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1. 如图，一张等边三角形状的纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中$∠α + ∠β$的度数是（
A.$180°$
B.$220°$
C.$240°$
D.$300°$
C
）。A.$180°$
B.$220°$
C.$240°$
D.$300°$
答案
1. C
解析
【分析】
解题首先回忆相关性质：①等边三角形的三个内角都相等，每个内角都是60°；②四边形的内角和为360°。剪去等边三角形一个角得到的四边形中，有两个内角就是原等边三角形的内角，度数均为60°，我们只需要用四边形内角和减去这两个角的度数和，就能求出∠α+∠β的度数。
【解析】
解：
∵等边三角形的每个内角都为60°，
∴剪去一个角后，所得四边形中除∠α、∠β外的两个内角的和为60°+60°=120°，
又
∵四边形的内角和为(4-2)×180°=360°，
∴∠α+∠β=360°-120°=240°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，多边形内角和
【点评】
本题是基础类题型，解题的关键是熟练掌握等边三角形的内角特点，以及多边形内角和公式的应用，通过已知角度推导未知角度和即可求解。
【难度系数】
0.8
解题首先回忆相关性质：①等边三角形的三个内角都相等，每个内角都是60°；②四边形的内角和为360°。剪去等边三角形一个角得到的四边形中，有两个内角就是原等边三角形的内角，度数均为60°，我们只需要用四边形内角和减去这两个角的度数和，就能求出∠α+∠β的度数。
【解析】
解：
∵等边三角形的每个内角都为60°，
∴剪去一个角后，所得四边形中除∠α、∠β外的两个内角的和为60°+60°=120°，
又
∵四边形的内角和为(4-2)×180°=360°，
∴∠α+∠β=360°-120°=240°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，多边形内角和
【点评】
本题是基础类题型，解题的关键是熟练掌握等边三角形的内角特点，以及多边形内角和公式的应用，通过已知角度推导未知角度和即可求解。
【难度系数】
0.8
2.已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，下列结论：
①若$AB=BC$，则$△ ABC$是等边三角形；
②若$∠ A=60°$，则$△ ABC$是等边三角形；
③若$∠ B=60°$，则$△ ABC$是等边三角形.
其中正确的有(
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
①若$AB=BC$，则$△ ABC$是等边三角形；
②若$∠ A=60°$，则$△ ABC$是等边三角形；
③若$∠ B=60°$，则$△ ABC$是等边三角形.
其中正确的有(
D
).A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
2. D
解析
【分析】
本题已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，需结合等边三角形的判定定理逐一判断3个结论是否正确。解题思路如下：首先明确等边三角形的判定依据：①三边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质逐个分析结论即可。
【解析】
已知△ABC中AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。
对结论①：若AB=BC，结合已知AB=AC，可得AB=AC=BC，三边相等的三角形是等边三角形，故①正确；
对结论②：若∠A=60°，等腰三角形有一个内角为60°，根据等边三角形判定定理，可知△ABC是等边三角形，故②正确；
对结论③：若∠B=60°，因为AB=AC，所以等腰三角形两底角相等，即∠B=∠C=60°，则∠A=180°-60°-60°=60°，三个内角均为60°，故△ABC是等边三角形，③正确。
综上，3个结论都正确。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查等边三角形的判定规则，只要熟练掌握等腰三角形的性质和等边三角形的判定定理，就能快速判断所有结论的正误。
【难度系数】
0.9
本题已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，需结合等边三角形的判定定理逐一判断3个结论是否正确。解题思路如下：首先明确等边三角形的判定依据：①三边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质逐个分析结论即可。
【解析】
已知△ABC中AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。
对结论①：若AB=BC，结合已知AB=AC，可得AB=AC=BC，三边相等的三角形是等边三角形，故①正确；
对结论②：若∠A=60°，等腰三角形有一个内角为60°，根据等边三角形判定定理，可知△ABC是等边三角形，故②正确；
对结论③：若∠B=60°，因为AB=AC，所以等腰三角形两底角相等，即∠B=∠C=60°，则∠A=180°-60°-60°=60°，三个内角均为60°，故△ABC是等边三角形，③正确。
综上，3个结论都正确。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查等边三角形的判定规则，只要熟练掌握等腰三角形的性质和等边三角形的判定定理，就能快速判断所有结论的正误。
【难度系数】
0.9
3. 如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE=2，则DF=
2
。答案
3. 2
解析
【分析】
解题时从已知条件逐步推导：1. 首先回忆等边三角形的性质，等边三角形底边上的中线同时是顶角的角平分线，即三线合一，由此可推出AD平分∠BAC；2. 观察DE⊥AB、DF⊥AC，可知DE、DF是角平分线AD上的点D到∠BAC两边的距离；3. 结合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可得到DE与DF的等量关系，代入DE的数值就能求出DF的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD平分∠BAC（等边三角形三线合一）。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE、DF分别为点D到AB、AC两边的距离。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DF。
又
∵DE=2，
∴DF=2。
【答案】
2
【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查等边三角形三线合一、角平分线性质的应用，找准性质对应的条件即可快速得出结论，无需复杂推导。
【难度系数】
0.8
解题时从已知条件逐步推导：1. 首先回忆等边三角形的性质，等边三角形底边上的中线同时是顶角的角平分线，即三线合一，由此可推出AD平分∠BAC；2. 观察DE⊥AB、DF⊥AC，可知DE、DF是角平分线AD上的点D到∠BAC两边的距离；3. 结合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可得到DE与DF的等量关系，代入DE的数值就能求出DF的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD平分∠BAC（等边三角形三线合一）。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE、DF分别为点D到AB、AC两边的距离。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DF。
又
∵DE=2，
∴DF=2。
【答案】
2
【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查等边三角形三线合一、角平分线性质的应用，找准性质对应的条件即可快速得出结论，无需复杂推导。
【难度系数】
0.8
4.如图,六边形ABCDEF的六个角都是$120°$,AB=1 cm,BC=3 cm,
CD=3 cm,DE=2 cm,则这个六边形的周长是
CD=3 cm,DE=2 cm,则这个六边形的周长是
15
cm.答案
4. 15
解析
【分析】
本题中六边形每个内角均为120°，我们可以利用120°角的补角为60°的特点，通过延长六边形不相邻的边，构造出等边三角形，借助等边三角形三边相等的性质，求出未知边的长度，进而计算六边形的周长。解题步骤可分为：1. 延长边构造等边三角形；2. 先求出大等边三角形的边长；3. 依次求出未知边AF、EF的长度；4. 相加所有边长得到周长。
【解析】
我们通过作辅助线构造等边三角形：
分别延长AB与DC交于点M，延长CD与FE交于点N，延长EF与BA交于点P。
∵ 六边形ABCDEF的每个内角都是120°，
∴ ∠MBC=180°-120°=60°，∠MCB=180°-120°=60°，
∴ △MBC是等边三角形，得MB=MC=BC=3cm。
同理可得，△DEN是等边三角形，DN=EN=DE=2cm；△AFP是等边三角形，PA=PF=AF。
△PMN的三个内角均为60°，故△PMN是等边三角形，边长MN=MC+CD+DN=3+3+2=8cm，即PM=PN=MN=8cm。
由PM=MB+AB+AP，代入已知长度：8=3+1+AP，解得AP=4cm，故AF=AP=4cm。
由PN=PF+EF+EN，代入已知长度：8=4+EF+2，解得EF=2cm。
因此六边形的周长为：AB+BC+CD+DE+EF+AF=1+3+3+2+2+4=15cm。
【答案】
15
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质；多边形的内角与外角
【点评】
本题是等边三角形与多边形结合的典型题型，解题的核心是利用120°内角的特征构造等边三角形，将分散的边长关系整合到等边三角形中求解，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题中六边形每个内角均为120°，我们可以利用120°角的补角为60°的特点，通过延长六边形不相邻的边，构造出等边三角形，借助等边三角形三边相等的性质，求出未知边的长度，进而计算六边形的周长。解题步骤可分为：1. 延长边构造等边三角形；2. 先求出大等边三角形的边长；3. 依次求出未知边AF、EF的长度；4. 相加所有边长得到周长。
【解析】
我们通过作辅助线构造等边三角形：
分别延长AB与DC交于点M，延长CD与FE交于点N，延长EF与BA交于点P。
∵ 六边形ABCDEF的每个内角都是120°，
∴ ∠MBC=180°-120°=60°，∠MCB=180°-120°=60°，
∴ △MBC是等边三角形，得MB=MC=BC=3cm。
同理可得，△DEN是等边三角形，DN=EN=DE=2cm；△AFP是等边三角形，PA=PF=AF。
△PMN的三个内角均为60°，故△PMN是等边三角形，边长MN=MC+CD+DN=3+3+2=8cm，即PM=PN=MN=8cm。
由PM=MB+AB+AP，代入已知长度：8=3+1+AP，解得AP=4cm，故AF=AP=4cm。
由PN=PF+EF+EN，代入已知长度：8=4+EF+2，解得EF=2cm。
因此六边形的周长为：AB+BC+CD+DE+EF+AF=1+3+3+2+2+4=15cm。
【答案】
15
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质；多边形的内角与外角
【点评】
本题是等边三角形与多边形结合的典型题型，解题的核心是利用120°内角的特征构造等边三角形，将分散的边长关系整合到等边三角形中求解，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5. 如图,在$△ ECB$中,$∠ CEB = ∠ B$,延长BE至点A,过点A作$AD // CE$,$∠ A = 60°$,连接CD.求证:$△ ECB$是等边三角形.
答案
5. 证明
∵AD//CE，
∴∠A=∠CEB=60°.
∵∠CEB=∠B，
∴CE=CB，
∴△CEB 是等腰三角形.
又∠CEB=60°，
∴△CEB 是等边三角形.
∵AD//CE，
∴∠A=∠CEB=60°.
∵∠CEB=∠B，
∴CE=CB，
∴△CEB 是等腰三角形.
又∠CEB=60°，
∴△CEB 是等边三角形.
解析
【分析】
要证明△ECB是等边三角形，我们可以利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定定理推导。首先根据已知的AD//CE，利用平行线的性质得到∠CEB和∠A相等，先求出∠CEB的度数；再结合题目给出的∠CEB=∠B，可先判定△ECB是等腰三角形，最后结合60°的内角条件，就能证明它是等边三角形。
【解析】
证明：
∵AD//CE，
∴∠A=∠CEB=60°。
∵∠CEB=∠B，
∴CE=CB，
∴△ECB 是等腰三角形。
又∠CEB=60°，
∴△ECB 是等边三角形。
【答案】
证明：
∵AD//CE，
∴∠A=∠CEB=60°。
∵∠CEB=∠B，
∴CE=CB，
∴△ECB 是等腰三角形。
又∠CEB=60°，
∴△ECB 是等边三角形。
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形判定；等边三角形判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查等边三角形的判定方法，解题时需要结合平行线的性质、等腰三角形的判定定理梳理角和边的关系，只要熟练掌握相关基础定理就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要证明△ECB是等边三角形，我们可以利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定定理推导。首先根据已知的AD//CE，利用平行线的性质得到∠CEB和∠A相等，先求出∠CEB的度数；再结合题目给出的∠CEB=∠B，可先判定△ECB是等腰三角形，最后结合60°的内角条件，就能证明它是等边三角形。
【解析】
证明：
∵AD//CE，
∴∠A=∠CEB=60°。
∵∠CEB=∠B，
∴CE=CB，
∴△ECB 是等腰三角形。
又∠CEB=60°，
∴△ECB 是等边三角形。
【答案】
证明：
∵AD//CE，
∴∠A=∠CEB=60°。
∵∠CEB=∠B，
∴CE=CB，
∴△ECB 是等腰三角形。
又∠CEB=60°，
∴△ECB 是等边三角形。
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形判定；等边三角形判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查等边三角形的判定方法，解题时需要结合平行线的性质、等腰三角形的判定定理梳理角和边的关系，只要熟练掌握相关基础定理就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
