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【典型例题3】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=58°，∠ACD=40°。若⊙O的半径为5，则$\overset{\frown}{CD}$的长为
【解析】如图，连接OA，OD，OC。
∵∠B=58°，∠ACD=40°，
∴∠AOC=2∠B=116°，∠AOD=2∠ACD=80°。
∴∠DOC=∠AOC−∠AOD=36°。
∴$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{36π×5}{180}=π$。
【答案】π
π
。【解析】如图，连接OA，OD，OC。
∵∠B=58°，∠ACD=40°，
∴∠AOC=2∠B=116°，∠AOD=2∠ACD=80°。
∴∠DOC=∠AOC−∠AOD=36°。
∴$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{36π×5}{180}=π$。
【答案】π
答案
解析：如图，连接OA，OD，OC。
∵∠B=58°，∠ACD=40°，
∴∠AOC=2∠B=116°，∠AOD=2∠ACD=80°。
∴∠DOC=∠AOC−∠AOD=36°。
∴$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{36π×5}{180}=π$。答案：π
∵∠B=58°，∠ACD=40°，
∴∠AOC=2∠B=116°，∠AOD=2∠ACD=80°。
∴∠DOC=∠AOC−∠AOD=36°。
∴$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{36π×5}{180}=π$。答案：π
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{CD}$的长，首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$为弧所对的圆心角度数，$r$为圆的半径。本题已给出圆的半径$r=5$，因此解题核心是求出$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ COD$的度数。根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，先由$∠ B$的度数求出弧$AC$对应的圆心角$∠ AOC$的度数，再由$∠ ACD$的度数求出弧$AD$对应的圆心角$∠ AOD$的度数，两个圆心角的差即为$∠ COD$的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
连接$OA$，$OD$，$OC$。
∵同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ B=58°$，$∠ ACD=40°$，
∴$∠ AOC=2∠ B=2×58°=116°$，$∠ AOD=2∠ ACD=2×40°=80°$，
∴$∠ DOC=∠ AOC-∠ AOD=116°-80°=36°$，
代入弧长公式可得$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{36π×5}{180}=π$。
【答案】
$π$
【知识点】
圆周角定理，弧长计算公式
【点评】
本题属于基础计算题，解题关键是利用圆周角定理求出待求弧对应的圆心角度数，再结合弧长公式求解，熟练掌握相关基础定理和公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要求$\overset{\frown}{CD}$的长，首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$为弧所对的圆心角度数，$r$为圆的半径。本题已给出圆的半径$r=5$，因此解题核心是求出$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ COD$的度数。根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，先由$∠ B$的度数求出弧$AC$对应的圆心角$∠ AOC$的度数，再由$∠ ACD$的度数求出弧$AD$对应的圆心角$∠ AOD$的度数，两个圆心角的差即为$∠ COD$的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
连接$OA$，$OD$，$OC$。
∵同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ B=58°$，$∠ ACD=40°$，
∴$∠ AOC=2∠ B=2×58°=116°$，$∠ AOD=2∠ ACD=2×40°=80°$，
∴$∠ DOC=∠ AOC-∠ AOD=116°-80°=36°$，
代入弧长公式可得$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{36π×5}{180}=π$。
【答案】
$π$
【知识点】
圆周角定理，弧长计算公式
【点评】
本题属于基础计算题，解题关键是利用圆周角定理求出待求弧对应的圆心角度数，再结合弧长公式求解，熟练掌握相关基础定理和公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在扇形OAB中,∠AOB=30°, OA=2√3,点C在OB上,且OC=AC,延长CB至点D,使CD=CA,以CA, CD为邻边作平行四边形ACDE,则图中阴影部分的面积为
3√3−π
。答案
3. 3√3−π
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察图形特征，可将阴影面积转化为平行四边形ACDE的面积减去（扇形OAB的面积与△OAC的面积差）。解题时先利用等腰三角形性质、勾股定理求出AC的长度和A到OB的高，再分别计算各规则图形的面积，最后代入面积和差公式即可。
【解析】
过点A作AH⊥OB于点H。
1. 在Rt△OAH中，∠AOB=30°，OA=2√3：
AH = OA·sin30° = 2√3 × 1/2 = √3，
OH = OA·cos30° = 2√3 × √3/2 = 3。
2. 因OC=AC，故△OAC为等腰三角形，∠OAC=∠AOB=30°，则∠ACO=180°-30°-30°=120°，∠ACD=60°。
设AC=OC=x，则CH=OH - OC=3 - x，在Rt△ACH中，由勾股定理得：
AH² + CH² = AC²，即(√3)² + (3 - x)² = x²，
解得x=2，故AC=OC=2，又CD=CA，因此CD=2。
3. 计算各规则图形面积：
① 平行四边形ACDE的面积：$S_{□ ACDE} = CD × AH = 2 × √3 = 2√3$；
② 扇形OAB的面积：$S_{扇形OAB} = \frac{30°}{360°} × π × OA^2 = \frac{1}{12} × π × (2√3)^2 = π$；
③ △OAC的面积：$S_{△ OAC} = \frac{1}{2} × OC × AH = \frac{1}{2} × 2 × √3 = √3$。
4. 阴影部分面积：
$S_{阴影} = S_{□ ACDE} - (S_{扇形OAB} - S_{△ OAC}) = 2√3 - (π - √3) = 3√3 - π$。
【答案】
$3\sqrt{3}-π$
【知识点】
扇形面积计算，平行四边形面积计算，等腰三角形性质
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的典型题型，核心解题思路是将不规则面积转化为多个规则图形面积的和差，解题过程中需要熟练运用三角函数、勾股定理、特殊图形的面积公式，对图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，首先观察图形特征，可将阴影面积转化为平行四边形ACDE的面积减去（扇形OAB的面积与△OAC的面积差）。解题时先利用等腰三角形性质、勾股定理求出AC的长度和A到OB的高，再分别计算各规则图形的面积，最后代入面积和差公式即可。
【解析】
过点A作AH⊥OB于点H。
1. 在Rt△OAH中，∠AOB=30°，OA=2√3：
AH = OA·sin30° = 2√3 × 1/2 = √3，
OH = OA·cos30° = 2√3 × √3/2 = 3。
2. 因OC=AC，故△OAC为等腰三角形，∠OAC=∠AOB=30°，则∠ACO=180°-30°-30°=120°，∠ACD=60°。
设AC=OC=x，则CH=OH - OC=3 - x，在Rt△ACH中，由勾股定理得：
AH² + CH² = AC²，即(√3)² + (3 - x)² = x²，
解得x=2，故AC=OC=2，又CD=CA，因此CD=2。
3. 计算各规则图形面积：
① 平行四边形ACDE的面积：$S_{□ ACDE} = CD × AH = 2 × √3 = 2√3$；
② 扇形OAB的面积：$S_{扇形OAB} = \frac{30°}{360°} × π × OA^2 = \frac{1}{12} × π × (2√3)^2 = π$；
③ △OAC的面积：$S_{△ OAC} = \frac{1}{2} × OC × AH = \frac{1}{2} × 2 × √3 = √3$。
4. 阴影部分面积：
$S_{阴影} = S_{□ ACDE} - (S_{扇形OAB} - S_{△ OAC}) = 2√3 - (π - √3) = 3√3 - π$。
【答案】
$3\sqrt{3}-π$
【知识点】
扇形面积计算，平行四边形面积计算，等腰三角形性质
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的典型题型，核心解题思路是将不规则面积转化为多个规则图形面积的和差，解题过程中需要熟练运用三角函数、勾股定理、特殊图形的面积公式，对图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
4. 如图,四边形ABCD是正方形,以边AB为直径作⊙O,点E在BC边上,连接AE交⊙O于点F,连接BF并延长交CD于点G.
(1)求证:△ABE≌△BCG.
(2)若∠AEB=55°,OA=3,求$\overset{\frown}{BF}$的长.
(1)求证:△ABE≌△BCG.
(2)若∠AEB=55°,OA=3,求$\overset{\frown}{BF}$的长.
答案
4. (1)【证明】
∵四边形ABCD是正方形,AB为⊙O的直径，
∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°,AB=BC.
∴∠ABF+∠EBF=90°,∠BAF+∠ABF=90°.
∴∠EBF=∠BAF.
在△ABE和△BCG中，
$\begin{cases}∠BAE=∠CBG,\\AB=BC,\\∠ABE=∠BCG,\end{cases}$
∴△ABE≌△BCG(ASA).
(2)【解】如图,连接OF.
由(1)知,∠ABE=90°,又∠AEB=55°,
∴∠BAE=180°−∠ABE−∠AEB=35°.
∴∠BOF=2∠BAE=70°.
∵OA=3,
∴$\overset{\frown}{BF}$的长为$\frac{70×π×3}{180}=\frac{7π}{6}$.
解析
【分析】
(1)要证明△ABE≌△BCG，首先利用正方形的性质可得AB=BC，∠ABE=∠BCG=90°；再结合AB是⊙O的直径，得到直径所对的圆周角∠AFB=90°，通过同角的余角相等推出∠BAE=∠CBG，即可满足ASA的全等判定条件。
(2)求$\overset{\frown}{BF}$的长需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为圆的半径）。首先在Rt△ABE中根据内角和求出∠BAE的度数，再利用圆周角定理得到$\overset{\frown}{BF}$对应的圆心角∠BOF的度数，结合已知半径OA=3，代入公式即可算出弧长。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°，AB=BC。
∴∠ABF+∠EBF=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠EBF=∠BAF。
在△ABE和△BCG中：
$\begin{cases}∠BAE=∠CBG,\\AB=BC,\\∠ABE=∠BCG,\end{cases}$
∴△ABE≌△BCG(ASA)。
(2) 解：如图，连接OF。
由(1)知∠ABE=90°，又∠AEB=55°，
∴∠BAE=180°−∠ABE−∠AEB=35°，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠BOF=2∠BAE=70°。
已知OA=3，即⊙O半径为3，
∴$\overset{\frown}{BF}$的长为$\frac{70×π×3}{180}=\frac{7π}{6}$。
【答案】
(1) $△ ABE≌△ BCG$，证明见解析；
(2) $\overset{\frown}{BF}$的长为$\frac{7π}{6}$。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、弧长计算
【点评】
本题是几何综合基础题，融合了正方形、全等三角形、圆的相关知识点，解题的核心是熟练掌握各性质定理，准确找到对应的边角关系和圆心角度数。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ABE≌△BCG，首先利用正方形的性质可得AB=BC，∠ABE=∠BCG=90°；再结合AB是⊙O的直径，得到直径所对的圆周角∠AFB=90°，通过同角的余角相等推出∠BAE=∠CBG，即可满足ASA的全等判定条件。
(2)求$\overset{\frown}{BF}$的长需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为圆的半径）。首先在Rt△ABE中根据内角和求出∠BAE的度数，再利用圆周角定理得到$\overset{\frown}{BF}$对应的圆心角∠BOF的度数，结合已知半径OA=3，代入公式即可算出弧长。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°，AB=BC。
∴∠ABF+∠EBF=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠EBF=∠BAF。
在△ABE和△BCG中：
$\begin{cases}∠BAE=∠CBG,\\AB=BC,\\∠ABE=∠BCG,\end{cases}$
∴△ABE≌△BCG(ASA)。
(2) 解：如图，连接OF。
由(1)知∠ABE=90°，又∠AEB=55°，
∴∠BAE=180°−∠ABE−∠AEB=35°，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠BOF=2∠BAE=70°。
已知OA=3，即⊙O半径为3，
∴$\overset{\frown}{BF}$的长为$\frac{70×π×3}{180}=\frac{7π}{6}$。
【答案】
(1) $△ ABE≌△ BCG$，证明见解析；
(2) $\overset{\frown}{BF}$的长为$\frac{7π}{6}$。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、弧长计算
【点评】
本题是几何综合基础题，融合了正方形、全等三角形、圆的相关知识点，解题的核心是熟练掌握各性质定理，准确找到对应的边角关系和圆心角度数。
【难度系数】
0.7
