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10.【数学游戏】将连续的奇数1,3,5,7,9,…按一定规律排成如图所示的数表，图中的T形框框住了四个数，若将T形框上下左右移动，按同样的方式框住的四个数的和为182，求T形框内处于中间且靠上的数。
答案
解:设 T 形框内处于中间且靠上的数为$2n-1$,则框内该数左边的数为$2n-3$,右边的数为$2n+1$,下面的数为$2n-1+10$,所以 T 形框内四个数的和为$(2n-3)+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1+10)=8n+6$,即 T 形框内四个数的和为$8n+6$。
由题意得 $8n+6=182$,
解得 $n=22$,
故 $2n-1=43$,
即 T 形框内处于中间且靠上的数为 43。
由题意得 $8n+6=182$,
解得 $n=22$,
故 $2n-1=43$,
即 T 形框内处于中间且靠上的数为 43。
解析
【分析】
首先观察数表规律：数表内均为连续奇数，相邻两个奇数差2，每行有5个数，同一列上下相邻两个数相差10。解题时先设T形框内中间且靠上的数为未知数，根据数的排列规律表示出其余三个被框住的数，再依据四个数的和为182列方程，求解方程即可得到目标数。
【解析】
设T形框内处于中间且靠上的数为$2n-1$，根据数表规律：
该数左边的数比它小2，为$2n-3$；
该数右边的数比它大2，为$2n+1$；
该数下方的数比它大10，为$2n-1+10$。
则T形框内四个数的和为：
$\begin{aligned}&(2n-3)+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1+10)\\=&8n+6\end{aligned}$
根据题意四个数的和为182，列方程得：
$8n+6=182$
解得：$n=22$
代入$2n-1$可得：$2×22-1=43$
【答案】
43
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律型数字与方程应用的综合题，解题核心是准确找到数阵的排列规律，正确表示出T形框内的四个数，再根据和的等量关系列方程求解，掌握数字规律的观察方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
首先观察数表规律：数表内均为连续奇数，相邻两个奇数差2，每行有5个数，同一列上下相邻两个数相差10。解题时先设T形框内中间且靠上的数为未知数，根据数的排列规律表示出其余三个被框住的数，再依据四个数的和为182列方程，求解方程即可得到目标数。
【解析】
设T形框内处于中间且靠上的数为$2n-1$，根据数表规律：
该数左边的数比它小2，为$2n-3$；
该数右边的数比它大2，为$2n+1$；
该数下方的数比它大10，为$2n-1+10$。
则T形框内四个数的和为：
$\begin{aligned}&(2n-3)+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1+10)\\=&8n+6\end{aligned}$
根据题意四个数的和为182，列方程得：
$8n+6=182$
解得：$n=22$
代入$2n-1$可得：$2×22-1=43$
【答案】
43
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律型数字与方程应用的综合题，解题核心是准确找到数阵的排列规律，正确表示出T形框内的四个数，再根据和的等量关系列方程求解，掌握数字规律的观察方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
11.【综合与实践】我们知道整数和分数统称有理数,两个整数相除,如果得不到整数商,会有两种情况:一种得到有限小数;另一种得到无限小数。
从小数点后某一位开始依次不断地重复出现前一个或一节数字的无限小数,叫作循环小数。那么,分数和小数是不是可以互化呢?
分数均可化为有限小数或无限循环小数。反之,有限小数和无限循环小数均可化为分数。
例如:$\frac{1}{4}=1÷4=0.25,1\frac{3}{5}=1+\frac{3}{5}=1+0.6=1.6,\frac{1}{3}=1÷3=0.\dot{3},$
反之,$0.25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4},1.6=1+0.6=1+\frac{6}{10}=1\frac{3}{5}。$
那么$0.\dot{3}$怎么化为$\frac{1}{3}$呢?
解:因为$0.\dot{3}×10=3.\dot{3}=3+0.\dot{3},$
所以设$0.\dot{3}=x$,则上式变为$10x=3+x$,解得$x=\frac{1}{3}$,即$0.\dot{3}=\frac{1}{3}。$
根据以上材料,回答下列问题:
(1)将分数化为小数:$\frac{5}{2}=$
(2)将小数化为分数:$0.\dot{7}=$
(3)试将小数$1.\dot{6}$化为分数,写出转化过程。
从小数点后某一位开始依次不断地重复出现前一个或一节数字的无限小数,叫作循环小数。那么,分数和小数是不是可以互化呢?
分数均可化为有限小数或无限循环小数。反之,有限小数和无限循环小数均可化为分数。
例如:$\frac{1}{4}=1÷4=0.25,1\frac{3}{5}=1+\frac{3}{5}=1+0.6=1.6,\frac{1}{3}=1÷3=0.\dot{3},$
反之,$0.25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4},1.6=1+0.6=1+\frac{6}{10}=1\frac{3}{5}。$
那么$0.\dot{3}$怎么化为$\frac{1}{3}$呢?
解:因为$0.\dot{3}×10=3.\dot{3}=3+0.\dot{3},$
所以设$0.\dot{3}=x$,则上式变为$10x=3+x$,解得$x=\frac{1}{3}$,即$0.\dot{3}=\frac{1}{3}。$
根据以上材料,回答下列问题:
(1)将分数化为小数:$\frac{5}{2}=$
2.5
,$\frac{4}{11}=$$0.\dot{3}\dot{6}$
;(2)将小数化为分数:$0.\dot{7}=$
$\frac{7}{9}$
;(3)试将小数$1.\dot{6}$化为分数,写出转化过程。
答案
(1) 2.5 ，$0.\dot{3}\dot{6}$
(2) $\frac{7}{9}$
(3) 设$0.\dot{6}=n$,根据题意得$10n=6+n$,
解得$n=\frac{2}{3}$,即$0.\dot{6}=\frac{2}{3}$,
所以$1.\dot{6}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$。
(2) $\frac{7}{9}$
(3) 设$0.\dot{6}=n$,根据题意得$10n=6+n$,
解得$n=\frac{2}{3}$,即$0.\dot{6}=\frac{2}{3}$,
所以$1.\dot{6}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$。
解析
【分析】
（1）分数化为小数直接用分子除以分母计算即可，能整除得到有限小数，不能整除的观察重复出现的数字确定循环节，写成循环小数形式；
（2）纯循环小数化分数，仿照材料中$0.\dot{3}$化分数的方法，设循环小数为未知数，将其扩大10倍后与原数作差消去循环部分，解一元一次方程即可得到对应分数；
（3）带整数部分的循环小数，先单独把小数部分的纯循环小数按上述方法化为分数，再加上整数部分，化简为最简分数即可。
【解析】
(1) 计算$\frac{5}{2}$：$5÷2=2.5$；
计算$\frac{4}{11}$：$4÷11=0.363636···$，循环节为36，即$0.\dot{3}\dot{6}$。
(2) 设$0.\dot{7}=x$，则$10x=7.\dot{7}=7+x$，
移项得$10x-x=7$，即$9x=7$，
解得$x=\frac{7}{9}$，即$0.\dot{7}=\frac{7}{9}$。
(3) 设$0.\dot{6}=n$，根据题意得$10n=6+n$，
解得$n=\frac{2}{3}$，即$0.\dot{6}=\frac{2}{3}$，
所以$1.\dot{6}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) $2.5$，$0.\dot{3}\dot{6}$
(2) $\frac{7}{9}$
(3) $\frac{5}{3}$
【知识点】
1. 分数与小数互化
2. 一元一次方程的应用
3. 循环小数的认识
【点评】
本题为材料阅读类题目，解题核心是理解材料给出的循环小数化分数的方法，通过设未知数、扩大倍数消去无限循环部分，将陌生问题转化为熟悉的一元一次方程求解，侧重考查方法的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）分数化为小数直接用分子除以分母计算即可，能整除得到有限小数，不能整除的观察重复出现的数字确定循环节，写成循环小数形式；
（2）纯循环小数化分数，仿照材料中$0.\dot{3}$化分数的方法，设循环小数为未知数，将其扩大10倍后与原数作差消去循环部分，解一元一次方程即可得到对应分数；
（3）带整数部分的循环小数，先单独把小数部分的纯循环小数按上述方法化为分数，再加上整数部分，化简为最简分数即可。
【解析】
(1) 计算$\frac{5}{2}$：$5÷2=2.5$；
计算$\frac{4}{11}$：$4÷11=0.363636···$，循环节为36，即$0.\dot{3}\dot{6}$。
(2) 设$0.\dot{7}=x$，则$10x=7.\dot{7}=7+x$，
移项得$10x-x=7$，即$9x=7$，
解得$x=\frac{7}{9}$，即$0.\dot{7}=\frac{7}{9}$。
(3) 设$0.\dot{6}=n$，根据题意得$10n=6+n$，
解得$n=\frac{2}{3}$，即$0.\dot{6}=\frac{2}{3}$，
所以$1.\dot{6}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) $2.5$，$0.\dot{3}\dot{6}$
(2) $\frac{7}{9}$
(3) $\frac{5}{3}$
【知识点】
1. 分数与小数互化
2. 一元一次方程的应用
3. 循环小数的认识
【点评】
本题为材料阅读类题目，解题核心是理解材料给出的循环小数化分数的方法，通过设未知数、扩大倍数消去无限循环部分，将陌生问题转化为熟悉的一元一次方程求解，侧重考查方法的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
