2026年思维新观察八年级数学上册人教版第83页答案
【典例1】如图，$∠ AOC=∠ BOC=10°$，$OC=20$，在$OA$上找一点$M$，在$OB$上找一点$N$，则$CM+MN$的最小值是
.

答案

$\boldsymbol{10}$

解析

解：作点C关于OA的对称点D，连接OD，
由轴对称性质得：$CM=DM$，$OD=OC=20$，$∠ DOA=∠ AOC=10°$，
因此$CM+MN=DM+MN$，当D、M、N三点共线且$DN⊥ OB$时，$DM+MN$取得最小值，即DN的长度为$CM+MN$的最小值。
由$∠ AOC=∠ BOC=10°$，可得$∠ DOB=∠ DOA+∠ AOC+∠ BOC=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ ODN$中，$∠ DNO=90°$，$∠ DON=30°$，
根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，得$DN=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}×20=10$。
变式1.在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=60°$，$BC=2$，点$D$在射线$CB$上，连$AD$，将$AD$逆时针旋转$60°$得$AE$，连$CE$，当$CE$最小时，求$CD$的长.

答案


解:在 BC 延长线上找一点 M 满足 BM=AB,连接 AM,EM,

则△ABD≌△AME,
∴∠BME=60°,
点 E 在过 M 点且与 AB 平行直线上运动,
当 CE⊥EM 时 CE 最小,EM=BD=1,CD=3.
变式2.如图，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AC=3$，点D为BC上一动点，AD的垂直平分线交AB于F点，则BF的最大值为
4
。

答案


解:设 AF=x,
∴FB=6−x,作 FM⊥BC 于点 M,

∴FM=3−x/2,
∵FM≤FD,
∴3−x/2≤x,
∴x≥2,
∴BF≤4,
∴BF 最大值为 4.
【典例2】如图，在$△ ABC$中，$∠ B=45°$，$AB=4$，点$P$为直线$BC$上一点，当$BP+2AP$有最小值时，$∠ BAP$的度数为
15°
.(胡不归问题)

答案


解:在 BC 下方作∠CBD=30°,AN⊥BD 于点 N,PM⊥BD 于点 M,

BP+2AP=2(AP+1/2 BP)=2(AP+PM),
故 A,P,M 三点共线,且 AP⊥BD 时最小,即 M 在 N 处时,
BP+2AP 最小,
∴∠BAP=90°−45°−30°=15°.
【典例3】如图，CA垂直于直线l于点A，CA＝4，点B是直线l上一动点，以CB为边向上作等边△MBC，连接MA，则MA的最小值为
2
。

答案


解:以 CA 为边向外作等边△ACE,连 ME,则△ACB≌△ECM,

∴∠MEC=90°,
∴∠MEA=30°,
∴ME 为定直线,故 MA⊥ME 时,MA 最小,最小值为 2.
变式.如图,在等边△ABC中,AB=8,AH⊥BC于点H,P为AH上的一个动点,以CP为一边作等边△CPQ(C,P,Q按逆时针顺序),连接HQ.在P点的运动过程中线段HQ的最小值为
2
.

答案


解:连接 BQ,过点 H 作 HD⊥BQ 于点 D,

易证△ACP≌△BCQ,
∴∠CBQ=∠CAP=30°,
∴HD=2,又 HQ≥HD,
故 HQ 的最小值为 2.