1. 小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度.测量时,使直角边DE保持水平状态,其延长线交AB于点G,使斜边DF与点A在同一条直线上.测得边DE离地面的高度GB为1.4 m,点D到AB的距离DG为6 m(如图).已知DE=30 cm,EF=20 cm,则树AB的高度为 ()

A.4 m
B.5.4 m
C.9 m
D.10.4 m

1.B

2. 西安莲湖区模拟 母题·教材$\mathrm{P}_{85}$例6 如图，数学兴趣小组学生测量小山坡上一棵大树$CD$的高度，山坡$OM$与地面$ON$的夹角$∠ MON=30°$，站立在水平地面上，身高1.5米的小明，在地面上的影长$BP$为1米，此刻大树$CD$在斜坡上的影长$DQ$为4米，则大树的高度是米。

2.$(3\sqrt{3}+2)$ 【点拨】如图，过点 Q 作 $QE ⊥ CD$ 于点 E，
$\therefore EQ// ON. \therefore ∠ 2 = ∠ 1 = 30°.$
$\because DQ=4$ 米, $\therefore DE=\frac{1}{2}DQ=2$ 米.
$\therefore EQ=\sqrt{DQ^2-DE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$(米), 由题意易得 $△ ABP ∽ △ CEQ, \therefore \frac{AB}{CE}=\frac{BP}{EQ}$, 即 $\frac{1.5}{CE}=\frac{1}{2\sqrt{3}}. \therefore CE=3\sqrt{3}$ 米.
$\therefore CD=CE+DE=(3\sqrt{3}+2)$ 米, 即大树的高度是 $(3\sqrt{3}+2)$ 米.

3. 如图,为了测量一池塘的宽 DE,在岸边找到一点 C,测得 CD=30 m,在 DC 的延长线上找一点 A,测得 AC=5 m,过点 A 作 AB//DE,交 EC 的延长线于点 B,测出 AB=8 m,则池塘的宽 DE 为()

A.32 m
B.36 m
C.48 m
D.56 m

(第3题) (第4题)

3.C

4.[宁波模拟] 如图,这是一个常见的铁夹的剖面图,OA,OB表示铁夹的剖面的两条边,点C是转动轴的位置,CD⊥OA,垂足为D,DA=15 mm,DO=24 mm,DC=10 mm,且铁夹的剖面图是轴对称图形,则A,B两点间的距离为（）

A.30 mm
B.32.5 mm
C.60 mm
D.65 mm

4.A 【点拨】如图,连结 AB,OC,延长 OC 交 AB 于点 H,
在 $\mathrm{Rt}△ OCD$ 中, $OC=\sqrt{CD^2+OD^2}=26$ mm. $\because$ 铁夹的剖面图是轴对称图形, $\therefore CH ⊥ AB, AH=BH.$
$\therefore ∠ AHC=∠ CDO=90°.$ 又 $\because ∠ DOC=∠ HOA,$
$\therefore △ OCD ∽ △ OAH. \therefore \frac{CD}{AH}=\frac{OC}{OA}$, 即 $\frac{10}{AH}=\frac{26}{15+24}$,
解得 $AH=15$ mm. $\therefore AB=2AH=30$ mm.

5. 如图,不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时,另一端B到地面的高度为60 cm;当AB的一端B碰到地面时,另一端A到地面的高度为90 cm,则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是 ()

A.36 cm
B.40 cm
C.42 cm
D.45 cm
(第5题)

5.A 【点拨】如图①,过点 B 作 $BC ⊥ AH$, 垂足为 C.
$\because OH ⊥ AC, BC ⊥ AC, \therefore ∠ AHO=∠ ACB=90°.$ 又 $\because ∠ BAC=∠ OAH, \therefore △ AOH ∽ △ ABC. \therefore \frac{OH}{BC}=\frac{AO}{AB}.$
$\therefore \frac{OH}{60}=\frac{AO}{AB};$
如图②,过点 A 作 $AD ⊥ BH$, 垂足为 D.
$\because OH ⊥ BD, AD ⊥ BD, \therefore ∠ OHB=∠ ADB=90°.$ 又 $\because ∠ ABD=∠ OBH, \therefore △ OBH ∽ △ ABD. \therefore \frac{OH}{AD}=\frac{OB}{AB}.$
$\therefore \frac{OH}{90}=\frac{OB}{AB}. \therefore \frac{OH}{60}+\frac{OH}{90}=\frac{AO}{AB}+\frac{OB}{AB}. \therefore \frac{OH}{60}+\frac{OH}{90}=\frac{AB}{AB}=1$, 解得 $OH=36$ cm. $\therefore$ 跷跷板 AB 的支撑点 O 到地面的高度 OH 是 36 cm. 故选 A.

6. 新趋势跨学科 如图，这是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像.若蜡烛的高AB为5.4 cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6 cm，该凸透镜的焦距OF为10 cm，AE//OF，则像CD的高为（）

A.15 cm
B.14.4 cm
C.13.5 cm
D.9 cm

6.C 【点拨】由题意得,$AB// MN,AE// OF,AB// CD$,
$\therefore$ 四边形 ABOE 是平行四边形. $\therefore AE=OB=6$ cm.
$\because AE// OF, \therefore △ CAE ∽ △ COF. \therefore \frac{CA}{CO}=\frac{AE}{OF}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$
$\therefore \frac{OA}{CO}=\frac{2}{5}. \because AB// CD, \therefore △ OAB ∽ △ OCD. \therefore \frac{AB}{CD}=\frac{OA}{CO}.$
$\therefore \frac{5.4}{CD}=\frac{2}{5}. \therefore CD=13.5$ cm. $\therefore$ 像 CD 的高是 13.5 cm.

7. [新考向数学文化]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形ABCD的边AD，AB的中点，EM⊥AD，FN⊥AB，EF过点A，且ME＝100步，NF＝225步，那么该正方形城邑的边长AD为（）

A.300步
B.260步
C.225步
D.185步
（第7题）

7.A 【点拨】 $\because EM ⊥ AD, FN ⊥ AB, \therefore ∠ EMA=∠ ANF=90°.$ 在正方形 ABCD 中, $∠ MAN=90°, EF$ 过点 A,易得 $∠ F=∠ EAM. \therefore △ AME ∽ △ FNA. \therefore \frac{AM}{FN}=\frac{ME}{NA}.$ 设 $AD=2a$, $\because M, N$ 分别是正方形 ABCD 的边 AD,AB 的中点, $\therefore AM=AN=a. \because ME=100$ 步, $NF=225$ 步, $\therefore \frac{a}{225}=\frac{100}{a}$, 即 $a^2=100 × 225$, 解得 $a=150$(负值已舍去). $\therefore$ 正方形城邑的边长 $AD=2a=300$ 步. 故选 A.

8. 多层等腰三角形货架的截面图如图所示，AB=100 cm，BC=160 cm，每相邻两层之间的高度为10 cm，且每层货架中间部分被设计出截面为正方形的小长方体隔间.
(1)货架第一层与第二层之间的隔板MN的长度为 cm；
(2)若第n层仍能设计出长方体隔间，则n的最大值为.

8.(1)$\frac{400}{3}$ (2)5 【点拨】(1)过点 A 作 $AD ⊥ BC$ 于点 D, 交 MN 于点 E, 则 $AE ⊥ MN. \because AB=AC, BC=160$ cm, $\therefore BD=CD=80$ cm. 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中, 根据勾股定理得 $AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=60$ cm. $\because$ 每相邻两层之间的高度为 10 cm, $\therefore AE=50$ cm. $\because MN // BC, \therefore △ AMN ∽ △ ABC. \therefore \frac{MN}{BC}=\frac{AE}{AD}$, 即 $\frac{MN}{160}=\frac{50}{60}$, 解得 $MN=\frac{400}{3}$ cm, 即货架第一层与第二层之间的隔板 MN 的长度为 $\frac{400}{3}$ cm.
(2)由(1)知 $AD=60$ cm, 每相邻两层之间的高度为 10 cm, $\therefore n$ 的最大值为 5.