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1. 《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改成横排. 图①、图②中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 $ x $，$ y $ 的系数与相应的常数项. 把图①所示的算筹图用方程组形式表示出来是 $ \begin{cases}x + 3y = 18, \\ 2x + 4y = 26.\end{cases}$ 类似地，图②所示的算筹图可以表示为 ______ .
答案
由图②可知，第一行表示的方程为 $3x + 2y = 19$，
第二行表示的方程为 $x + 4y = 23$。
所以图②所示的算筹图可以表示为：
$\begin{cases}3x + 2y = 19, \\x + 4y = 23.\end{cases}$
第二行表示的方程为 $x + 4y = 23$。
所以图②所示的算筹图可以表示为：
$\begin{cases}3x + 2y = 19, \\x + 4y = 23.\end{cases}$
2. 从甲地到乙地，先下山再走平路. 某人骑自行车以 $ 12 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $ 的速度下山，以 $ 9 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $ 的速度走平路，到达乙地共用 $ 55 \mathrm{~min} $；他返回时，以 $ 8 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $ 的速度通过平路，以 $ 4 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $ 的速度上山，共用了 $ 1.5 \mathrm{~h} $. 甲、乙两地的距离是.
答案
设从甲地到乙地的下山路程为 $x$ 千米，平路为 $y$ 千米。
根据题意，去程的时间关系可以表示为：
$\frac{x}{12} + \frac{y}{9} = \frac{55}{60}$
即：
$\frac{x}{12} + \frac{y}{9} = \frac{11}{12}$
同样地，回程的时间关系可以表示为：
$\frac{x}{4} + \frac{y}{8} = 1.5$
即：
$\frac{x}{4} + \frac{y}{8} = \frac{3}{2}$
为了解这个方程组，我们可以将方程1乘以 36（即 12, 9 和 60 的最小公倍数）得到：
$3x + 4y = 33 \quad (1)$
将方程2乘以 8 得到：
$2x + y = 12 \quad (2)$
接下来，我们解这个新的方程组。
从方程(2)中解出 $y$：
$y = 12 - 2x \quad (3)$
将方程(3)代入方程(1)中，得到：
$3x + 4(12 - 2x) = 33$
$3x + 48 - 8x = 33$
$-5x = -15$
$x = 3$
将 $x = 3$ 代入方程(3)中，得到：
$y = 12 - 2 × 3$
$y = 6$
所以，从甲地到乙地的总距离为：
$x + y = 3 + 6 = 9 (千米）$
故答案为：9千米。
根据题意，去程的时间关系可以表示为：
$\frac{x}{12} + \frac{y}{9} = \frac{55}{60}$
即：
$\frac{x}{12} + \frac{y}{9} = \frac{11}{12}$
同样地，回程的时间关系可以表示为：
$\frac{x}{4} + \frac{y}{8} = 1.5$
即：
$\frac{x}{4} + \frac{y}{8} = \frac{3}{2}$
为了解这个方程组，我们可以将方程1乘以 36（即 12, 9 和 60 的最小公倍数）得到：
$3x + 4y = 33 \quad (1)$
将方程2乘以 8 得到：
$2x + y = 12 \quad (2)$
接下来，我们解这个新的方程组。
从方程(2)中解出 $y$：
$y = 12 - 2x \quad (3)$
将方程(3)代入方程(1)中，得到：
$3x + 4(12 - 2x) = 33$
$3x + 48 - 8x = 33$
$-5x = -15$
$x = 3$
将 $x = 3$ 代入方程(3)中，得到：
$y = 12 - 2 × 3$
$y = 6$
所以，从甲地到乙地的总距离为：
$x + y = 3 + 6 = 9 (千米）$
故答案为：9千米。
3. 提升题 我国古代夏禹时期的“洛书”(图①所示)就是一个三阶“幻方”(图②所示). 观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系. 如图③所示，根据寻找出的关系，可推算出 $ y^{|x|} $ 的值为.
答案
36
解析
解题步骤：
1. 确定幻和：三阶幻方中，幻和等于中间数的3倍。图③中间数为$-1$，故幻和$S = 3×(-1) = -3$。
2. 求$y$：主对角线（4，$-1$，$y$）的和为幻和，即$4 + (-1) + y = -3$，解得$y = -6$。
3. 求$x$：另一条对角线（3，$-1$，$c$）的和为幻和，即$3 + (-1) + c = -3$，解得$c = -5$。第一列（4，$x$，$c$）的和为幻和，即$4 + x + (-5) = -3$，解得$x = -2$。
4. 计算$y^{|x|}$：$|x| = |-2| = 2$，则$y^{|x|} = (-6)^2 = 36$。
1. 确定幻和：三阶幻方中，幻和等于中间数的3倍。图③中间数为$-1$，故幻和$S = 3×(-1) = -3$。
2. 求$y$：主对角线（4，$-1$，$y$）的和为幻和，即$4 + (-1) + y = -3$，解得$y = -6$。
3. 求$x$：另一条对角线（3，$-1$，$c$）的和为幻和，即$3 + (-1) + c = -3$，解得$c = -5$。第一列（4，$x$，$c$）的和为幻和，即$4 + x + (-5) = -3$，解得$x = -2$。
4. 计算$y^{|x|}$：$|x| = |-2| = 2$，则$y^{|x|} = (-6)^2 = 36$。
4. 某乐园的门票价格如下表所示. 某校七年级(1)(2)两个班共 104 人去该乐园游玩，其中(1)班人数较少，不到 50 人，(2)班人数较多，有 50 多人. 经测算，若两个班都以班为单位分别购票，则一共应付 1240 元；若两个班联合起来作为一个团体购票，则可以节省不少钱. 问两个班各有多少名学生？
答案
设(1)班有$x$名学生，(2)班有$y$名学生。
根据题意，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}x + y = 104, \\13x + 11y = 1240.\end{cases}$
从第一个方程中解出$y$：
$y = 104 - x$，
将$y = 104 - x$代入第二个方程$13x + 11y = 1240$中，得到：
$13x + 11(104 - x) = 1240$，
去括号，得到：
$13x + 1144 - 11x = 1240$，
移项并合并同类项，得到：
$2x = 96$，
系数化为1，得到：
$x = 48$。
将$x = 48$代入$y = 104 - x$，得到：
$y = 104 - 48 = 56$。
答：(1)班有48名学生，(2)班有56名学生。
根据题意，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}x + y = 104, \\13x + 11y = 1240.\end{cases}$
从第一个方程中解出$y$：
$y = 104 - x$，
将$y = 104 - x$代入第二个方程$13x + 11y = 1240$中，得到：
$13x + 11(104 - x) = 1240$，
去括号，得到：
$13x + 1144 - 11x = 1240$，
移项并合并同类项，得到：
$2x = 96$，
系数化为1，得到：
$x = 48$。
将$x = 48$代入$y = 104 - x$，得到：
$y = 104 - 48 = 56$。
答：(1)班有48名学生，(2)班有56名学生。
5. 某中学七年级某兴趣小组在开展“探究小球与水面高度的关系”的项目式学习活动中，准备了若干体积相同的大球和体积相同的小球，并尝试将球放入一个有水的高为 $ 55 \mathrm{~cm} $ 的圆柱形烧杯中(烧杯中原有水面高度是 $ 26 \mathrm{~cm} $)，以观察放入大球、小球的数量和烧杯中水面高度的变化情况. 该兴趣小组的同学根据水面高度的变化绘制了实验结果，如图所示. 请根据图中信息，解答下列问题：
放入一个小球后水面升高 $ \mathrm{cm} $；
若放入大球、小球共 10 个，要使水面上升到 $ 50 \mathrm{~cm} $，设放入大球 $ x $ 个，放入小球 $ y $ 个，求 $ x $ 和 $ y $ 的值.
放入一个小球后水面升高 $ \mathrm{cm} $；
若放入大球、小球共 10 个，要使水面上升到 $ 50 \mathrm{~cm} $，设放入大球 $ x $ 个，放入小球 $ y $ 个，求 $ x $ 和 $ y $ 的值.
答案
2；
设放入一个大球水面升高 $ a \, \mathrm{cm} $，放入一个小球水面升高 $ b \, \mathrm{cm} $。
由题意，放入3个小球水面从26cm升至32cm，得 $ 3b = 32 - 26 $，解得 $ b = 2 $。
放入2个大球水面从26cm升至32cm，得 $ 2a = 32 - 26 $，解得 $ a = 3 $。
根据放入大球、小球共10个，水面上升到50cm，列方程组：
$\begin{cases}x + y = 10 \\3x + 2y = 50 - 26\end{cases}$
化简第二个方程：$ 3x + 2y = 24 $。
由第一个方程得 $ y = 10 - x $，代入第二个方程：
$ 3x + 2(10 - x) = 24 $，解得 $ x = 4 $，则 $ y = 10 - 4 = 6 $。
$ x = 4 $，$ y = 6 $。
设放入一个大球水面升高 $ a \, \mathrm{cm} $，放入一个小球水面升高 $ b \, \mathrm{cm} $。
由题意，放入3个小球水面从26cm升至32cm，得 $ 3b = 32 - 26 $，解得 $ b = 2 $。
放入2个大球水面从26cm升至32cm，得 $ 2a = 32 - 26 $，解得 $ a = 3 $。
根据放入大球、小球共10个，水面上升到50cm，列方程组：
$\begin{cases}x + y = 10 \\3x + 2y = 50 - 26\end{cases}$
化简第二个方程：$ 3x + 2y = 24 $。
由第一个方程得 $ y = 10 - x $，代入第二个方程：
$ 3x + 2(10 - x) = 24 $，解得 $ x = 4 $，则 $ y = 10 - 4 = 6 $。
$ x = 4 $，$ y = 6 $。
