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1. 若某班数学考试成绩的上四分位数为 80 分，则说明该班成绩大于等于 80 分的人数占比为
（
A.$25\%$
B.$50\%$
C.$75\%$
D.无法判断
（
A
）A.$25\%$
B.$50\%$
C.$75\%$
D.无法判断
答案
1. A
解析
【分析】首先明确上四分位数（第75百分位数）的定义：将一组数据从小到大排序后，上四分位数表示有75%的数据小于或等于该数值，剩余25%的数据大于或等于该数值。解题时直接结合该定义，根据题目给出的上四分位数，即可推导对应人数占比，选出正确选项。
【解析】根据上四分位数的定义：将数据从小到大排序后，上四分位数对应75%分位，即小于等于该上四分位数的数据占总数据的75%，因此大于等于该上四分位数的数据占比为1-75%=25%。题目中该班数学成绩的上四分位数为80分，故成绩大于等于80分的人数占比为25%，对应选项A。
【答案】A
【知识点】四分位数、百分位数
【点评】本题考查对统计学中四分位数概念的基础理解，属于概念识记类题目，只要准确掌握上四分位数的定义即可快速解答，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】根据上四分位数的定义：将数据从小到大排序后，上四分位数对应75%分位，即小于等于该上四分位数的数据占总数据的75%，因此大于等于该上四分位数的数据占比为1-75%=25%。题目中该班数学成绩的上四分位数为80分，故成绩大于等于80分的人数占比为25%，对应选项A。
【答案】A
【知识点】四分位数、百分位数
【点评】本题考查对统计学中四分位数概念的基础理解，属于概念识记类题目，只要准确掌握上四分位数的定义即可快速解答，难度较低。
【难度系数】0.7
2. 在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况. 如图 1 所示,在箱线图中,位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘(最小值)和上边缘(最大值),中间箱体的底端是下四分位数,箱体中部的“×”表示平均值,箱体的顶端是上四分位数. 异常值是明显偏离样本的个别值. 已知一班和二班人数相等,在一次考试中两班成绩的箱线图如图 2 所示,则下列说法正确的是 （
A.一班成绩比二班成绩集中
B.一班成绩的上四分位数是 80 分
C.一班有同学的成绩超过 140 分
D.一班的平均分高于二班的平均分
C
） A.一班成绩比二班成绩集中
B.一班成绩的上四分位数是 80 分
C.一班有同学的成绩超过 140 分
D.一班的平均分高于二班的平均分
答案
2. C 解析:由图可得,二班成绩比一班成绩更集中,故A选项错误;一班成绩的下四分位数是80,故B选项错误;一班有异常值超过140,即一班有同学的成绩超过140分,故C选项正确;一班的平均分低于二班的平均分,故D选项错误.
解析
【分析】首先明确箱线图各部分的含义：下边缘为最小值，上边缘为最大值，箱体底端是下四分位数，箱体顶端是上四分位数，中间的“×”表示平均值，异常值是明显偏离样本的个别值。接下来逐一分析选项：A选项，成绩集中程度可通过箱体长度（四分位距）判断，箱体越短成绩越集中，由图可知二班箱体更短，故二班成绩更集中，A错误；B选项，一班箱体底端（下四分位数）为80分，并非上四分位数，B错误；C选项，一班存在超过140分的异常值，说明有同学成绩超过140分，C正确；D选项，箱线图中“×”代表平均分，一班的“×”位置低于二班，故一班平均分低于二班，D错误。
【解析】根据箱线图的统计意义逐一分析选项：
1. 选项A：成绩集中程度由箱体长度（四分位距）决定，箱体越短成绩越集中，图中二班箱体更短，因此二班成绩更集中，A错误；
2. 选项B：一班箱体底端对应下四分位数，数值为80分，并非上四分位数，B错误；
3. 选项C：一班存在超过140分的异常值，说明有同学成绩超过140分，C正确；
4. 选项D：箱线图中“×”为平均值，一班的“×”位置低于二班，故一班平均分低于二班，D错误。
【答案】C
【知识点】箱线图、统计量的意义
【点评】本题考查箱线图的基本概念及应用，要求学生准确解读箱线图各部分对应的统计量，结合选项逐一判断，属于基础统计题，主要考察对统计图表的理解能力。
【难度系数】0.5
【解析】根据箱线图的统计意义逐一分析选项：
1. 选项A：成绩集中程度由箱体长度（四分位距）决定，箱体越短成绩越集中，图中二班箱体更短，因此二班成绩更集中，A错误；
2. 选项B：一班箱体底端对应下四分位数，数值为80分，并非上四分位数，B错误；
3. 选项C：一班存在超过140分的异常值，说明有同学成绩超过140分，C正确；
4. 选项D：箱线图中“×”为平均值，一班的“×”位置低于二班，故一班平均分低于二班，D错误。
【答案】C
【知识点】箱线图、统计量的意义
【点评】本题考查箱线图的基本概念及应用，要求学生准确解读箱线图各部分对应的统计量，结合选项逐一判断，属于基础统计题，主要考察对统计图表的理解能力。
【难度系数】0.5
1. 某学生六次数学考试的成绩(单位:分)分别为72,80,77,81,89,81,则这组数据的众数与极差分别是（
A.80.5,17
B.80.5,9
C.81,9
D.81,17
D
）A.80.5,17
B.80.5,9
C.81,9
D.81,17
答案
1. D 解析:
∵81出现了2次,出现的次数最多,
∴这组数据的众数是81;极差是89-72=17.
∵81出现了2次,出现的次数最多,
∴这组数据的众数是81;极差是89-72=17.
解析
【分析】
要解决本题，需先明确众数和极差的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数；极差是一组数据的最大值与最小值的差。解题时，先统计各成绩出现的次数确定众数，再找出数据的最大值和最小值计算极差，最后对应选项得出答案。
【解析】
1. 求众数：统计六次成绩的出现次数，72、80、77、89各出现1次，81出现2次，出现次数最多，因此众数为81；
2. 求极差：这组数据的最大值是89，最小值是72，极差=89-72=17；
综上，众数为81，极差为17，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
众数、极差
【点评】
本题考查基础统计量的概念，属于简单题型，只要准确掌握众数和极差的定义即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要解决本题，需先明确众数和极差的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数；极差是一组数据的最大值与最小值的差。解题时，先统计各成绩出现的次数确定众数，再找出数据的最大值和最小值计算极差，最后对应选项得出答案。
【解析】
1. 求众数：统计六次成绩的出现次数，72、80、77、89各出现1次，81出现2次，出现次数最多，因此众数为81；
2. 求极差：这组数据的最大值是89，最小值是72，极差=89-72=17；
综上，众数为81，极差为17，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
众数、极差
【点评】
本题考查基础统计量的概念，属于简单题型，只要准确掌握众数和极差的定义即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. (2025·兰州)射箭运动项目中,新手成绩通常不太稳定.甲和乙同时进行12次射箭练习后,成绩的统计数据如下表,请根据表中信息估计新手是
甲
.(填“甲”或“乙”)答案
2. 甲 解析:由题意知,甲成绩的平均数小于乙,且方差大于乙,所以甲的平均成绩低于乙,且成绩波动幅度大于乙,所以根据表中信息估计新手是甲.
解析
【分析】
要判断新手，需结合题目中“新手成绩通常不太稳定”的描述，利用统计量的意义分析：平均数反映一组数据的平均水平，方差反映数据的波动程度（方差越大，波动越大，成绩越不稳定）。新手的特点是平均成绩低、成绩波动大，因此对比甲、乙的平均成绩和方差即可得出结论。
【解析】
1. 比较平均成绩：甲的平均成绩为6.58环，乙的平均成绩为7.67环，$\bar{x}_甲 ＜ \bar{x}_乙$，说明甲的整体平均水平低于乙；
2. 比较方差：甲的方差为6.91，乙的方差为0.72，$s^2_甲 ＞ s^2_乙$，说明甲的成绩波动更大，稳定性更差；
3. 结合题目“新手成绩通常不太稳定”的条件，可知平均成绩低、成绩不稳定的是甲，因此估计新手是甲。
【答案】
甲
【知识点】
平均数的意义、方差的意义
【点评】
本题结合实际场景考查统计量的实际应用，核心是理解平均数反映整体水平、方差反映数据稳定性的作用，属于基础应用类题目，难度较低。
【难度系数】
0.7
要判断新手，需结合题目中“新手成绩通常不太稳定”的描述，利用统计量的意义分析：平均数反映一组数据的平均水平，方差反映数据的波动程度（方差越大，波动越大，成绩越不稳定）。新手的特点是平均成绩低、成绩波动大，因此对比甲、乙的平均成绩和方差即可得出结论。
【解析】
1. 比较平均成绩：甲的平均成绩为6.58环，乙的平均成绩为7.67环，$\bar{x}_甲 ＜ \bar{x}_乙$，说明甲的整体平均水平低于乙；
2. 比较方差：甲的方差为6.91，乙的方差为0.72，$s^2_甲 ＞ s^2_乙$，说明甲的成绩波动更大，稳定性更差；
3. 结合题目“新手成绩通常不太稳定”的条件，可知平均成绩低、成绩不稳定的是甲，因此估计新手是甲。
【答案】
甲
【知识点】
平均数的意义、方差的意义
【点评】
本题结合实际场景考查统计量的实际应用，核心是理解平均数反映整体水平、方差反映数据稳定性的作用，属于基础应用类题目，难度较低。
【难度系数】
0.7
3. 已知一组数据的方差 $s^{2}=\dfrac{1}{4}[(x_{1}-6)^{2}+(x_{2}-6)^{2}+(x_{3}-6)^{2}+(x_{4}-6)^{2}]$，则这组数据的总和为
24
。答案
3. 24 解析:
∵$s^2=\dfrac{1}{4}[(x_1-6)^2+(x_2-6)^2+(x_3-6)^2+(x_4-6)^2]$,
∴这组数据的平均数是6,数据个数是4,
∴这组数据的总和为4×6=24.
∵$s^2=\dfrac{1}{4}[(x_1-6)^2+(x_2-6)^2+(x_3-6)^2+(x_4-6)^2]$,
∴这组数据的平均数是6,数据个数是4,
∴这组数据的总和为4×6=24.
解析
【分析】要解决这道题，需先回忆方差的计算公式：方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，其中$n$是数据的个数，$\bar{x}$是这组数据的平均数。对比题目给出的方差表达式，可直接确定数据的个数和平均数，再利用“总和=平均数×数据个数”计算结果。
【解析】根据方差的定义，方差公式中，分母为数据的个数，括号内每一项是数据与平均数的差的平方。题目中$s^2=\frac{1}{4}[(x_1-6)^2+(x_2-6)^2+(x_3-6)^2+(x_4-6)^2]$，可知数据个数$n=4$，平均数$\bar{x}=6$。因此这组数据的总和为$4×6=24$。
【答案】24
【知识点】方差的定义，平均数与总和的计算
【点评】本题是对方差基本概念的直接考查，只要掌握方差公式的结构，就能快速确定平均数和数据个数，进而求出总和，属于基础题，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】根据方差的定义，方差公式中，分母为数据的个数，括号内每一项是数据与平均数的差的平方。题目中$s^2=\frac{1}{4}[(x_1-6)^2+(x_2-6)^2+(x_3-6)^2+(x_4-6)^2]$，可知数据个数$n=4$，平均数$\bar{x}=6$。因此这组数据的总和为$4×6=24$。
【答案】24
【知识点】方差的定义，平均数与总和的计算
【点评】本题是对方差基本概念的直接考查，只要掌握方差公式的结构，就能快速确定平均数和数据个数，进而求出总和，属于基础题，难度较低。
【难度系数】0.8
4. 小李开车到公司上班有A、B两条路线可选择,路线A经城市高架,路线B经市区道路.为了解上班路上所用时间,小李先连续10个工作日选择路线A,接着连续10个工作日选择路线B,记录用时(单位:min)数据如下表所示.
(1)路线A连续10天用时的中位数是
(2)求路线A连续10天用时的平均数和方差.
(3)经计算,路线B连续10天用时的平均数是15.6 min,方差是$18.04\ \mathrm{min}^2$.结合上表信息,帮小李选择合适的上班路线,并利用至少3个统计量说明理由.
(1)路线A连续10天用时的中位数是
18
min,路线B连续10天用时的众数是11
min.(2)求路线A连续10天用时的平均数和方差.
(3)经计算,路线B连续10天用时的平均数是15.6 min,方差是$18.04\ \mathrm{min}^2$.结合上表信息,帮小李选择合适的上班路线,并利用至少3个统计量说明理由.
答案
4. (1)18 11
解析:将路线A用时的数据从小到大排列为15,16,17,18,18,18,19,19,20,20,中位数为第5个和第6个数的平均值,则路线A用时的中位数为$\dfrac{18+18}{2}=18$(min),路线B用时数据中出现次数最多的数是11,共出现3次,因此众数为11 min.
(2)路线A用时的平均数为$\dfrac{1}{10}×(15+16+17+18+18+18+19+19+20+20)=18$(min),路线A用时的方差为$\dfrac{1}{10}×[(15-18)^2+(16-18)^2+(17-18)^2+(18-18)^2×3+(19-18)^2×2+(20-18)^2×2)]=2.4(\mathrm{min}^2)$.
(3)路线B用时的平均数15.6 min＜路线A的18 min,说明路线B平均更快;路线B的中位数15 min＜路线A的18 min,路线B的众数11 min＜路线A的18 min,说明路线B大部分时间更快,
∴小李优先考虑选择路线B.(答案不唯一)
解析:将路线A用时的数据从小到大排列为15,16,17,18,18,18,19,19,20,20,中位数为第5个和第6个数的平均值,则路线A用时的中位数为$\dfrac{18+18}{2}=18$(min),路线B用时数据中出现次数最多的数是11,共出现3次,因此众数为11 min.
(2)路线A用时的平均数为$\dfrac{1}{10}×(15+16+17+18+18+18+19+19+20+20)=18$(min),路线A用时的方差为$\dfrac{1}{10}×[(15-18)^2+(16-18)^2+(17-18)^2+(18-18)^2×3+(19-18)^2×2+(20-18)^2×2)]=2.4(\mathrm{min}^2)$.
(3)路线B用时的平均数15.6 min＜路线A的18 min,说明路线B平均更快;路线B的中位数15 min＜路线A的18 min,路线B的众数11 min＜路线A的18 min,说明路线B大部分时间更快,
∴小李优先考虑选择路线B.(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，需掌握中位数、众数、平均数、方差的计算方法，并能结合实际问题分析统计量的意义：
1. 求中位数时，需先将数据从小到大排序，若数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均值；求众数时，找出出现次数最多的数即可。
2. 平均数是所有数据的和除以数据个数；方差是每个数据与平均数差的平方和除以数据个数，反映数据的离散程度。
3. 选择路线时，对比两条路线的平均数、中位数、众数等统计量，统计量越小说明用时更短，更适合选择。
【解析】
(1) 路线A的10个用时数据从小到大排序为：15,16,17,18,18,18,19,19,20,20。数据个数为10（偶数），中位数为第5和第6个数的平均值，即$\frac{18+18}{2}=18$（min）；
路线B的10个用时数据中，11出现3次，是出现次数最多的数，故众数为11（min）。
(2) 路线A用时的平均数：
$\bar{x}_A=\frac{1}{10}×(15+16+17+18+18+18+19+19+20+20)=\frac{180}{10}=18$（min）；
路线A用时的方差：
$s_A^2=\frac{1}{10}×[(15-18)^2+(16-18)^2+(17-18)^2+(18-18)^2×3+(19-18)^2×2+(20-18)^2×2]$
$=\frac{1}{10}×(9+4+1+0+2+8)=\frac{24}{10}=2.4$（$\mathrm{min}^2$）。
(3) 选择路线B，理由如下：
① 平均数：路线B平均数15.6 min＜路线A的18 min，说明路线B平均用时更短；
② 中位数：路线B用时数据排序为11,11,11,12,14,16,17,21,21,22，中位数为$\frac{14+16}{2}=15$ min＜路线A的18 min，说明路线B一半以上的用时更短；
③ 众数：路线B众数11 min＜路线A的18 min，说明路线B多数时候用时很短。
综上，路线B更适合选择。
【答案】
(1) 18；11
(2) 平均数为18 min，方差为2.4 $\mathrm{min}^2$
(3) 选择路线B，理由是路线B的平均数、中位数、众数均小于路线A，说明平均用时更短，多数情况下用时更少。
【知识点】
中位数、众数、平均数、方差
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，要求学生熟练掌握中位数、众数、平均数、方差的计算方法，并能结合实际问题分析统计量的意义，体现了数学在生活中的应用。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需掌握中位数、众数、平均数、方差的计算方法，并能结合实际问题分析统计量的意义：
1. 求中位数时，需先将数据从小到大排序，若数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均值；求众数时，找出出现次数最多的数即可。
2. 平均数是所有数据的和除以数据个数；方差是每个数据与平均数差的平方和除以数据个数，反映数据的离散程度。
3. 选择路线时，对比两条路线的平均数、中位数、众数等统计量，统计量越小说明用时更短，更适合选择。
【解析】
(1) 路线A的10个用时数据从小到大排序为：15,16,17,18,18,18,19,19,20,20。数据个数为10（偶数），中位数为第5和第6个数的平均值，即$\frac{18+18}{2}=18$（min）；
路线B的10个用时数据中，11出现3次，是出现次数最多的数，故众数为11（min）。
(2) 路线A用时的平均数：
$\bar{x}_A=\frac{1}{10}×(15+16+17+18+18+18+19+19+20+20)=\frac{180}{10}=18$（min）；
路线A用时的方差：
$s_A^2=\frac{1}{10}×[(15-18)^2+(16-18)^2+(17-18)^2+(18-18)^2×3+(19-18)^2×2+(20-18)^2×2]$
$=\frac{1}{10}×(9+4+1+0+2+8)=\frac{24}{10}=2.4$（$\mathrm{min}^2$）。
(3) 选择路线B，理由如下：
① 平均数：路线B平均数15.6 min＜路线A的18 min，说明路线B平均用时更短；
② 中位数：路线B用时数据排序为11,11,11,12,14,16,17,21,21,22，中位数为$\frac{14+16}{2}=15$ min＜路线A的18 min，说明路线B一半以上的用时更短；
③ 众数：路线B众数11 min＜路线A的18 min，说明路线B多数时候用时很短。
综上，路线B更适合选择。
【答案】
(1) 18；11
(2) 平均数为18 min，方差为2.4 $\mathrm{min}^2$
(3) 选择路线B，理由是路线B的平均数、中位数、众数均小于路线A，说明平均用时更短，多数情况下用时更少。
【知识点】
中位数、众数、平均数、方差
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，要求学生熟练掌握中位数、众数、平均数、方差的计算方法，并能结合实际问题分析统计量的意义，体现了数学在生活中的应用。
【难度系数】
0.5
