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6 如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，就称这个矩形为黄金矩形。若矩形ABCD为黄金矩形，宽$AD=2$，则长$AB$为（
A.2
B.4
C.$\sqrt{5}+1$
D.$\sqrt{5}-1$
C
）A.2
B.4
C.$\sqrt{5}+1$
D.$\sqrt{5}-1$
答案
C
7 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比. 如图，B为AC的黄金分割点(AB＞BC)，若AC＝100 cm，则BC的长为 (
A.$(150-50\sqrt{5})\mathrm{cm}$
B.$(100\sqrt{5}-100)\mathrm{cm}$
C.$(50\sqrt{5}-50)\mathrm{cm}$
D.$(50\sqrt{5}+50)\mathrm{cm}$
A
)A.$(150-50\sqrt{5})\mathrm{cm}$
B.$(100\sqrt{5}-100)\mathrm{cm}$
C.$(50\sqrt{5}-50)\mathrm{cm}$
D.$(50\sqrt{5}+50)\mathrm{cm}$
答案
A
8 如图，在五角星中，$AD=BC$，$C$，$D$都是$AB$的黄金分割点，且$AB=3$，则$CD=$
$3\sqrt{5}-6$
。答案
$3\sqrt{5}-6$
9 如图,以线段 AB 为一边作正方形 ABCD,取 AD 的中点 E,连结 EB,延长 DA 到点 F,使 EF = EB,以线段 AF 为一边作正方形 AFGH,点 H 在边 AB 上.试判断 H 是否为线段 AB 的黄金分割点,并说明理由.
答案
是 理由:设正方形ABCD的边长为2a.因为四边形ABCD是正方形,所以∠DAB=90°,AD=AB=2a.因为E是AD的中点,所以AE = 1/2 AD = a. 在Rt△AEB中, EB = √(AB²+AE²)=√5 a.因为四边形AFGH是正方形,EF=EB,所以AH=AF=EF-AE=EB-AE=(√5-1)a.所以HB=AB-AH=(3-√5)a,AH²=(6-2√5)a².所以AB·HB=2a×(3-√5)a=(6-2√5)a².所以AH²=AB·HB,即$\frac{AH}{AB}=\frac{HB}{AH}$.所以H是线段AB的黄金分割点.
10 阅读下面的材料,并解答问题.
小明参加了一次折纸活动,折叠步骤如下:
第一步:在一张宽为2的矩形纸片的一端,利用如图①所示的方法折叠出一个正方形.
第二步:如图②,把纸片展平,将图①中的正方形折成两个相等的矩形.
第三步:把纸片展平,折出图②中内侧矩形的对角线AB,并将AB折到如图③所示的AD处.
第四步:展平纸片,按照所得的点D画出如图④所示的矩形BCDE.
已知矩形BCDE为黄金矩形,你能给出证明吗(注:当矩形的宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时,称这个矩形为黄金矩形)?
小明参加了一次折纸活动,折叠步骤如下:
第一步:在一张宽为2的矩形纸片的一端,利用如图①所示的方法折叠出一个正方形.
第二步:如图②,把纸片展平,将图①中的正方形折成两个相等的矩形.
第三步:把纸片展平,折出图②中内侧矩形的对角线AB,并将AB折到如图③所示的AD处.
第四步:展平纸片,按照所得的点D画出如图④所示的矩形BCDE.
已知矩形BCDE为黄金矩形,你能给出证明吗(注:当矩形的宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时,称这个矩形为黄金矩形)?
答案
在题图③中,由题意可知,$AC=\frac{1}{2}NC=\frac{1}{2}MN=1$. 在Rt△ABC中,因为BC=2,AC=1,所以$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5}$. 因为AD=AB=√5,所以$CD=AD-AC=\sqrt{5}-1$. 所以$\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. 所以矩形BCDE为黄金矩形
