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1.（南通中考）如图，在$□ ABCD$中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC=4，∠ABC=60°，若EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F，设BE=x，OE²=y，则y关于x的函数图象大致为（
C
）答案
1. C 解析: 如图
,过点 O 向 AB 作垂线,交 AB 于点 M.∵ AC ⊥ BC, ∠ABC=60°,
∴ ∠BAC=30°.
∵ BC=4,
∴ AB=8,AC=4√3.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AO=1/2 AC=2√3,
∴ OM=1/2 AO=√3,
∴ AM=√(AO²-OM²)=3.
∵ BE = x, OE² = y,
∴ 0 ≤ x＜5 时,EM=AB-AM-BE=8-3-x=5-x;5≤x≤8 时,EM=x-5.
∵ OE²=OM²+EM²,
∴ y=3+(x-5)²,当 0≤x＜5 时,3＜y≤28,当 5≤x≤8 时,3≤y≤12.其图象是二次函数图象的一部分,故选 C.
2.（2026·漯河期末）如图，等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$（$∠ ACB=90°$）的直角边与正方形$DEFG$的边长均为2，且$AC$与$DE$在同一条直线上，开始时，点$C$与点$D$重合，让$△ ABC$沿直线向右平移，直到点$A$与点$E$重合为止。设$CD$的长为$x$，$△ ABC$与正方形$DEFG$重合部分（图中阴影部分）的面积为$y$，则$y$与$x$之间的函数的图象大致是 
答案
2. A 解析: 由题意可知:当点 C 到点 E 时,x=2;当点 A 到点 E 时,x=4;当 0＜x＜2 时,如图
所示,此时阴影部分为直角梯形,设 AB 与 DG 交于点 H,∵ AC = DE = BC = 2, CD = x, △ABC 是等腰直角三角形,
∴ ∠A=45°,AD=AC-CD=2-x,
∴ △ADH 为等腰直角三角形,
∴ DH = AD = 2 - x,
∴ y = CD(DH+BC)/2 = x(2-x+2)/2 = -1/2 x²+2x,对应的函数图象是开口向下的抛物线;当 2 ≤ x≤4 时,如图
所示,此时阴影部分为直角三角形,设 AB 与 EF 交于点 G,∵ AC = DE = 2 , CD = x, △ABC 是等腰直角三角形,
∴ ∠GAE=45°,AE=DE+AC-CD=4-x,
∴ △AEG 为等腰直角三角形,
∴ GE=AE=4-x,
∴ y = AE·GE/2 = (4-x)²/2,对应的函数图象是开口向上的抛物线.综上所述,当 0＜x＜2 时,对应的函数图象是开口向下的抛物线;当 2≤x≤4 时,对应的函数图象是开口向上的抛物线,选项 A 符合题意.
3. 如图①,已知$□ ABCD$的边长$AB=4\sqrt{3}$,$∠ B=30°$,$AE⊥ BC$于点$E$.现将$△ ABE$沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动,运动的$△ ABE$与$□ ABCD$重叠部分的面积$S$与运动时间$t$的函数图象如图②,则当$t$为9时,$S$的值是 (
A.$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$\frac{9\sqrt{3}}{2}$
D.$5\sqrt{3}$
C
)A.$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$\frac{9\sqrt{3}}{2}$
D.$5\sqrt{3}$
答案
3. C 解析:
∵ AB=4√3, ∠B=30°,AE ⊥ BC 于点 E,
∴ AE=2√3,
∴ BE=√(AB²-AE²)=6.由运动的△ABE 与ABCD 重叠部分的面积 S 与运动时间 t 的函数图象得,当运动时间 t≤6 时,重叠部分的面积一直不变,
∴ CE=6,
∴ BC=12;当 t＞6 时,为二次函数图象,且在 t=6 时达到最大值,对称轴为直线 t=6,
∴ 二次函数图象与坐标轴的另一个交点为(0,0),设二次函数的表达式为 S=at(t-12),将点(6,6√3)代入得 a=-√3/6,
∴ S=-√3/6 t(t-12),当 t=9 时,S=9√3/2.故选 C.
∵ AB=4√3, ∠B=30°,AE ⊥ BC 于点 E,
∴ AE=2√3,
∴ BE=√(AB²-AE²)=6.由运动的△ABE 与ABCD 重叠部分的面积 S 与运动时间 t 的函数图象得,当运动时间 t≤6 时,重叠部分的面积一直不变,
∴ CE=6,
∴ BC=12;当 t＞6 时,为二次函数图象,且在 t=6 时达到最大值,对称轴为直线 t=6,
∴ 二次函数图象与坐标轴的另一个交点为(0,0),设二次函数的表达式为 S=at(t-12),将点(6,6√3)代入得 a=-√3/6,
∴ S=-√3/6 t(t-12),当 t=9 时,S=9√3/2.故选 C.
4. (南通中考)如图，$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=15$，$BC=20$.点$D$从点$A$出发沿折线$A-C-B$运动到点$B$停止，过点$D$作$DE ⊥ AB$，垂足为$E$.设点$D$运动的路径长为$x$，$△ BDE$的面积为$y$，若$y$与$x$的对应关系如图所示，则$a-b$的值为 (
A.54
B.52
C.50
D.48
B
)A.54
B.52
C.50
D.48
答案
4. B 解析: 在 Rt△ABC 中,AC=15,BC=20,
∴ AB=25.当 x=10 时,由题意可知,AD=10,CD=5,在 Rt△CDB 中,由勾股定理得 BD²=CD²+BC²=5²+20²=425,设 AE=z,BE=25-z,
∴ BE²=(25-z)²=z²-50z+625,在 Rt△ADE 中,由勾股定理得 DE²=AD²-AE²=100-z²,在 Rt△DEB 中,由勾股定理得 BD²=DE²+BE²,即 425=100-z²+z²-50z+625,解得 z=6,
∴ AE=6,DE=8,BE=19,
∴ a=S△BDE=1/2 ×19×8=76.当 x=25 时,由题意可知,CD=BD=10,设 BE=q,AE=25-q,AE²=(25-q)²=625-50q+q²,在 Rt△CDA 中,由勾股定理得 AD²=AC²+CD²=15²+10²=325,在 Rt△BDE 中,由勾股定理得 DE²=BD²-BE²=100-q²,在 Rt△DEA 中,由勾股定理得 AD²=DE²+AE²,即 325=100-q²+625-50q+q²,解得 q=8,
∴ DE=6,
∴ b=S△BDE=1/2 ×6×8=24,
∴ a-b=76-24=52.
∴ AB=25.当 x=10 时,由题意可知,AD=10,CD=5,在 Rt△CDB 中,由勾股定理得 BD²=CD²+BC²=5²+20²=425,设 AE=z,BE=25-z,
∴ BE²=(25-z)²=z²-50z+625,在 Rt△ADE 中,由勾股定理得 DE²=AD²-AE²=100-z²,在 Rt△DEB 中,由勾股定理得 BD²=DE²+BE²,即 425=100-z²+z²-50z+625,解得 z=6,
∴ AE=6,DE=8,BE=19,
∴ a=S△BDE=1/2 ×19×8=76.当 x=25 时,由题意可知,CD=BD=10,设 BE=q,AE=25-q,AE²=(25-q)²=625-50q+q²,在 Rt△CDA 中,由勾股定理得 AD²=AC²+CD²=15²+10²=325,在 Rt△BDE 中,由勾股定理得 DE²=BD²-BE²=100-q²,在 Rt△DEA 中,由勾股定理得 AD²=DE²+AE²,即 325=100-q²+625-50q+q²,解得 q=8,
∴ DE=6,
∴ b=S△BDE=1/2 ×6×8=24,
∴ a-b=76-24=52.
5. (衡阳中考)如图①,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,P,Q两点同时从O点出发,以1 cm/s的速度在菱形的对角线及边上运动.点P的运动路线为O-A-D-O,点Q的运动路线为O-C-B-O.设运动的时间为x s,P,Q间的距离为y cm,y与x的函数关系的图象大致如图②所示,当点P在AD段上运动且P,Q两点间的距离最短时,P,Q两点的运动路程之和为
2√3+3
cm.答案
5. (2√3+3) 解析: 由题图分析易知,当点 P 从 O→A 运动,点 Q 从 O→C 运动时,y 不断增大,当点 P 运动到 A 点,点 Q 运动到 C 点时,由图象知此时 y = PQ = 2√3 cm,
∴ AC=2√3 cm.
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ AC ⊥ BD, OA = OC = 1/2 AC=√3 cm.当点 P 运动到 D 点,点 Q 运动到 B 点时,结合图象,易知此时 y=BD=2 cm,
∴ OD=OB=1/2 BD=1 cm,
∴ 在 Rt△ADO 中,AD=√(OA²+OD²)=√((√3)²+1²)=2(cm),
∴ AD=AB=BC=DC=2 cm.如图
,当点 P 在 AD 段上运动,点 P 运动到点 E 处,点 Q 在 CB 段上运动,点 Q 运动到点 F 处时,P,Q 两点间的距离最短,此时 OE = OF = OA·OD / AD = √3/2 cm,AE=CF=√(OA²-OE²)=3/2 cm,此时 P,Q 两点的运动路程之和为 (√3 + 3/2)×2=(2√3+3)cm.