5.如图5-3-14,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,动点E从点D出发向终点A运动,连接BE,以BE为边在BE上方作正方形BEFG,在点E运动的过程中,阴影部分的面积最小为.

5. $\frac{15}{4}$

6.(2024·泰安中考)如图5-3-15,小明的爸爸想用长为60 m的栅栏靠着房屋的外墙围成一个矩形菜园,已知房屋外墙长40 m,则可围成菜园的最大面积是 m².

6. 450

7.如图5-3-16是小关设计的风筝草图ABCD，其中风筝的两根龙骨AC和BD互相垂直，若他计划用长为100 cm的毛竹制作风筝的龙骨(不计损耗)，且要求$AC≥\frac{3}{2}BD$，则当骨架BD的长为 cm时，四边形ABCD的面积最大，此时的最大面积是 cm²。

7. 40 1 200

8.某学校计划先用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园,再在花园里用一道篱笆把花园分为甲、乙两块,如图5-3-17.学校已订购篱笆120 m.
(1)设计一个使花园面积最大的方案,并求出其最大面积;
(2)在花园面积最大的条件下,甲、乙两块内分别种植牡丹和芍药,每平方米种植2株.已知购买一株牡丹需25元,购买一株芍药需15元,学校计划购买费用不超过5万元,求最多可以购买多少株牡丹.

8. 解:(1)设垂直于墙的边为x m,围成的矩形面积为S m²,则平行于墙的边为(120−3x)m.
根据题意得 S = x(120−3x) = −3x²+120x = − 3(x−20)² + 1 200(0＜x＜40).
∵−3＜0,
∴当x=20时,S取得最大值1 200.
∴120−3x=120−3×20=60.
答:垂直于墙的边长20 m,平行于墙的边长60 m,花园面积最大为1 200 m².
(2)设购买牡丹 m 株,则购买芍药(2 400−m)株.
∵学校计划购买费用不超过5万元,
∴25m+15(2 400−m)≤50 000,
解得 m≤1 400.
答:最多可以购买1 400株牡丹.

9.如图5-3-18,在$Rt△ EFG$的内部作一个矩形ABCD,其中点A和点D分别在两直角边上,点B和点C在斜边上,$EF=30\ \mathrm{cm}$,$FG=40\ \mathrm{cm}$,设$AB=x\ \mathrm{cm}$.
(1)试用含$x$的代数式表示AD的长度;
(2)设矩形ABCD的面积为$S$,当$x$为何值时,$S$的值最大?最大值是多少?

9. 解:(1)过点 F 作 FN⊥EG 于点 N,交AD 于点 M,如图.
∵△EFG 是直角三角形，
∴EG = $\sqrt{EF^2+FG^2} = \sqrt{30^2+40^2} = 50$(cm).
∵$\frac{1}{2}EF· FG = \frac{1}{2}FN· EG$,
∴$FN = \frac{EF· FG}{EG} = \frac{30×40}{50} = 24$(cm).
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD//BC.
∴△AFD∽△GFE.
∵AB=MN=x cm，
则 FM=(24−x)cm，
∴$\frac{AD}{GE} = \frac{FM}{FN}$，
即$\frac{AD}{50} = \frac{24-x}{24}$，
解得 $AD=(50-\frac{25}{12}x)$cm.
(2)由(1)得 $AD=(50-\frac{25}{12}x)$cm，
$S = AB· AD = x · (50-\frac{25}{12}x) = -\frac{25}{12}(x-12)^2+300$.
∵$-\frac{25}{12}＜0$,抛物线开口向下，
∴当x=12时,S的值最大，
$S_{\mathrm{max}}=300\ \mathrm{cm}^2$.