2. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是边$BC$上的高，$DE$，$DF$分别是$AB$，$AC$上的中线，$AB=6$，$AC=8$。求$DE+DF$的长。

2. 7

【分析】
解题时首先从已知条件入手：AD是BC边上的高，可推出△ABD和△ACD均为直角三角形；又已知DE、DF分别是AB、AC边上的中线，结合直角三角形的特殊性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可分别求出DE、DF的长度，最后求和得到结果。
【解析】
∵AD是BC边上的高
∴∠ADB=∠ADC=90°，即△ABD、△ACD都是直角三角形
∵DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，AB=6
∴DE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}×6=3$
∵DF是Rt△ACD斜边AC上的中线，AC=8
∴DF = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}×8=4$
∴DE+DF = 3+4=7
【答案】
7
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；三角形高的定义
【点评】
本题考查直角三角形相关性质的直接应用，解题的关键是根据高的定义得到两个直角三角形，再结合斜边中线的性质计算，属于基础应用类题目，掌握对应性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在$AB$上,且$CD=CB$,$E$为$BD$的中点,$F$为$AC$的中点,连接$EF$,与$CD$交于点$M$,连接$AM$.
（1）求线段$EF$,$AC$之间的数量关系；
（2）若$∠ BAC=45°$,求线段$AM$,$DM$,$BC$之间的数量关系.

3. (1) $EF=\frac{1}{2}AC$,理由如下:$\because$ 在$△ BCD$中,$CD=CB$,点 E 为 BD 的中点,$\therefore CE⊥ AB. \because$ 在$\mathrm{Rt}△ ACE$中,点 F 为斜边 AC 的中点,$\therefore EF=\frac{1}{2}AC$ (2) $AM+DM=BC$,理由如下:由(1)可知:$CE⊥ AB,\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ACE$中,$∠ BAC=45°,\therefore △ ACE$为等腰直角三角形.$\because$ 点 F 为 AC 的中点,$\therefore EF⊥ AC. \therefore EF$是 AC 的垂直平分线.$\therefore AM=CM. \therefore CD=CM+DM=AM+DM. \because BC=CD$,$\therefore AM+DM=BC$

【分析】
（1）要推导EF和AC的数量关系，先从已知等腰△BCD入手：CD=CB且E是BD中点，根据等腰三角形三线合一可推出CE⊥AB，得到Rt△ACE；再结合F是AC中点的条件，利用直角三角形斜边中线的性质即可得到二者的数量关系。
（2）要推导AM、DM、BC的数量关系，先由∠BAC=45°结合CE⊥AB，可判断△ACE是等腰直角三角形；再由F是AC中点可得EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到AM=CM，最后结合CD=CM+DM、CD=CB的条件，等量代换即可得到三者关系。
【解析】
(1) $EF=\frac{1}{2}AC$，理由如下：
∵ 在$△ BCD$中，$CD=CB$，点E为BD的中点，
∴ 根据等腰三角形三线合一，得$CE ⊥ AB$，即$△ ACE$是直角三角形。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，点F为斜边AC的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$EF=\frac{1}{2}AC$。
(2) $AM+DM=BC$，理由如下：
由(1)可知$CE ⊥ AB$，
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ BAC=45°$，
∴ $∠ ACE=90° - 45° = ∠ BAC$，即$△ ACE$为等腰直角三角形。
∵ 点F为AC的中点，
∴ $EF ⊥ AC$，即EF是AC的垂直平分线。
∵ 点M在EF上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，得$AM=CM$。
∴ $CD=CM+DM=AM+DM$。
又
∵ $BC=CD$，
∴ $AM+DM=BC$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{EF=\dfrac{1}{2}AC}$；
(2) $\boldsymbol{AM+DM=BC}$
【知识点】
等腰三角形性质，直角三角形斜边中线性质，线段垂直平分线性质
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，解题的关键是通过等腰三角形三线合一得到直角关系，再结合中点、特殊角的特征逐步推导线段等量关系，考查学生对三角形相关性质定理的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

1. 如图，在$△ ABC$中，$CF⊥ AB$，垂足为$F$，$BE⊥ AC$，垂足为$E$，$M$是$BC$的中点，则图中等腰三角形有（）

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

1. D

【分析】
解题首先回忆直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。本题中已知CF⊥AB、BE⊥AC，可得△BFC和△BEC均为直角三角形，M是BC中点，因此MF、ME分别是两个直角三角形斜边BC的中线，可推出MF=MB=MC=ME，再结合等腰三角形“有两边相等的三角形是等腰三角形”的判定规则，逐一找出所有符合条件的等腰三角形即可，注意不要漏数由MF=ME构成的等腰三角形。
【解析】
解：
∵CF⊥AB，
∴△BFC是直角三角形，
∵M为BC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，得：
$MF=\frac{1}{2}BC=BM=MC$，
∴△BMF（BM=MF）、△CMF（CM=MF）为等腰三角形；
同理，
∵BE⊥AC，
∴△BEC是直角三角形，
∵M为BC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，得：
$ME=\frac{1}{2}BC=BM=MC$，
∴△BME（BM=ME）、△CME（CM=ME）为等腰三角形；
又
∵$MF=\frac{1}{2}BC$，$ME=\frac{1}{2}BC$，
∴MF=ME，
∴△MEF（MF=ME）也为等腰三角形；
综上，共有5个等腰三角形，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形的性质和等腰三角形的判定，解题的关键是利用斜边中线的性质得到多组相等的线段，计数时要注意不重不漏，避免遗漏△MEF这个等腰三角形。
【难度系数】
0.6

2. 如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点,试说明:
(1) $MD=MB$;
(2) $MN⊥ BD$.

2. (1) $\because ∠ ABC=90°$,$M$是 AC 的中点,$\therefore DM=BM$ (2) 由(1)可知 $DM=BM$,$\because N$是 BD 的中点,$\therefore MN⊥ BD$

【分析】
(1) 要证明MD=MB，先观察已知条件：存在两个直角三角形Rt△ADC和Rt△ABC，二者共用斜边AC，且M是AC中点，可联想到“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”的性质，分别推导MD、MB和AC的数量关系，即可证明二者相等。
(2) 由(1)已证MD=MB，可得△MBD是等腰三角形，又已知N是BD的中点，结合等腰三角形“三线合一”的性质，即可推出MN与BD垂直。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$MD=\frac{1}{2}AC$，
同理，
∵∠ABC=90°，M是AC的中点，
∴$MB=\frac{1}{2}AC$，
∴$MD=MB$。
(2) 证明：
由(1)可知$MD=MB$，即△MBD为等腰三角形，
又
∵N是BD的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得$MN⊥BD$。
【答案】
2. (1) $\because ∠ ABC=90°$,$M$是 AC 的中点,$\therefore DM=BM$ (2) 由(1)可知 $DM=BM$,$\because N$是 BD 的中点,$\therefore MN⊥ BD$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是结合中点条件，灵活调用直角三角形和等腰三角形的相关性质，熟练掌握对应性质即可快速完成推导。
【难度系数】
0.8