1. ★★★ 如图,在△ABC中,∠BAC=2∠C,AC=2AB. 求证:∠B=90°.

1. 作AD平分∠BAC,交BC于点D,连结D与AC的中点E.
∵ ∠BAC=2∠C,AC=2AB,
∴ ∠BAD=∠EAD=∠C,AB=AE=EC.在△ABD与△AED中，$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAD=∠EAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴ △ABD≌△AED(SAS),
∴ ∠B = ∠AED. 在△DAC 中, ∠EAD = ∠C,
∴ △DAC为等腰三角形.
∵ DE为AC边的中线,等腰三角形三线合一,
∴ DE⊥AC,
∴ ∠AED=90°,
∴ ∠B=∠AED=90°.

2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=2∠ C$,猜想并证明$AC$与$2AB$之间的大小关系.

2. 2AB＞AC.证明如下:如图,延长CB到点D,使DB=AB,连结AD.
∵ 在△ABD 中,AB=BD,
∴ ∠BAD=∠D.
∵ ∠ABC是△ABD的外角,
∴ ∠ABC=2∠D.
∵ ∠ABC=2∠C,
∴ ∠C=∠D,
∴ AD=AC.在△ABD中,AB+BD＞AD=AC,即2AB＞AC.

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=2∠ C$,AD是$∠ BAC$的平分线.求证:$AC=AB+BD$.

3. 如图,延长CB至点E,使BE=BA,连结AE,则∠E=∠EAB.
∵ ∠ABC=∠E+∠EAB,
∴ ∠ABC=2∠E.又
∵ ∠ABC=2∠C,
∴ ∠C=∠E,
∴ AC=AE,∠ADB=∠DAC+∠C=∠DAC+∠EAB.又
∵ ∠DAB=∠DAC,
∴ ∠ADB=∠EAB+∠BAD=∠EAD,
∴ AE=DE,
∴ AC=EB+BD=AB+BD.