14. 如图1,在$△ ABC$中,$AD\bot BC,CE\bot AB$,垂足分别为$D,E$.
(1)试猜测$∠ 1$与$∠ 2$的大小关系,并说明理由;
(2)如图2,如果$∠ ABC$是钝角,其余条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.

14.(1)$∠1=∠2$ (2)成立

【分析】
(1)要判断∠1与∠2的大小关系，可先根据垂直的定义得到两个直角，再利用直角三角形两锐角互余的性质，推导∠1和∠2与同一个角的数量关系，结合同角的余角相等即可得出结论。(2)当∠ABC为钝角时，推导思路和第一问类似，只需将公共角替换为相等的对顶角，利用等角的余角相等即可验证结论仍然成立。
【解析】
(1) $∠1=∠2$，理由如下：
∵$AD\bot BC$，$CE\bot AB$，
∴$∠ ADB=∠ CEB=90°$（垂直的定义），
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ 2+∠ B=90°$（直角三角形两锐角互余），
在$\mathrm{Rt}△ CBE$中，$∠ 1+∠ B=90°$（直角三角形两锐角互余），
∴$∠ 1=∠ 2$（同角的余角相等）。
(2) 结论仍然成立，理由如下：
∵$AD\bot BC$，$CE\bot AE$，
∴$∠ D=∠ E=90°$（垂直的定义），
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ 2+∠ ABD=90°$（直角三角形两锐角互余），
在$\mathrm{Rt}△ CBE$中，$∠ 1+∠ CBE=90°$（直角三角形两锐角互余），
又
∵$∠ ABD=∠ CBE$（对顶角相等），
∴$∠ 1=∠ 2$（等角的余角相等）。
【答案】
(1) $∠ 1=∠ 2$；(2) 成立
【知识点】
直角三角形两锐角互余，余角的性质，对顶角的性质
【点评】
本题核心是利用直角三角形的内角性质和余角的性质推导角度相等，解题的关键是找到两个角共同关联的等角，需要注意钝角三角形场景下对顶角相等的运用，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7

15.如图，AD是$△ ABC$的角平分线，E为BC延长线上一点，$EP⊥ AD$，垂足为P.
(1)若$∠ B=35°$，$∠ ACB=85°$，求$∠ E$的度数；
(2)若$∠ ACB - ∠ B=30°$，求$∠ E$的度数.

15.(1)$25°$ (2)$15°$

【分析】
解题思路围绕角度转化展开：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，结合角平分线的定义得到∠BAD的度数；再借助三角形外角的性质求出∠ADC的度数，最后根据直角三角形两锐角互余的性质计算∠E的度数。第二问无需计算具体角度，可通过代数式推导得到∠E与∠B、∠ACB的数量关系，整体代入角度差即可求解。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ ACB=180°-35°-85°=60°$
$\because AD$是$△ ABC$的角平分线
$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$
$\because ∠ ADC$是$△ ABD$的外角，外角等于不相邻两个内角和
$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD=35°+30°=65°$
$\because EP⊥ AD$，$\therefore ∠ DPE=90°$
在$Rt△ DPE$中，两锐角互余，因此：
$∠ E=90°-∠ ADC=90°-65°=25°$
(2) 推导通用关系：
在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ ACB$
$\because AD$是角平分线，$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ ACB)$
由外角性质得：
$∠ ADC=∠ B+∠ BAD=∠ B+\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ ACB)=90°+\frac{1}{2}(∠ B-∠ ACB)$
$\because EP⊥ AD$，$\therefore ∠ E=90°-∠ ADC$
代入化简得：$∠ E=\frac{1}{2}(∠ ACB-∠ B)$
将$∠ ACB-∠ B=30°$代入得：
$∠ E=\frac{1}{2}×30°=15°$
【答案】
(1)$25°$ (2)$15°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础综合题，核心考查角度转化的逻辑能力，解题时灵活结合角平分线、内外角性质即可推导，第二问运用整体代入思想可简化计算，避免不必要的角度运算。
【难度系数】
0.7