$3x = 2a - 1$
解得$x=\frac{2a-1}{3}$。
因为原分式方程无解，分两种情况讨论：
1. 整式方程的解为增根$x=0$：
代入得$\frac{2a-1}{3}=0$，解得$a=\frac{1}{2}$；
2. 整式方程的解为增根$x=-1$：
代入得$\frac{2a-1}{3}=-1$，解得$a=-1$。
本题中去分母后的整式方程是一元一次方程，系数$3≠0$，一定有解，不存在整式方程无解的情况。
综上，a的值为$\frac{1}{2}$或$-1$。
【答案】
$a=\frac{1}{2}$或$a=-1$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件；解分式方程
【点评】
本题是分式方程求参数类的典型题型，解题核心是明确分式方程无解的两类情形，尤其不要遗漏增根的情况，去分母时要注意符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
6.如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=
$\sqrt{3}$
。答案
6.$\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆等边三角形的性质：等边三角形的三个内角均为60°，中线同时是角平分线和高；再结合CE=CD可得△CDE为等腰三角形，利用三角形外角性质求出∠E的度数，可推导得∠DBC=∠E，即BD=DE，最后在直角三角形BCD中用勾股定理计算BD的长度，即可得到DE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，BD为AC边上的中线
∴∠ABC=∠ACB=60°，BD平分∠ABC，BD⊥AC，AC=BC=2CD
已知CD=1，
∴BC=2×1=2，∠DBC=½∠ABC=30°
∵CE=CD=1
∴∠CDE=∠E
又
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB=∠CDE+∠E=2∠E=60°
解得∠E=30°
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=DE
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
BD=√(BC² - CD²)=√(2² - 1²)=√3
∴DE=BD=√3
【答案】
√3
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，解题关键是通过角度关系转化线段相等关系，再结合勾股定理求解线段长，熟练掌握等边、等腰三角形的性质是解答这类题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆等边三角形的性质：等边三角形的三个内角均为60°，中线同时是角平分线和高；再结合CE=CD可得△CDE为等腰三角形，利用三角形外角性质求出∠E的度数，可推导得∠DBC=∠E，即BD=DE，最后在直角三角形BCD中用勾股定理计算BD的长度，即可得到DE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，BD为AC边上的中线
∴∠ABC=∠ACB=60°，BD平分∠ABC，BD⊥AC，AC=BC=2CD
已知CD=1，
∴BC=2×1=2，∠DBC=½∠ABC=30°
∵CE=CD=1
∴∠CDE=∠E
又
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB=∠CDE+∠E=2∠E=60°
解得∠E=30°
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=DE
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
BD=√(BC² - CD²)=√(2² - 1²)=√3
∴DE=BD=√3
【答案】
√3
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，解题关键是通过角度关系转化线段相等关系，再结合勾股定理求解线段长，熟练掌握等边、等腰三角形的性质是解答这类题的基础。
【难度系数】
0.7
7. 因式分解：$m^3 - 4m =$
$m(m+2)(m-2)$
。答案
7.$m(m+2)(m-2)$
解析
【分析】
解决因式分解问题遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有则优先提取公因式；第二步提取公因式后，判断剩余部分是否符合乘法公式的结构特征，若符合则套用公式继续分解；第三步检查最终结果，确保每个因式都无法再分解。本题中多项式$m^3-4m$的两项均含公因式$m$，先提取公因式后剩余的$m^2-4$符合平方差公式的形式，可继续分解。
【解析】
解：$\begin{split}&m^3 - 4m\\=&m(m^2 - 4) \quad \mathrm{（提取公因式}m\mathrm{）}\\=&m(m+2)(m-2) \quad \mathrm{（利用平方差公式}a^2-b^2=(a+b)(a-b)\mathrm{分解）}\end{split}$
【答案】
$m(m+2)(m-2)$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时需严格按照因式分解的步骤操作，尤其要注意提取公因式后检查剩余部分是否可继续分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
解决因式分解问题遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有则优先提取公因式；第二步提取公因式后，判断剩余部分是否符合乘法公式的结构特征，若符合则套用公式继续分解；第三步检查最终结果，确保每个因式都无法再分解。本题中多项式$m^3-4m$的两项均含公因式$m$，先提取公因式后剩余的$m^2-4$符合平方差公式的形式，可继续分解。
【解析】
解：$\begin{split}&m^3 - 4m\\=&m(m^2 - 4) \quad \mathrm{（提取公因式}m\mathrm{）}\\=&m(m+2)(m-2) \quad \mathrm{（利用平方差公式}a^2-b^2=(a+b)(a-b)\mathrm{分解）}\end{split}$
【答案】
$m(m+2)(m-2)$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时需严格按照因式分解的步骤操作，尤其要注意提取公因式后检查剩余部分是否可继续分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
三、计算题
8.
8.
答案
8.$1≤x＜4$
解析
【分析】
本题为一元一次不等式组的求解问题，解题思路清晰：首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，解第一个带括号的不等式时，先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1，注意当未知数的系数为负数时，不等号方向要发生改变；解第二个带分母的不等式时，先给不等式两边同乘分母去掉分母，注意不要漏乘不含分母的项，再按一元一次不等式的求解步骤计算。最后根据不等式组解集的确定口诀“大小小大中间找”，找到两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集。
【解析】
记不等式组为$\begin{cases}x - 3(x - 2) ≤ 4&①\\\dfrac{1 + 2x}{3} ＞ x - 1&②\end{cases}$
解不等式①：
去括号，得$x - 3x + 6 ≤ 4$
移项、合并同类项，得$-2x ≤ -2$
系数化为1（不等号方向改变），得$x ≥ 1$
解不等式②：
两边同乘3去分母，得$1 + 2x ＞ 3(x - 1)$
去括号，得$1 + 2x ＞ 3x - 3$
移项、合并同类项，得$-x ＞ -4$
系数化为1（不等号方向改变），得$x ＜ 4$
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$1 ≤ x ＜ 4$。
【答案】
$1≤ x＜4$
【知识点】
一元一次不等式组解法，一元一次不等式解法，不等式基本性质
【点评】
本题属于基础计算类题型，重点考查解一元一次不等式组的能力，解题时需注意去分母不要漏乘常数项、系数为负时不等号方向要改变这两个易错点，掌握解集判断口诀可快速确定最终解集。
【难度系数】
0.8
本题为一元一次不等式组的求解问题，解题思路清晰：首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，解第一个带括号的不等式时，先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1，注意当未知数的系数为负数时，不等号方向要发生改变；解第二个带分母的不等式时，先给不等式两边同乘分母去掉分母，注意不要漏乘不含分母的项，再按一元一次不等式的求解步骤计算。最后根据不等式组解集的确定口诀“大小小大中间找”，找到两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集。
【解析】
记不等式组为$\begin{cases}x - 3(x - 2) ≤ 4&①\\\dfrac{1 + 2x}{3} ＞ x - 1&②\end{cases}$
解不等式①：
去括号，得$x - 3x + 6 ≤ 4$
移项、合并同类项，得$-2x ≤ -2$
系数化为1（不等号方向改变），得$x ≥ 1$
解不等式②：
两边同乘3去分母，得$1 + 2x ＞ 3(x - 1)$
去括号，得$1 + 2x ＞ 3x - 3$
移项、合并同类项，得$-x ＞ -4$
系数化为1（不等号方向改变），得$x ＜ 4$
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$1 ≤ x ＜ 4$。
【答案】
$1≤ x＜4$
【知识点】
一元一次不等式组解法，一元一次不等式解法，不等式基本性质
【点评】
本题属于基础计算类题型，重点考查解一元一次不等式组的能力，解题时需注意去分母不要漏乘常数项、系数为负时不等号方向要改变这两个易错点，掌握解集判断口诀可快速确定最终解集。
【难度系数】
0.8
