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11[2026江苏徐州质检]【定义新知】在数轴上，点M和点N分别表示数m和n，可以用绝对值表示点M,N两点间的距离$d(M,N)$，即$d(M,N)=|m-n|$.
(1)在数轴上，点A,B,C分别表示数-1,2,x，解答下列问题：
①$d(A,B)=$
②若$d(A,C)=2$，则$x$的值为
(2)在数轴上，点A,B分别表示数6,-8,M,N,P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒4个单位；点N从B点出发，速度为每秒1个单位；点P从原点出发，速度为每秒2个单位.点M,N,P同时向右运动，若$d(M,P)=d(N,P)$，求动点M运动的时间.
(1)在数轴上，点A,B,C分别表示数-1,2,x，解答下列问题：
①$d(A,B)=$
3
；②若$d(A,C)=2$，则$x$的值为
1或-3
.(2)在数轴上，点A,B分别表示数6,-8,M,N,P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒4个单位；点N从B点出发，速度为每秒1个单位；点P从原点出发，速度为每秒2个单位.点M,N,P同时向右运动，若$d(M,P)=d(N,P)$，求动点M运动的时间.
答案
(1)① $d(A,B) = |-1 - 2| = 3$. 故答案为 3.
② 因为 $d(A,C) = |-1 - x| = 2$,所以 $x = 1$ 或 $-3$. 故答案为 1 或 -3.
(2)设动点 M 运动的时间是 t 秒,则点 M 表示的数是 $6 + 4t$,点 N 表示的数是 $-8 + t$,点 P 表示的数是 $2t$. 根据题意,得 $|6 + 4t - 2t| = |-8 + t - 2t|$,即 $|6 + 2t| = |-t - 8|$,则 $|6 + 2t| = |t + 8|$,所以 $6 + 2t = t + 8$ 或 $6 + 2t = -(t + 8)$,解得 $t = 2$ 或 $t = -\frac{14}{3}$. 因为 $t ≥ 0$,所以 $t = 2$,所以点 M 运动的时间是 2 秒.
② 因为 $d(A,C) = |-1 - x| = 2$,所以 $x = 1$ 或 $-3$. 故答案为 1 或 -3.
(2)设动点 M 运动的时间是 t 秒,则点 M 表示的数是 $6 + 4t$,点 N 表示的数是 $-8 + t$,点 P 表示的数是 $2t$. 根据题意,得 $|6 + 4t - 2t| = |-8 + t - 2t|$,即 $|6 + 2t| = |-t - 8|$,则 $|6 + 2t| = |t + 8|$,所以 $6 + 2t = t + 8$ 或 $6 + 2t = -(t + 8)$,解得 $t = 2$ 或 $t = -\frac{14}{3}$. 因为 $t ≥ 0$,所以 $t = 2$,所以点 M 运动的时间是 2 秒.
12[2025江苏南通期末]观察下列三行数：
-1,+3,-5,+7,-9,+11,…；
-3,+1,-7,+5,-11,+9,…；
+3,-9,+15,-21,+27,-33,…。
(1)取每行的第7个数,计算这三个数的和.
(2)是否存在第k列数(每行取第k个数),这三个数的和正好为-197?若存在,求k的值;若不存在,说明理由.
(3)在第二行中,是否存在三个连续数,其和为87?若存在,求这三个数;若不存在,说明理由.
-1,+3,-5,+7,-9,+11,…；
-3,+1,-7,+5,-11,+9,…；
+3,-9,+15,-21,+27,-33,…。
(1)取每行的第7个数,计算这三个数的和.
(2)是否存在第k列数(每行取第k个数),这三个数的和正好为-197?若存在,求k的值;若不存在,说明理由.
(3)在第二行中,是否存在三个连续数,其和为87?若存在,求这三个数;若不存在,说明理由.
答案
(1)观察发现,第一行数正负相间出现,且绝对值为从 1 开始的连续的奇数,所以第一行的第 n 个数可表示为 $(-1)^n(2n - 1)$. 观察前两行数发现,第二行的数比第一行对应位置的数小 2,所以第二行的第 n 个数可表示为 $(-1)^n(2n - 1) - 2$. 观察第一、三两行数发现,第三行的数是第一行对应位置的数乘 -3 的结果,所以第三行的第 n 个数可表示为 $(-1)^n(-6n + 3)$. 当 n = 7 时,第一行的数字为 $(-1)^n(2n - 1) = -13$,第二行的数字为 $-13 - 2 = -15$,第三行的数字为 $-13×(-3) = 39$,则 $-13 + (-15) + 39 = 11$,所以每行第 7 个数的和为 11.
(2)存在. 假设存在这样的第 k 列数,则 $(-1)^k(2k - 1) + (-1)^k(2k - 1) - 2 + (-1)^k(-6k + 3) = -197$,当 k 为奇数时, $-2k + 1 - 2k + 1 - 2 + 6k - 3 = -197$,解得 $k = -97$(舍去);当 k 为偶数时, $2k - 1 + 2k - 1 - 2 - 6k + 3 = -197$,解得 $k = 98$,所以存在这样的 k,且 k 值为 98.
(3)在第二行中,存在三个连续数,其和为 87. 假设第二行中存在三个连续数的和为 87,令第一个数为 $(-1)^m(2m - 1) - 2$,则 $(-1)^m(2m - 1) - 2 + (-1)^{m+1}(2m + 1) - 2 + (-1)^{m+2}(2m + 3) - 2 = 87$. 当 m 为奇数时, $-2m + 1 - 2 + 2m + 1 - 2 - 2m - 3 - 2 = 87$,解得 $m = -47$(舍去);当 m 为偶数时, $2m - 1 - 2 - 2m - 1 - 2 + 2m + 3 - 2 = 87$,解得 $m = 46$,所以这三个连续数为 89,-95,93. 故在第二行中存在三个连续数,其和为 87,它们分别为 89,-95,93.
(2)存在. 假设存在这样的第 k 列数,则 $(-1)^k(2k - 1) + (-1)^k(2k - 1) - 2 + (-1)^k(-6k + 3) = -197$,当 k 为奇数时, $-2k + 1 - 2k + 1 - 2 + 6k - 3 = -197$,解得 $k = -97$(舍去);当 k 为偶数时, $2k - 1 + 2k - 1 - 2 - 6k + 3 = -197$,解得 $k = 98$,所以存在这样的 k,且 k 值为 98.
(3)在第二行中,存在三个连续数,其和为 87. 假设第二行中存在三个连续数的和为 87,令第一个数为 $(-1)^m(2m - 1) - 2$,则 $(-1)^m(2m - 1) - 2 + (-1)^{m+1}(2m + 1) - 2 + (-1)^{m+2}(2m + 3) - 2 = 87$. 当 m 为奇数时, $-2m + 1 - 2 + 2m + 1 - 2 - 2m - 3 - 2 = 87$,解得 $m = -47$(舍去);当 m 为偶数时, $2m - 1 - 2 - 2m - 1 - 2 + 2m + 3 - 2 = 87$,解得 $m = 46$,所以这三个连续数为 89,-95,93. 故在第二行中存在三个连续数,其和为 87,它们分别为 89,-95,93.
13[2026江苏扬州质检]扬州是中国历史文化名城，物产丰饶，其中“绿杨春”茶叶尤为著名.现有甲、乙两名农户种植茶叶，甲农户种植了8亩“绿杨春”茶叶，乙农户种植了12亩“绿杨春”茶叶，甲农户平均每亩“绿杨春”制成的茶叶质量是乙农户平均每亩制成茶叶质量的50%（制作茶叶的过程中的损耗忽略不计）.甲农户制成“绿杨春”茶叶A，乙农户制成“绿杨春”茶叶B，今年制成“绿杨春”茶叶A和“绿杨春”茶叶B两种产品共计320千克.两种产品的销售规格如下表：(1亩≈666.67平方米)
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求制成的“绿杨春”茶叶A和“绿杨春”茶叶B各多少千克；
(2)若销售这两种茶叶共300盒，销售额为27 000元，求销售“绿杨春”茶叶A的盒数；
(3)若张华第一次销售这两种茶叶共500盒，第二次销售时对所有剩下的“绿杨春”茶叶A打八折促销.两次销售完后，将两种茶叶全部售出，他发现第二次总销售额比第一次总销售额多9 000元.求第一次销售“绿杨春”茶叶A多少盒.
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求制成的“绿杨春”茶叶A和“绿杨春”茶叶B各多少千克；
(2)若销售这两种茶叶共300盒，销售额为27 000元，求销售“绿杨春”茶叶A的盒数；
(3)若张华第一次销售这两种茶叶共500盒，第二次销售时对所有剩下的“绿杨春”茶叶A打八折促销.两次销售完后，将两种茶叶全部售出，他发现第二次总销售额比第一次总销售额多9 000元.求第一次销售“绿杨春”茶叶A多少盒.
答案
(1)设乙农户平均每亩制成茶叶的质量为 x 千克,则甲农户平均每亩制成茶叶的质量为 0.5x 千克. 根据总产量可列方程 $8×0.5x + 12x = 320$,化简得 $4x + 12x = 320$,解得 $x = 20$,故制成“绿杨春”茶叶 A 的质量为 $8×0.5×20 = 80$(千克),制成“绿杨春”茶叶 B 的质量为 $12×20 = 240$(千克).
答:制成“绿杨春”茶叶 A 80 千克,“绿杨春”茶叶 B 240 千克.
(2)设销售“绿杨春”茶叶 A 的盒数为 m,则销售“绿杨春”茶叶 B 的盒数为 $300 - m$. 根据销售额列方程 $150m + 60(300 - m) = 27 000$,化简得 $150m + 18 000 - 60m = 27 000$,解得 $m = 100$.
答:销售“绿杨春”茶叶 A 100 盒.
(3)根据题意得,“绿杨春”茶叶 A 的总盒数为 $80÷0.2 = 400$(盒),“绿杨春”茶叶 B 的总盒数为 $240÷0.4 = 600$(盒),则两种茶叶的总盒数为 $400 + 600 = 1 000$(盒). 设第一次销售“绿杨春”茶叶 A 的盒数为 n,则第一次销售“绿杨春”茶叶 B 的盒数为 $500 - n$,剩余的“绿杨春”茶叶 A 的盒数为 $400 - n$,剩余的“绿杨春”茶叶 B 的盒数为 $600 - (500 - n) = 100 + n$,可得第一次的销售额为 $[150n + 60(500 - n)]$ 元,第二次的销售额为 $[150×0.8×(400 - n) + 60×(100 + n)]$ 元. 根据题意可列方程 $150×0.8×(400 - n) + 60×(100 + n) - [150n + 60(500 - n)] = 9 000$,化简可得 $54 000 - 60n - 90n - 30 000 = 9 000$,$24 000 - 150n = 9 000$,解得 $n = 100$.
答:第一次销售“绿杨春”茶叶 A 100 盒.
思路分析
(1)设乙农户平均每亩制成茶叶的质量为 x 千克,根据“两种产品共计 320 千克”列方程,可分别求出制成的茶叶 A,B 的质量;(2)设销售茶叶 A 的盒数为 m,根据“销售这两种茶叶共 300 盒,销售额为 27 000 元”列方程求解;(3)设第一次销售茶叶 A 的盒数为 n,分别表示出第一次、第二次的销售额,根据“第二次总销售额比第一次总销售额多 9 000 元”列方程求解.
答:制成“绿杨春”茶叶 A 80 千克,“绿杨春”茶叶 B 240 千克.
(2)设销售“绿杨春”茶叶 A 的盒数为 m,则销售“绿杨春”茶叶 B 的盒数为 $300 - m$. 根据销售额列方程 $150m + 60(300 - m) = 27 000$,化简得 $150m + 18 000 - 60m = 27 000$,解得 $m = 100$.
答:销售“绿杨春”茶叶 A 100 盒.
(3)根据题意得,“绿杨春”茶叶 A 的总盒数为 $80÷0.2 = 400$(盒),“绿杨春”茶叶 B 的总盒数为 $240÷0.4 = 600$(盒),则两种茶叶的总盒数为 $400 + 600 = 1 000$(盒). 设第一次销售“绿杨春”茶叶 A 的盒数为 n,则第一次销售“绿杨春”茶叶 B 的盒数为 $500 - n$,剩余的“绿杨春”茶叶 A 的盒数为 $400 - n$,剩余的“绿杨春”茶叶 B 的盒数为 $600 - (500 - n) = 100 + n$,可得第一次的销售额为 $[150n + 60(500 - n)]$ 元,第二次的销售额为 $[150×0.8×(400 - n) + 60×(100 + n)]$ 元. 根据题意可列方程 $150×0.8×(400 - n) + 60×(100 + n) - [150n + 60(500 - n)] = 9 000$,化简可得 $54 000 - 60n - 90n - 30 000 = 9 000$,$24 000 - 150n = 9 000$,解得 $n = 100$.
答:第一次销售“绿杨春”茶叶 A 100 盒.
思路分析
(1)设乙农户平均每亩制成茶叶的质量为 x 千克,根据“两种产品共计 320 千克”列方程,可分别求出制成的茶叶 A,B 的质量;(2)设销售茶叶 A 的盒数为 m,根据“销售这两种茶叶共 300 盒,销售额为 27 000 元”列方程求解;(3)设第一次销售茶叶 A 的盒数为 n,分别表示出第一次、第二次的销售额,根据“第二次总销售额比第一次总销售额多 9 000 元”列方程求解.
