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三、解答题
11. 某校九年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，若期末评价成绩 80 分以上(含 80 分)，则评定为“优秀”. 下表是小张和小王两位同学的各项成绩记录.
若完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按 $1:2:7$ 的比例来确定期末评价成绩.
(1)请计算小张的期末评价成绩.
(2)小王在期末考试中(期末成绩为整数)最少考多少分才能达到优秀？
11. 某校九年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，若期末评价成绩 80 分以上(含 80 分)，则评定为“优秀”. 下表是小张和小王两位同学的各项成绩记录.
若完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按 $1:2:7$ 的比例来确定期末评价成绩.
(1)请计算小张的期末评价成绩.
(2)小王在期末考试中(期末成绩为整数)最少考多少分才能达到优秀？
答案
(1)小张的期末评价成绩为$\dfrac{70×1+90×2+80×7}{1+2+7}=81$(分)。
(2)设小王期末考试成绩为$x$分。根据题意，得$\dfrac{60×1+75×2+7x}{1+2+7}≥80$，解得$x≥84\dfrac{2}{7}$。又
∵期末成绩为整数，
∴小王在期末考试中最少考85分才能达到优秀。
(2)设小王期末考试成绩为$x$分。根据题意，得$\dfrac{60×1+75×2+7x}{1+2+7}≥80$，解得$x≥84\dfrac{2}{7}$。又
∵期末成绩为整数，
∴小王在期末考试中最少考85分才能达到优秀。
解析
【分析】
本题考查加权平均数的计算及一元一次不等式的应用。解题思路：(1)根据三项成绩的权重比例1:2:7，利用加权平均数公式计算小张的期末评价成绩；(2)设小王期末考试成绩为$x$分，根据期末评价成绩≥80分的优秀标准，结合加权平均数公式列出不等式，求解后根据期末成绩为整数的要求确定最小值。
【解析】
(1) 已知完成作业、单元检测、期末考试三项成绩的权重比为$1:2:7$，总权重为$1+2+7=10$。
小张的各项成绩：完成作业70分，单元检测90分，期末考试80分。
根据加权平均数公式，小张的期末评价成绩为：
$\dfrac{70×1 + 90×2 + 80×7}{1+2+7} = \dfrac{70 + 180 + 560}{10} = \dfrac{810}{10} = 81$（分）。
(2) 设小王期末考试成绩为$x$分，要使期末评价成绩达到优秀（≥80分），根据加权平均数公式列不等式：
$\dfrac{60×1 + 75×2 + 7x}{1+2+7} ≥ 80$
化简得：$\dfrac{60 + 150 + 7x}{10} ≥ 80$，即$\dfrac{210 + 7x}{10} ≥ 80$
两边同乘10：$210 + 7x ≥ 800$
移项计算：$7x ≥ 590$，解得$x ≥ \dfrac{590}{7} ≈ 84.29$
因为期末成绩为整数，所以$x$最小取85，即小王期末考试最少考85分才能达到优秀。
【答案】
(1) 81分；(2) 85分
【知识点】
加权平均数，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合实际评价场景，考查加权平均数的计算和一元一次不等式的应用，需准确理解权重含义，正确运用公式与不等式求解，注意结果符合成绩为整数的实际要求，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题考查加权平均数的计算及一元一次不等式的应用。解题思路：(1)根据三项成绩的权重比例1:2:7，利用加权平均数公式计算小张的期末评价成绩；(2)设小王期末考试成绩为$x$分，根据期末评价成绩≥80分的优秀标准，结合加权平均数公式列出不等式，求解后根据期末成绩为整数的要求确定最小值。
【解析】
(1) 已知完成作业、单元检测、期末考试三项成绩的权重比为$1:2:7$，总权重为$1+2+7=10$。
小张的各项成绩：完成作业70分，单元检测90分，期末考试80分。
根据加权平均数公式，小张的期末评价成绩为：
$\dfrac{70×1 + 90×2 + 80×7}{1+2+7} = \dfrac{70 + 180 + 560}{10} = \dfrac{810}{10} = 81$（分）。
(2) 设小王期末考试成绩为$x$分，要使期末评价成绩达到优秀（≥80分），根据加权平均数公式列不等式：
$\dfrac{60×1 + 75×2 + 7x}{1+2+7} ≥ 80$
化简得：$\dfrac{60 + 150 + 7x}{10} ≥ 80$，即$\dfrac{210 + 7x}{10} ≥ 80$
两边同乘10：$210 + 7x ≥ 800$
移项计算：$7x ≥ 590$，解得$x ≥ \dfrac{590}{7} ≈ 84.29$
因为期末成绩为整数，所以$x$最小取85，即小王期末考试最少考85分才能达到优秀。
【答案】
(1) 81分；(2) 85分
【知识点】
加权平均数，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合实际评价场景，考查加权平均数的计算和一元一次不等式的应用，需准确理解权重含义，正确运用公式与不等式求解，注意结果符合成绩为整数的实际要求，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
12. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,每个普通市民既是文明城市的最大受益者,也是文明城市的主要创造者. 某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本,将样本的成绩分成六段:$[40,50),[50,60),···,[90,100]$,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中$a$的值.
(2)试估计样本成绩的平均数和上四分位数.
(3)已知落在$[50,60)$的平均成绩是 54,方差是 7,落在$[60,70)$的平均成绩为 66,方差是 4,求两组成绩合并后的平均数$\overline{z}$和方差$s^{2}$.
(1)求频率分布直方图中$a$的值.
(2)试估计样本成绩的平均数和上四分位数.
(3)已知落在$[50,60)$的平均成绩是 54,方差是 7,落在$[60,70)$的平均成绩为 66,方差是 4,求两组成绩合并后的平均数$\overline{z}$和方差$s^{2}$.
答案
(1)根据题意，得$(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1$，解得$a=0.030$。
(2)估计样本成绩的平均数为$\overline{x}=(45×0.005+55×0.010+65×0.020+75×0.030+85×0.025+95×0.010)×10=74$；
∵各组的频率依次为0.05,0.1,0.2,0.3,0.25,0.1，
∴上四分位数在$(80,90)$内，且为$80+\dfrac{0.75-0.05-0.1-0.2-0.3}{0.025}=84$。
(3)成绩在$[50,60)$内的有$100×0.1=10$(人)，成绩在$[60,70)$内的有$100×0.2=20$(人)，则这两组成绩的总平均数为$\overline{z}=\dfrac{10×54+66×20}{10+20}=62$，总方差为 $s^2=\dfrac{10}{10+20}×[7+(54-62)^2]+\dfrac{20}{10+20}×[4+(66-62)^2]=37$。
(2)估计样本成绩的平均数为$\overline{x}=(45×0.005+55×0.010+65×0.020+75×0.030+85×0.025+95×0.010)×10=74$；
∵各组的频率依次为0.05,0.1,0.2,0.3,0.25,0.1，
∴上四分位数在$(80,90)$内，且为$80+\dfrac{0.75-0.05-0.1-0.2-0.3}{0.025}=84$。
(3)成绩在$[50,60)$内的有$100×0.1=10$(人)，成绩在$[60,70)$内的有$100×0.2=20$(人)，则这两组成绩的总平均数为$\overline{z}=\dfrac{10×54+66×20}{10+20}=62$，总方差为 $s^2=\dfrac{10}{10+20}×[7+(54-62)^2]+\dfrac{20}{10+20}×[4+(66-62)^2]=37$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：利用频率分布直方图的性质，所有组的频率之和为1，结合组距为10，列方程求解参数$a$；
2. 第(2)问：平均数为每组组中值乘以对应频率的和；上四分位数是累计频率达到0.75的位置，先计算各组累计频率确定所在区间，再代入公式计算；
3. 第(3)问：合并平均数为两组数据的加权平均，权重为两组人数；合并方差利用方差分解公式，即每组方差加上组内均值与总均值差的平方乘以对应权重，再求和。
【解析】
(1) 频率分布直方图中所有组的频率之和为1，组距为10，因此：
$(0.005 + 0.010 + 0.020 + a + 0.025 + 0.010) × 10 = 1$
计算括号内和：$0.005+0.010+0.020+0.025+0.010=0.07$，代入得：
$(0.07 + a) × 10 =1 \implies 0.7 +10a=1 \implies a=0.030$
(2) ① 平均数计算：每组组中值为$45,55,65,75,85,95$，对应频率为$0.05,0.1,0.2,0.3,0.25,0.1$，则：
$\overline{x}=45×0.05 +55×0.1 +65×0.2 +75×0.3 +85×0.25 +95×0.1=74$
② 上四分位数：累计频率依次为$0.05,0.15,0.35,0.65,0.9,1$，因$0.65＜0.75＜0.9$，故上四分位数在$[80,90)$内，代入公式：
$80 + \frac{0.75 -0.65}{0.025}=80+4=84$
(3) $[50,60)$人数：$100×0.1=10$人，$[60,70)$人数：$100×0.2=20$人；
合并平均数：
$\overline{z}=\frac{10×54 +20×66}{10+20}=\frac{540+1320}{30}=62$
合并方差：
$s^2=\frac{10}{30}×[7+(54-62)^2] + \frac{20}{30}×[4+(66-62)^2]=\frac{1}{3}×71 + \frac{2}{3}×20=37$
【答案】
(1) $a=0.030$；
(2) 平均数为74，上四分位数为84；
(3) 合并后的平均数$\overline{z}=62$，方差$s^2=37$。
【知识点】
频率分布直方图、平均数与方差、分位数
【点评】
本题综合考查频率分布直方图的应用，涵盖参数求解、统计量计算，需掌握频率分布直方图的基本性质和方差分解公式，是统计部分的典型中等题。
【难度系数】
0.5
1. 第(1)问：利用频率分布直方图的性质，所有组的频率之和为1，结合组距为10，列方程求解参数$a$；
2. 第(2)问：平均数为每组组中值乘以对应频率的和；上四分位数是累计频率达到0.75的位置，先计算各组累计频率确定所在区间，再代入公式计算；
3. 第(3)问：合并平均数为两组数据的加权平均，权重为两组人数；合并方差利用方差分解公式，即每组方差加上组内均值与总均值差的平方乘以对应权重，再求和。
【解析】
(1) 频率分布直方图中所有组的频率之和为1，组距为10，因此：
$(0.005 + 0.010 + 0.020 + a + 0.025 + 0.010) × 10 = 1$
计算括号内和：$0.005+0.010+0.020+0.025+0.010=0.07$，代入得：
$(0.07 + a) × 10 =1 \implies 0.7 +10a=1 \implies a=0.030$
(2) ① 平均数计算：每组组中值为$45,55,65,75,85,95$，对应频率为$0.05,0.1,0.2,0.3,0.25,0.1$，则：
$\overline{x}=45×0.05 +55×0.1 +65×0.2 +75×0.3 +85×0.25 +95×0.1=74$
② 上四分位数：累计频率依次为$0.05,0.15,0.35,0.65,0.9,1$，因$0.65＜0.75＜0.9$，故上四分位数在$[80,90)$内，代入公式：
$80 + \frac{0.75 -0.65}{0.025}=80+4=84$
(3) $[50,60)$人数：$100×0.1=10$人，$[60,70)$人数：$100×0.2=20$人；
合并平均数：
$\overline{z}=\frac{10×54 +20×66}{10+20}=\frac{540+1320}{30}=62$
合并方差：
$s^2=\frac{10}{30}×[7+(54-62)^2] + \frac{20}{30}×[4+(66-62)^2]=\frac{1}{3}×71 + \frac{2}{3}×20=37$
【答案】
(1) $a=0.030$；
(2) 平均数为74，上四分位数为84；
(3) 合并后的平均数$\overline{z}=62$，方差$s^2=37$。
【知识点】
频率分布直方图、平均数与方差、分位数
【点评】
本题综合考查频率分布直方图的应用，涵盖参数求解、统计量计算，需掌握频率分布直方图的基本性质和方差分解公式，是统计部分的典型中等题。
【难度系数】
0.5
