登录
1. 比例中项:一般地,如果三个数$a,b,c$满足比例式$\frac{a}{b}=\_\_\_\_\_\_⇔\frac{a}{b}=\frac{b}{c}.$
答案
$\frac{b}{c}$
2. 黄金分割:如图,如果点P把线段AB分成两条线段
AP和PB,使AP＞PB,且$\frac{PB}{AP}=$,那么称线段AB被点P黄金分割,点P叫作线段AB的,所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫作,即$\frac{AP}{AB}=$(保留根号)≈.
AP和PB,使AP＞PB,且$\frac{PB}{AP}=$,那么称线段AB被点P黄金分割,点P叫作线段AB的,所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫作,即$\frac{AP}{AB}=$(保留根号)≈.答案
$\frac{AP}{AB}$，点P叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AP与整条线段AB的比叫作黄金比，即$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$
1 教材变式题 若线段$a=2,b=8$,则$a,b$的比例中项线段等于 （
A.10
B.5
C.4
D.$\sqrt{10}$
C
）A.10
B.5
C.4
D.$\sqrt{10}$
答案
C
2 新情境 生活实际 [2026金华义乌期中]玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的声音。实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音。若$AB=8\ \mathrm{cm}$，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC为（
A.$(4 - 2\sqrt{5})\mathrm{cm}$
B.$(4\sqrt{5} - 4)\mathrm{cm}$
C.$(4\sqrt{5} + 4)\mathrm{cm}$
D.$(4 - 4\sqrt{5})\mathrm{cm}$
B
）A.$(4 - 2\sqrt{5})\mathrm{cm}$
B.$(4\sqrt{5} - 4)\mathrm{cm}$
C.$(4\sqrt{5} + 4)\mathrm{cm}$
D.$(4 - 4\sqrt{5})\mathrm{cm}$
答案
B
3 [2026杭州期中]已知C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC。若AB=2，则AC=
$\sqrt{5}-1$
。答案
$\sqrt{5}-1$
4 已知线段AB及AB上一点P，给出下列关系：① $AP^2 = AB · PB$；② $AP = \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$；③ $PB = \frac{3-\sqrt{5}}{2}AB$；④ $\frac{AP}{PB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$；⑤ $\frac{AB}{AP} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$。其中，能使P为线段AB的黄金分割点的为
①②③④
（填序号）。答案
①②③④
5（1）已知$a=4,c=9$，若$b$是$a,c$的比例中项，求$b$的值；
（2）已知$MN$是线段$AB,CD$的比例中项线段，$AB=4\ \mathrm{cm},CD=5\ \mathrm{cm}$，求$MN$的长；
（3）（1）（2）两题有何区别？
（2）已知$MN$是线段$AB,CD$的比例中项线段，$AB=4\ \mathrm{cm},CD=5\ \mathrm{cm}$，求$MN$的长；
（3）（1）（2）两题有何区别？
答案
5. (1) 因为b是a,c的比例中项,所以a:b=b:c.所以b²=ac,则b=±√ac.因为a=4,c=9,所以b=±√36=±6
(2) 因为MN是线段,所以MN＞0.因为MN是线段AB,CD的比例中项线段,所以MN²=AB·CD.所以MN=√(AB·CD).因为AB=4 cm,CD=5 cm,所以MN=√20=2√5(cm)
(3) 通过(1)(2)的解答过程发现,b,MN同时作为比例中项出现,b可以取负值,而线段MN的长不可以取负值
(2) 因为MN是线段,所以MN＞0.因为MN是线段AB,CD的比例中项线段,所以MN²=AB·CD.所以MN=√(AB·CD).因为AB=4 cm,CD=5 cm,所以MN=√20=2√5(cm)
(3) 通过(1)(2)的解答过程发现,b,MN同时作为比例中项出现,b可以取负值,而线段MN的长不可以取负值
