1. ，△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，作CE⊥BD的延长线于点E，求证：BD=2CE.

1. 如图,延长CE,BA相交于点F.
∵ BD平分∠ABC,
∴ ∠ABE=∠EBC.
∵ BE⊥CE,
∴ ∠BEF=∠BEC=90°,
∴ ∠BCE=∠F,
∴ BF=BC,即△BCF是等腰三角形,
∴ BE是边CF上的中线,
∴ CE=EF.
∵ ∠EBF+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°,
∴ ∠EBF=∠ACF.在△ABD 和 △ACF 中, $\begin{cases} ∠DBA=∠FCA, \\ AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAF, \end{cases}$
∴ △ABD ≌ △ACF(ASA),
∴ BD=CF=2CE.

2. 如图，在$△ ABC$中，$BC=10$，$AC-AB=4$，$AD$是$∠ BAC$的平分线，$CD ⊥ AD$，求$S_{△ BDC}$的最大值.

2. 如图,延长AB,CD交于点E.
∵ AD平分∠BAC,
∴ ∠CAD=∠EAD.
∵ CD⊥AD,
∴ ∠ADC=∠ADE=90°,
∴ ∠ACE=∠E,
∴ AC=AE,即△ACE是等腰三角形,
∴ AD为CE边上的中线,
∴ DE=CD.
∵ AC-AB=4,
∴ AE-AB=4,即BE=4.
∵ DE=DC,
∴ $S_{△BDC}=\frac{1}{2}S_{△BEC}$,
∴ 当BE⊥BC时,$S_{△BDC}$最大,即$S_{△BDC}$的最大值为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×10×4=10$.

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=3∠ C$,$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$,$BE ⊥ AE$于点$E$.求证:$BE=\dfrac{1}{2}(AC-AB)$.

3. 如图,延长BE交AC于点F.
∵ BF⊥AD,
∴ ∠AEB=∠AEF=90°.
∵ AD平分∠BAC,
∴ ∠BAE=∠FAE,
∴ ∠ABF=∠AFB,
∴ AB=AF,即△AFB为等腰三角形,
∴ AE是BF边的中线,
∴ BE=EF.
∵ ∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF,∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C,
∴ ∠C+2∠CBF=3∠C,
∴ ∠CBF=∠C,
∴ BF=CF,
∴ $BE=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}CF$.
∵ CF=AC-AF=AC-AB,
∴ $BE=\frac{1}{2}(AC-AB)$.