【典例1】如图，等边△ABC中，点D为BC上一点，E在AC的延长线上，且DA＝DE.求证：BD＝CE.


备用图

证法一:过点 D 作 DF//AB 交AC 于点 F，
∴△CDF 为等边三角形，
∴∠AFD=120°，
DC=CF⇒AF=BD，
在△ADF 和△EDC 中，
$\begin{cases} ∠AFD=∠DCE, \\ ∠DAF=∠E, \\ DA=DE, \end{cases}$
∴△ADF≌△EDC(AAS)，
∴AF=CE,
∴BD=CE.
证法二:延长 DC 至 M,使 DM=BC,连接 EM,
∵AD=DE，
∴∠DAC=∠DEC，
而∠BAD+∠DAC=∠CDE+∠DEC，
∴∠BAD=∠CDE，
在△ABD 和△DME 中，
$\begin{cases} AB=DM, \\ ∠BAD=∠CDE, \\ AD=DE, \end{cases}$
∴△ABD≌△DME(SAS)，
∴BD=EM,∠M=∠B=60°，
∴△CEM 为等边三角形,
∴BD=CE.

【典例2】(2026·武汉)如图，点D，E分别在等边△ABC边BC延长线和边AB上，∠AEC=2∠D，求证：CE=BE+CD.

延长 AB 至点 M,使 EM=EC,
∴∠M=∠D，
在△BCM 和△CAD 中，
$\begin{cases} ∠M=∠D, \\ ∠MBC=∠ACD, \\ BC=CA, \end{cases}$
∴△BCM≌△CAD(AAS)，
∴BM=CD，
∴CE=EM=BE+CD.

【典例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝∠ACD＝60°，求证：AB＝BD＋DC。

方法一:延长 BD 至 M,使 BM=AB,连 AM,则△ABM 是等边三角形,连接 MC,
∴AM=AB=AC，
∠ABM=∠AMB=∠ACD，
∴∠DCM=∠DMC，
∴CD=DM，
∴AB=BD+DC.
方法二:延长 CD 至点 N,使 CN=AC,得等边三角形△ACN,连接 BN,
得∠DBN=∠DNB，
∴DB=DN，
∴BD+CD=AB.