10.「2026江苏南京中华中学教育集团月考，★☆」计算机将信息转换成二进制数处理，二进制即“逢2进1”，如$(1101)_2$表示二进制数，将它转换成十进制形式是$1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 13$（规定$2^0=1$），那么将二进制数$(10111)_2$转换成十进制形式是。

答案 23
解析 $(10111)_2=1×2^4+0×2^3+1×2^2+1×2^1+1×2^0=16+4+2+1=23.$

11.「2026江苏徐州期中，★☆」为了求$1+2+2^2+2^3+\dots+2^{20}$的值，可令$S=1+2+2^2+2^3+\dots+2^{20}$，则$2S=2+2^2+2^3+\dots+2^{21}$，因此$2S-S=2^{21}-1$，所以$1+2+2^2+2^3+\dots+2^{20}=2^{21}-1$。仿照以上推理，计算$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{2025}=$。

答案 $\frac{5^{2026}-1}{4}$
解析 令$M=1+5+5^2+5^3+…+5^{2025}$,则$5M=5+5^2+5^3+5^4+…+5^{2026}$,那么$5M-M=5^{2026}-1$,因此$M=\frac{5^{2026}-1}{4}$,即原式$=\frac{5^{2026}-1}{4}.$

12.「2026江苏淮安淮阴中学月考，★☆」已知$a$为有理数，$\{a\}$表示不小于$a$的最小整数，如$\{\frac{2}{5}\}=1$，$\{-3\frac{1}{2}\}=-3$，则计算$\{-6\frac{5}{6}\}-\{5\}×\{1\frac{3}{4}\}=$。

答案 -16
解析 由题意可得$\{-6\frac{5}{6}\}-\{5\}×\{1\frac{3}{4}\}=(-6)-5×2=(-6)-10=-16.$

13. 核心素养 推理能力「2026 江苏南通通州期中」探究与发现.
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；
$\frac{1}{2×4}=\frac{1}{2}×( \frac{1}{2}-\frac{1}{4} )$，$\frac{1}{4×6}=\frac{1}{2}×( \frac{1}{4}-\frac{1}{6} )$，$\frac{1}{6×8}=\frac{1}{2}×( \frac{1}{6}-\frac{1}{8} )$.
根据你发现的规律计算：
(1) $\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}+\frac{1}{6×7}$.
(2) $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{99×100}$.
(3) $-\frac{1}{2×4}-\frac{1}{4×6}-\frac{1}{6×8}-…-\frac{1}{98×100}$.
(4) $\left| \frac{1}{4}-\frac{1}{2} \right| + \left| \frac{1}{4}+\frac{1}{6} \right| + \left| \frac{1}{16}-\frac{1}{12} \right| + \left| \frac{1}{16}+\frac{1}{20} \right| + \left| \frac{1}{36}-\frac{1}{30} \right| + \left| \frac{1}{36}+\frac{1}{42} \right|$.

(1)原式$=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}=\frac{3}{28}.$
(2)原式$=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}.$
(3)原式$=-\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})-\frac{1}{2}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})-\frac{1}{2}×(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})-…-\frac{1}{2}×(\frac{1}{98}-\frac{1}{100})$
$=-\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{98}-\frac{1}{100})$
$=-\frac{49}{200}.$
(4)原式$=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}-\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{42}$
$=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}$
$=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}+\frac{1}{6×7}$
$=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$
$=\frac{6}{7}.$

1.多选 按如图所示的程序计算,若开始输入的x的值是48,则第一次得到的结果y是24,第2次得到的结果y是12,……,叙述正确的选项是 ()


A.输出y的数值序列中,7是其中的某个数值
B.输出y的数值序列中,前50个的和是228
C.输出y的数值序列中,第2 011次是2
D.输出y的数值序列中,某相邻3个数值的和是18

由题意,依次计算所输出y的数值序列为24,12,6,3,8,4,2,1,6,3,……,发现从第3次开始,每6次计算为一个循环，
A.输出结果y的数值序列中没有7,故此选项错误；
B.因为$(50-2)÷6=48÷6=8$,所以y的数值序列中,前50个的和是$24+12+(6+3+8+4+2+1)×8=228$,故此选项正确；
C.因为$(2011-2)÷6=334……5$,所以y的数值序列中,第2011次是2,故此选项正确；
D.由24,12,6,3,8,4,2,1,6,3可得某相邻3个数值的和不会是18,故此选项错误.故选BC.

2.把$\frac{1}{7}$化成小数后，小数点右边第2000位上的数字是。

答案 4
解析 $\frac{1}{7}=0.142 857 142 857……$,小数点右边的数字是以1,4,2,8,5,7六个数为一组循环，因为$2000÷6=333……2$,所以小数点右边第2000位上的数字为4.

3.德国的一位中学老师从光谱数据：$\frac{16}{10},\frac{25}{18},\frac{36}{28},\frac{49}{40},\dots$中发现了一个规律，从而打开了光谱奥妙的大门，请你根据这个规律写出第5个数是。

答案 $\frac{64}{54}$
解析 观察这列数的分子依次是4,5,6,7,…的平方,分母依次是2×5,3×6,4×7,5×8,……的积,所以第5个数的分子是$8^2=64$,分母是$6×9=54$,故第5个数是$\frac{64}{54}.$

4.观察下列各数的排列规律：$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5},\frac{2}{5},\dots\dots$,则$\frac{11}{27}$排在第个,第100个数是.

答案 $336;\frac{9}{15}$
解析 观察可得规律,分母为2的真分数有1个,分母为3的真分数有2个,分母为4的真分数有3个,……,则分母为27的真分数有26个,其中$\frac{11}{27}$是分母为27的第11个数,在这列数中排的位置为$\frac{25×(25+1)}{2}+11=325+11=336.$
分母为14的真分数有13个,分母从2到14的真分数一共有$1+2+3+4+…+13=\frac{(1+13)×13}{2}=91$(个),所以第100个数的分母为15,第92个数为$\frac{1}{15}$,第93个数为$\frac{2}{15}$,……,第100个数是$\frac{9}{15}.$