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9.下列条件中:①$∠ A+∠ B=∠ C$;②$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$;③$∠ A=∠ B=2∠ C$;④$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$;⑤$∠ A=∠ B=\frac{1}{3}∠ C$,能确定$△ ABC$为直角三角形的条件有 (
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
C
)A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
9.C
解析
【分析】
判断三角形是否为直角三角形的核心依据是三角形内角和为180°，我们可以将每个已知条件与内角和定理结合，通过设未知数或直接代换计算出三角形的最大内角度数，若最大角为90°则该三角形为直角三角形，逐个验证5个条件即可得出答案。
【解析】
根据三角形内角和定理可知：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐个分析条件：
① 已知$∠ A + ∠ B = ∠ C$，代入内角和公式得：$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，故$△ ABC$是直角三角形；
② 已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，故$△ ABC$是直角三角形；
③ 已知$∠ A=∠ B=2∠ C$，设$∠ C=x$，$∠ A=∠ B=2x$，代入得$2x+2x+x=180°$，解得$x=36°$，最大角$∠ A=∠ B=72°＜90°$，故$△ ABC$不是直角三角形；
④ 设$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C=k$，则$∠ A=k$，$∠ B=2k$，$∠ C=3k$，代入得$k+2k+3k=180°$，解得$k=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，故$△ ABC$是直角三角形；
⑤ 已知$∠ A=∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，设$∠ A=∠ B=x$，$∠ C=3x$，代入得$x+x+3x=180°$，解得$x=36°$，最大角$∠ C=108°＞90°$，是钝角三角形，不是直角三角形。
综上，能确定为直角三角形的条件是①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形的判定、角度比例计算
【点评】
本题属于三角形内角和定理的基础应用题型，解题的关键是灵活运用设未知数的方法，结合内角和定理列方程求解角度，再通过最大角的度数判断三角形类型，计算时注意不要混淆各角的比例关系。
【难度系数】
0.7
判断三角形是否为直角三角形的核心依据是三角形内角和为180°，我们可以将每个已知条件与内角和定理结合，通过设未知数或直接代换计算出三角形的最大内角度数，若最大角为90°则该三角形为直角三角形，逐个验证5个条件即可得出答案。
【解析】
根据三角形内角和定理可知：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐个分析条件：
① 已知$∠ A + ∠ B = ∠ C$，代入内角和公式得：$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，故$△ ABC$是直角三角形；
② 已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，故$△ ABC$是直角三角形；
③ 已知$∠ A=∠ B=2∠ C$，设$∠ C=x$，$∠ A=∠ B=2x$，代入得$2x+2x+x=180°$，解得$x=36°$，最大角$∠ A=∠ B=72°＜90°$，故$△ ABC$不是直角三角形；
④ 设$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C=k$，则$∠ A=k$，$∠ B=2k$，$∠ C=3k$，代入得$k+2k+3k=180°$，解得$k=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，故$△ ABC$是直角三角形；
⑤ 已知$∠ A=∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，设$∠ A=∠ B=x$，$∠ C=3x$，代入得$x+x+3x=180°$，解得$x=36°$，最大角$∠ C=108°＞90°$，是钝角三角形，不是直角三角形。
综上，能确定为直角三角形的条件是①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形的判定、角度比例计算
【点评】
本题属于三角形内角和定理的基础应用题型，解题的关键是灵活运用设未知数的方法，结合内角和定理列方程求解角度，再通过最大角的度数判断三角形类型，计算时注意不要混淆各角的比例关系。
【难度系数】
0.7
10.如图,已知∠C=90°,∠1=∠2,则△ADE 是
直角
三角形.答案
10.直角
解析
【分析】
要判断△ADE的形状，需先推导它的内角特征。首先利用Rt△ABC的内角关系，得到∠A与∠2的和为90°，再结合已知∠1=∠2，通过等量代换得到∠A与∠1的和为90°，最后根据三角形内角和定理算出△ADE中∠ADE的度数，即可判断三角形类型。
【解析】
在△ABC中，∠C=90°，由三角形内角和为180°可得：
$∠ A + ∠ 2 = 180° - ∠ C = 180° - 90° = 90°$
∵$∠ 1 = ∠ 2$
∴$∠ A + ∠ 1 = 90°$
在△ADE中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ ADE = 180° - (∠ A + ∠ 1) = 180° - 90° = 90°$
因此△ADE是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形判定
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用三角形内角和定理和已知的等角条件，推导得到三角形的内角为直角，考查基础的角的运算和三角形类型判断能力。
【难度系数】
0.9
要判断△ADE的形状，需先推导它的内角特征。首先利用Rt△ABC的内角关系，得到∠A与∠2的和为90°，再结合已知∠1=∠2，通过等量代换得到∠A与∠1的和为90°，最后根据三角形内角和定理算出△ADE中∠ADE的度数，即可判断三角形类型。
【解析】
在△ABC中，∠C=90°，由三角形内角和为180°可得：
$∠ A + ∠ 2 = 180° - ∠ C = 180° - 90° = 90°$
∵$∠ 1 = ∠ 2$
∴$∠ A + ∠ 1 = 90°$
在△ADE中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ ADE = 180° - (∠ A + ∠ 1) = 180° - 90° = 90°$
因此△ADE是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形判定
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用三角形内角和定理和已知的等角条件，推导得到三角形的内角为直角，考查基础的角的运算和三角形类型判断能力。
【难度系数】
0.9
11.在$△ ABC$中，已知$∠ A=90°$，且$∠ B - ∠ C=20°$，则$∠ C$的度数为
35°
.答案
11.$35°$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。已知△ABC中∠A=90°，可先推出∠B与∠C的和，再结合题目给出的∠B与∠C的差的关系，联立两个角度关系即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵ 三角形内角和为180°，在△ABC中∠A=90°
∴ ∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° - 90° = 90° ①
又已知∠B - ∠C = 20° ②
用①-②可得：
(∠B + ∠C) - (∠B - ∠C) = 90° - 20°
化简得2∠C = 70°
解得∠C = 35°
【答案】
35°
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形内角和的基础考查题，解题核心是利用内角和定理得到未知角的和的关系，结合已知差的关系即可快速求解，是内角和应用的典型基础题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。已知△ABC中∠A=90°，可先推出∠B与∠C的和，再结合题目给出的∠B与∠C的差的关系，联立两个角度关系即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵ 三角形内角和为180°，在△ABC中∠A=90°
∴ ∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° - 90° = 90° ①
又已知∠B - ∠C = 20° ②
用①-②可得：
(∠B + ∠C) - (∠B - ∠C) = 90° - 20°
化简得2∠C = 70°
解得∠C = 35°
【答案】
35°
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形内角和的基础考查题，解题核心是利用内角和定理得到未知角的和的关系，结合已知差的关系即可快速求解，是内角和应用的典型基础题。
【难度系数】
0.9
12.如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC，交AD于点E，若∠C=65°，∠BED=68°，求∠ABC和∠BAC的度数.
答案
12.$∠ABC=44°,∠BAC=71°$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据AD是BC边上的高，得到∠ADB=90°，在Rt△BED中，利用直角三角形两个锐角互余的性质，求出∠EBD的度数；第二步，根据BE是∠ABC的角平分线，可知∠ABC=2∠EBD，由此计算出∠ABC的度数；第三步，利用三角形内角和为180°，结合已知的∠C和求出的∠ABC，计算出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AD是△ABC边BC上的高
∴∠ADB=90°
在Rt△BED中，∠BED=68°
∴∠EBD=90°-∠BED=90°-68°=22°
∵BE平分∠ABC
∴∠ABC=2∠EBD=2×22°=44°
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-44°-65°=71°
【答案】
∠ABC=44°，∠BAC=71°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，解题时需要梳理清楚图中角的位置关系，结合相关性质逐步推导角度，关键是不要混淆各个角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先根据AD是BC边上的高，得到∠ADB=90°，在Rt△BED中，利用直角三角形两个锐角互余的性质，求出∠EBD的度数；第二步，根据BE是∠ABC的角平分线，可知∠ABC=2∠EBD，由此计算出∠ABC的度数；第三步，利用三角形内角和为180°，结合已知的∠C和求出的∠ABC，计算出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AD是△ABC边BC上的高
∴∠ADB=90°
在Rt△BED中，∠BED=68°
∴∠EBD=90°-∠BED=90°-68°=22°
∵BE平分∠ABC
∴∠ABC=2∠EBD=2×22°=44°
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-44°-65°=71°
【答案】
∠ABC=44°，∠BAC=71°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，解题时需要梳理清楚图中角的位置关系，结合相关性质逐步推导角度，关键是不要混淆各个角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
13.如图，在$△ ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$，$P$为$AD$延长线上一点，$PE⊥ BC$，垂足为$E$.已知$∠ ACB=80°$，$∠ B=24°$，求$∠ P$的度数. 
第13题图
第13题图答案
13.$28°$
解析
【分析】
要求∠P的度数，已知PE⊥BC，可得Rt△PED中∠P与∠PDE互余，因此只需先求出∠PDE的度数。∠PDE与∠ADC是对顶角，二者相等，而∠ADC是△ABD的外角，等于∠B与∠BAD的和，因此需要先求出∠BAD的度数。已知AD平分∠BAC，可先利用三角形内角和定理求出∠BAC，再得到∠BAD的度数，逐步推导即可求出∠P。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 180° - 24° - 80° = 76°$
∵AD平分$∠ BAC$
∴$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×76° = 38°$
∵$∠ ADC$是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴$∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD = 24° + 38° = 62°$
∵$∠ PDE$与$∠ ADC$是对顶角
∴$∠ PDE = ∠ ADC = 62°$
∵$PE⊥ BC$，
∴$∠ PED = 90°$
在$Rt△ PED$中，$∠ P + ∠ PDE = 90°$
∴$∠ P = 90° - 62° = 28°$
【答案】
$28°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是通过角平分线、对顶角相等、外角性质等实现已知角和未知角的转化，计算难度不大，掌握角度转化的思路是解题关键。
【难度系数】
0.7
要求∠P的度数，已知PE⊥BC，可得Rt△PED中∠P与∠PDE互余，因此只需先求出∠PDE的度数。∠PDE与∠ADC是对顶角，二者相等，而∠ADC是△ABD的外角，等于∠B与∠BAD的和，因此需要先求出∠BAD的度数。已知AD平分∠BAC，可先利用三角形内角和定理求出∠BAC，再得到∠BAD的度数，逐步推导即可求出∠P。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 180° - 24° - 80° = 76°$
∵AD平分$∠ BAC$
∴$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×76° = 38°$
∵$∠ ADC$是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴$∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD = 24° + 38° = 62°$
∵$∠ PDE$与$∠ ADC$是对顶角
∴$∠ PDE = ∠ ADC = 62°$
∵$PE⊥ BC$，
∴$∠ PED = 90°$
在$Rt△ PED$中，$∠ P + ∠ PDE = 90°$
∴$∠ P = 90° - 62° = 28°$
【答案】
$28°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是通过角平分线、对顶角相等、外角性质等实现已知角和未知角的转化，计算难度不大，掌握角度转化的思路是解题关键。
【难度系数】
0.7
