11. 请看下面的问题:把$x^4+4$分解因式.
分析:这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢?
19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项,而且属于平方和$(x^2)^2+2^2$的形式,要使用公式就必须添一项$4x^2$,随即将此项$4x^2$减去,即可得$x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$.
人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法,就把它称为“热门定理”,请你依照苏菲·热门的做法,将下列各式因式分解.
(1)$4x^4+y^4$;
(2)$x^2-2ax-b^2-2ab$.

11.(1)$原式=4x^4+y^4+4x^2y^2-4x^2y^2=(2x^2+y^2)^2-4x^2y^2=(2x^2+y^2+2xy)(2x^2+y^2-2xy).$
(2)$原式=x^2-2ax+a^2-a^2-b^2-2ab=(x-a)^2-(a+b)^2=(x+b)(x-2a-b).$

12. 当$a,b$为何值时,方程$x^2+2(1+a)x+(3a^2+4ab+4b^2+2)=0$有实数根？

12.要使方程有实数根,则$\Delta≥0$,即$(2+2a)^2-4(3a^2+4ab+4b^2+2)≥0$,整理,得$(a+2b)^2+(a-1)^2≤0,\therefore$ 当$\begin{cases}a-1=0,\\a+2b=0\end{cases}$时,等号成立.故当$a=1,b=-\dfrac{1}{2}$时,方程有实数根.

13. 已知$(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)$是完全平方式，求证：$a=b=c$.

13.整理已知代数式,得原式$=3x^2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc.$$\because$ 它是完全平方式,$\therefore$ 关于$x$的方程$3x^2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc=0$的根的判别式$\Delta=0$,即$4(a+b+c)^2-12(ab+ac+bc)=0,\therefore 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0,\therefore (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0.$要使等式成立,则$\begin{cases}a-b=0,\\b-c=0,\\c-a=0,\end{cases}$即$a=b=c.$