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1 根据等式的性质,下列变形正确的是 (
A.如果 $8a = 4$,那么 $a = 2$
B.如果 $ac = bc$,那么 $a = b$
C.如果 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$,那么 $2a = 3b$
D.如果 $1 - 2a = 3a$,那么 $3a + 2a = 1$
D
)A.如果 $8a = 4$,那么 $a = 2$
B.如果 $ac = bc$,那么 $a = b$
C.如果 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$,那么 $2a = 3b$
D.如果 $1 - 2a = 3a$,那么 $3a + 2a = 1$
答案
如果 $8a = 4$,那么 $a = \frac{1}{2}$,故选项 A 中变形错误,不符合题意;如果 $ac = bc$,$c ≠ 0$,那么 $a = b$,故选项 B 中变形错误,不符合题意;如果 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$,那么 $3a = 2b$,故选项 C 中变形错误,不符合题意;如果 $1 - 2a = 3a$,那么 $3a + 2a = 1$,故选项 D 中变形正确,符合题意. 故选 D.
2 新考向传统文化《孙子算经》中有这样一道题，大意为今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完。问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（
A.$x+\frac{1}{3}=100$
B.$3x+1=100$
C.$x+\frac{1}{3}x=100$
D.$\frac{x+1}{3}=100$
C
）A.$x+\frac{1}{3}=100$
B.$3x+1=100$
C.$x+\frac{1}{3}x=100$
D.$\frac{x+1}{3}=100$
答案
有 x 户人家,每户分一头鹿,则需 x 头鹿,每 3 户共分一头鹿,则需 $\frac{1}{3}x$ 头鹿,由此可知 $x+\frac{1}{3}x=100$,故选 C.
3 若整数$k$使关于$x$的一元一次方程$\frac{kx}{3}=\frac{x}{2}+\frac{1}{6}(x+12)$有非正整数解，则符合条件的所有整数$k$的和为（
A.$-5$
B.$-4$
C.$-2$
D.$0$
B
）A.$-5$
B.$-4$
C.$-2$
D.$0$
答案
去分母得 $2kx = 3x + (x + 12)$,去括号得 $2kx = 3x + x + 12$,移项、合并同类项得 $(2k - 4)x = 12$,当 $2k - 4 ≠ 0$,即 $k ≠ 2$ 时,解得 $x = \frac{12}{2k - 4} = \frac{6}{k - 2}$. 因为方程的解为非正整数,所以 $k - 2 = -1,-2,-3,-6$,解得 $k = 1,0,-1,-4$,则符合条件的所有整数 k 的和为 $1 - 1 - 4 = -4$. 故选 B.
4 现定义运算“*”，对于任意有理数$a$与$b$，满足
$a*b=\begin{cases} 3a - b & (a≥ b), \\ a - 3b & (a ＜ b), \end{cases}$ 例如$5*3=3×5 - 3=12$，
$\frac{1}{3}*1=\frac{1}{3}-3×1=-\frac{8}{3}$，若有理数$x$满足$x*3=12$，则$x$的值为（
A.21或4
B.5或21
C.4
D.5
$a*b=\begin{cases} 3a - b & (a≥ b), \\ a - 3b & (a ＜ b), \end{cases}$ 例如$5*3=3×5 - 3=12$，
$\frac{1}{3}*1=\frac{1}{3}-3×1=-\frac{8}{3}$，若有理数$x$满足$x*3=12$，则$x$的值为（
D
）A.21或4
B.5或21
C.4
D.5
答案
当 $x ≥ 3$ 时, $x*3 = 3x - 3$,所以 $3x - 3 = 12$,解得 $x = 5$. 当 $x ＜ 3$ 时, $x*3 = x - 3×3$,所以 $x - 3×3 = 12$,解得 $x = 21$(不合题意,舍去). 所以 $x = 5$. 故选 D.
关键点拨
根据“*”的定义,分为两种情况:①当 $x ≥ 3$ 时, $3x - 3 = 12$;②当 $x ＜ 3$ 时, $x - 3×3 = 12$. 解一元一次方程,符合题意的值即为所求.
关键点拨
根据“*”的定义,分为两种情况:①当 $x ≥ 3$ 时, $3x - 3 = 12$;②当 $x ＜ 3$ 时, $x - 3×3 = 12$. 解一元一次方程,符合题意的值即为所求.
5[2026江苏镇江质检]将九个数分别填在$3×3$(3行3列)的方格中,若满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于$m$,则将这样的方格图称为“和$m$幻方”,如图(1)为“和15幻方”,图(2)为“和0幻方”,图(3)为“和39幻方”.若图(4)为“和$m$幻方”,则$m$的值等于 (
A.$-9$
B.$3$
C.$-6$
D.$6$
A
)A.$-9$
B.$3$
C.$-6$
D.$6$
答案
设方格中数字如图. 根据题意得 $m = a + 4 - 4 = a$,$m = -2 + b -$
$4 = b - 6$,$m = a + b + e = -2 + d + e = -4 + c + e = 2 + b + c$,所以 $a = b - 6$,$d = 2 + a + b$,$c = 4 + a + b$,$e = 6 + b$,所以 $d = 2b - 4$,$c = 2b - 2$. 因为所有的数的和为 $3m$,所以 $3m = a + 4 - 4 + 2 + b + c - 2 + d + e$,所以 $3(b - 6) = b - 6 + 4 - 4 + 2 + 2b - 2 - 2 + 2b - 4 + 6 + b$,解得 $b = -3$,所以 $m = b - 6 = -9$. 故选 A.6[2025江苏扬州期中]若关于x的方程$x^2+3x-4=0$的解也是方程$6x+2x^2-3-n=0$的解，则n的值为
5
.答案
由 $x^2 + 3x - 4 = 0$ 可得 $x^2 + 3x = 4$,由 $6x + 2x^2 - 3 - n = 0$ 可得 $2(x^2 + 3x) - 3 - n = 0$. 因为关于 x 的方程 $x^2 + 3x - 4 = 0$ 的解也是方程 $6x + 2x^2 - 3 - n = 0$ 的解,所以把 $x^2 + 3x = 4$ 代入得 $2×4 - 3 - n = 0$,解得 $n = 5$. 故答案为 5.
关键点拨
将 $x^2 + 3x$ 看成一个整体是解决此题的关键.
关键点拨
将 $x^2 + 3x$ 看成一个整体是解决此题的关键.
7 有一列数按一定的规律排列为-1,3,-5,7,-9,11,…,如果其中三个相邻的数之和为-99,那么这三个相邻数中间的数为
99
.答案
设中间的数为 x. 因为其中三个相邻的数之和为 -99,与它相邻的两个数分别为 $-(x - 2)$,$-(x + 2)$,所以 $-(x - 2) + x + [-(x + 2)] = -99$,解得 $x = 99$,即这三个相邻数中间的数为 99,故答案为 99.
思路分析
根据题目中这列数的特点,可知这些数的绝对值是一些连续奇数,其中第奇数个数为负,第偶数个数为正,然后根据其中三个相邻的数之和为 -99,可以列出相应的方程,然后求解即可.
思路分析
根据题目中这列数的特点,可知这些数的绝对值是一些连续奇数,其中第奇数个数为负,第偶数个数为正,然后根据其中三个相邻的数之和为 -99,可以列出相应的方程,然后求解即可.
10,因而求得方程的解为$x=-4$,则这个方程正确的解为
x=-13
.答案
根据题意得 $x = -4$ 是方程 $4x + 2 - 1 = 5x + 5m$ 的解,所以 $4×(-4) + 2 - 1 = 5×(-4) + 5m$,解得 $m = 1$,所以原方程为 $\frac{2x + 1}{5} - 1 = \frac{x + 1}{2}$. 去分母,得 $4x + 2 - 10 = 5x + 5$. 移项,得 $4x - 5x = 5 - 2 + 10$. 合并同类项,得 $-x = 13$. 系数化为 1,得 $x = -13$. 故答案为 $x = -13$.
9[2026江苏南通期末]如图，某校劳动实践基地是一块长9.8 m，宽6.6 m的长方形试验田，现规划4条宽度相等的小路（图中阴影部分），将试验田分割成大小完全相同的8块小长方形菜地，每块菜地的长（纵向）比宽（横向）多1 m，则菜地的总面积为
48
m².答案
设小路宽度为 x m. 根据题意,得 $\frac{6.6 - x}{2} - \frac{9.8 - 3x}{4} = 1$,解得 $x = 0.6$,所以菜地的总面积为 $(9.8 - 3×0.6)×(6.6 - 0.6) = 8×6 = 48(\mathrm{m}^2)$. 故答案为 48.
三、解答题(55分)
10 解方程:(1)$\frac{2-x}{3}+\frac{x-3}{2}=1$；
(2)$\frac{2}{3}\{\frac{3}{2}[x-1-(\frac{2x+1}{0.3}-1)]-9\}=1-\frac{x}{2}$
10 解方程:(1)$\frac{2-x}{3}+\frac{x-3}{2}=1$；
(2)$\frac{2}{3}\{\frac{3}{2}[x-1-(\frac{2x+1}{0.3}-1)]-9\}=1-\frac{x}{2}$
答案
(1)去分母、去括号,得 $4 - 2x + 3x - 9 = 6$.
移项、合并同类项,得 $x = 11$.
(2)去括号,得 $x - 1 - \frac{20x + 10}{3} + 1 - 6 = 1 - \frac{x}{2}$.
去分母,得 $6x - 6 - 40x - 20 + 6 - 36 = 6 - 3x$.
移项、合并同类项,得 $-31x = 62$.
系数化为 1,得 $x = -2$.
移项、合并同类项,得 $x = 11$.
(2)去括号,得 $x - 1 - \frac{20x + 10}{3} + 1 - 6 = 1 - \frac{x}{2}$.
去分母,得 $6x - 6 - 40x - 20 + 6 - 36 = 6 - 3x$.
移项、合并同类项,得 $-31x = 62$.
系数化为 1,得 $x = -2$.
