1. 计算：$\frac{\sqrt{6} + 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{(\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$

【解】原式=$\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{3})+3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$ = $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$ + $\frac{3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$ =$\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3}$=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
点方法 根据“提示”,将原式的分子拆项变形,从而把原式变为两个式子的和,再约分、分母有理化。

2. 化简：$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}+1}$

【解】设原式=$\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{2}+1)}$=$x$,
则$\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1=\sqrt{3}-1$.
$\therefore x=\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$,即原式=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。
点方法 原式表面看上去无法化简,分子、分母变形后取倒数,便可化简,注意最后还要取倒数还原得最终结果。

3.计算：$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2+\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}}$

【解】原式=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}(\sqrt{2}+\sqrt{3})}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{5})}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$。

4. 已知$n=\sqrt{2}+1$，求$\frac{n+2+\sqrt{n^2 -4}}{n+2-\sqrt{n^2 -4}} + \frac{n+2-\sqrt{n^2 -4}}{n+2+\sqrt{n^2 -4}}$的值。

【解】设$x=n+2+\sqrt{n^2 -4},y=n+2-\sqrt{n^2 -4}$,
则$x+y=2n+4,xy=4n+8$.
$\therefore$原式=$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}=\frac{(x+y)^2}{xy}-2=\frac{(2n+4)^2}{4n+8}-2=n$.
当$n=\sqrt{2}+1$时,原式=$\sqrt{2}+1$.
点方法 原式中的分子、分母比较复杂,可以通过换元简化运算。

5. 母题教材P₁₆复习题T₁₁ 实数a,b,c在数轴上的对应点表示出来如图所示：

(1)化简：$\sqrt{b^2} - \sqrt{(c+a)^2} + \sqrt{(b-a)^2}$；
(2)已知$a=2^{-1}, b=1-\sqrt{2}, c=-\frac{3}{2}$，求$\sqrt{b^2} - \sqrt{(c+a)^2} + \sqrt{(b-a)^2}$的值。

【解】(1)由数轴得$c＜-1＜b＜0＜a＜1$,
$\therefore a+c＜0,b-a＜0$,
$\therefore \sqrt{b^2}-\sqrt{(c+a)^2}+\sqrt{(b-a)^2}=|b|-|c+a|+|b-a|=-b+a+c+a-b=2a-2b+c$.
(2)$\because a=2^{-1}=\frac{1}{2},b=1-\sqrt{2},c=-\frac{3}{2}$,
$\therefore$原式=$2a-2b+c=2×\frac{1}{2}-2(1-\sqrt{2})-\frac{3}{2}=2\sqrt{2}-\frac{5}{2}$.
点方法 数形结合法化简二次根式时一般是与数轴结合,先根据字母表示的点在数轴上的位置确定该字母的值或取值范围,再进行化简。

6. ★★ 已知$m$是正整数，$a=\dfrac{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}$，$b=\dfrac{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}}$，$a+b+3ab=2029$，则$m$的值为。

506 【点 拨】 $\because a = \frac{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}=\frac{(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})^2}{(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})}= m + 1 + m - 2\sqrt{m(m+1)}$, $b = \frac{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}}=\frac{(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})^2}{(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})}=m+1+m+2\sqrt{m(m+1)}$
$\therefore a+b=4m+2,ab=1$. 又$\because a+b+3ab=2\ 029$
$\therefore 4m+2+1×3=2\ 029$,解得$m=506$.
点技巧 当二次根式出现在分母中时,可通过分母有理化的方法进行化简:1. 若分母是单项二次根式可利用$\sqrt{a}·\sqrt{a}=a$来进行分母有理化;2. 若分母是非单项二次根式,则可以利用平方差公式来进行分母有理化。

7. [上海黄浦区期中]已知$a+b=3,ab=1$，且$a＞b$，求$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的值。

【解】$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{a-b}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}$.
$\because a+b=3,\therefore (a+b)^2=9,\therefore (a-b)^2+4ab=9$.
$\because ab=1,\therefore (a-b)^2=5$.
又$\because a＞b,\therefore a-b=\sqrt{5}$. $\therefore$原式=$\frac{3-2}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.