1. (2026·杭州期末)已知直线 $ l_1: y=\frac{1}{2}x -2 $ 与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,如图①,将直线沿x轴翻折,得到一个新函数的图象 $ l_2 $,直线 $ l_2 $ 与y轴相交于点C.
(1)求新函数的图象 $ l_2 $ 的表达式.
(2)在射线AC上有一动点D(x,y),连结BD,试求△BAD的面积S关于x的函数表达式,并写出自变量的取值范围.
(3)如图②,过点E(2,-6)作平行于y轴的直线EF.
①求证:△ABE是等腰直角三角形.
②将直线 $ l_1 $ 沿y轴方向平移(平移后不与原直线重合),若直线 $ l_1 $ 与x轴相交于点 $ A_1 $,与y轴相交于点 $ B_1 $,其中点 $ A_1 $ 在EF右侧,点 $ B_1 $ 在EF左侧,则在直线EF上是否存在点P,使得△ $ A_1B_1P $ 是等腰直角三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)
∵ $ y=\frac{1}{2}x-2 $,当x=0时,y=-2,当y=0时,x=4,
∴ A(4,0),B(0,-2).
∵ 将直线沿x轴翻折,得到一个新函数的图象$ l_2 $,直线$ l_2 $与y轴交于点C,
∴ 点C与点B关于x轴对称,$ l_2 $过点A,
∴ C(0,2).设$ l_2:y=kx+2 $,将A(4,0)代入,得 $ k=-\frac{1}{2} $,
∴ $ l_2:y=-\frac{1}{2}x+2 $.
(2)
∵ A(4,0),B(0,-2),C(0,2),
∴ BC=4,OA=4,
∴ $ S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×4=8 $.①当点D在线段AC上,即0≤x＜4时,$ S=S_{△ABC}-S_{△DBC}=8-\frac{1}{2}×4x=8-2x $;
②如图②,当点D在线段AC的延长线上,即x＜0时,$ S=S_{△ABC}+S_{△DBC}=8+\frac{1}{2}×4(-x)=8-2x $.综上,$ S=8-2x(x≤4) $.
(3)①
∵ A(4,0),B(0,-2),E(2,-6),
∴ $ AB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5} $,$ AE=\sqrt{(4-2)^2+6^2}=2\sqrt{10} $,$ BE=\sqrt{2^2+(-6+2)^2}=2\sqrt{5} $,
∴ AB=BE,$ AB^2+BE^2=40=AE^2 $,
∴ △ABE是等腰直角三角形.
②存在.点P的坐标为(2,2)或(2,-2). 解析:当点P为直角顶点时,设P(2,n),
∵ 直线$ A_1B_1 $是由直线$ l_1 $平移得到的,
∴ 设直线$ A_1B_1 $的表达式为$ y=\frac{1}{2}x+b $,当x=0时,y=b,当y=0时,x=-2b,
∴ $ A_1(-2b,0) $,$ B_1(0,b) $.过点$ B_1 $作$ B_1G⊥EF $于点G,设EF交x轴于点H,
∵ $ △A_1B_1P $为等腰直角三角形,$ EF// y $轴,
∴ $ ∠A_1PB_1=∠B_1GP=∠PHA_1=90° $,$ PB_1=PA_1 $,$ B_1G=2 $,
∴ $ ∠1=∠2=90°-∠A_1PH $,
∴ $ △PA_1H≅△B_1PG $,
∴ $ PH=B_1G=2 $,$ A_1H=PG $,
∴ $ |n|=2 $,$ |b-n|=|-2b-2| $,
∴ 当n=2时,b=-4或b=0,当n=-2时,$ b=-\frac{4}{3} $或b=0.
∴ P(2,2)或P(2,-2);当点$ A_1 $为直角顶点时,此时$ A_1 $在x轴正半轴上,$ B_1 $在y轴负半轴上,,设平移后的表达式为$ y=\frac{1}{2}x+m $,当x=0时,y=m,当y=0时,x=-2m,
∴ $ A_1(-2m,0) $,$ B_1(0,m) $.同理可得$ △A_1OB_1≅△PHA_1 $,
∴ $ PH=OA_1=-2m $,$ A_1H=OB_1=-m $,
∴ $ OH=-2m-(-m)=2 $,解得m=-2.当m=-2时,$ A_1(4,0) $与A点重合,不符合题意.综上,存在符合条件的点P,点P坐标为P(2,2)或P(2,-2).

2. ★★ (2026·杭州月考)如图,在平面直角坐标系中,$A(2,0),B(0,6)$.
(1)如图①,过A,B两点作直线AB,求直线AB的表达式;
(2)如图②,点C在x轴负半轴上,$C(-6,0)$,点P为直线BC上一点,若$S_{△ ABC}=2S_{△ ABP}$,求满足条件的点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,点E在直线BC上,点F在y轴上,当$△ AEF$为一个等腰直角三角形时,请你直接写出点E的坐标.

(1)设直线AB的表达式为y=kx+b,
∵ B(0,6),
∴ b=6.将A(2,0)代入y=kx+6中,解得k=-3,故直线AB的表达式为y=-3x+6.
(2)
∵ 直线BC过点B(0,6),C(-6,0),
∴ $ l_{BC}:y=x+6 $,①当点P在线段BC上时,
∵ $ S_{△ABC}=2S_{△ABP} $,
∴ $ S_{△ABC}=2S_{△ACP} $,
∴ $ y_P:y_B=1:2 $.
∵ $ y_B=6 $,
∴ $ y_P=3 $,
∴ P(-3,3).
②当点P在线段CB延长线上时,同理:$ S_{△ABC}=\frac{2}{3}S_{△ACP} $,则$ y_P:y_B=3:2 $,
∴ $ y_P=9 $,
∴ P(3,9).
综上,点P坐标为(-3,3)或(3,9).
(3)点E坐标为(-3,3)或(-4,2)或(-8,-2). 解析:
∵ F在y轴上,
∴ 设F(0,n).由(2)知$ l_{BC}:y=x+6 $,
∴ 设E(m,m+6).
∵ △AEF为等腰直角三角形,
∴ 存在三种情况:①$ AE_1=AF_1 $,$ ∠E_1AF_1=90° $,
∴ $ ∠E_1AH+∠F_1AG=90° $.所示,过点$ E_1 $作$ E_1H// x $轴,过点A作$ GH⊥x $轴交$ E_1H $于点H,作$ F_1G// x $轴,交HG于点G,
∴ $ ∠H=90°,∠G=90° $,
∴ $ ∠HE_1A+∠HAE_1=90° $,
∴ $ ∠HE_1A=∠GAF_1 $.
∵ $ AE_1=AF_1 $,
∴ $ △AE_1H≅△F_1AG $(AAS),
∴ $ E_1H=AG,AH=F_1G $.
∵ $ E_1(m,m+6) $,
∴ $ E_1H=x_A-x_{E_1}=2-m,AG=-n,AH=m+6,AH=x_A=2 $,
∴ m+6=2,
∴ m=-4,
∴ $ E_1(-4,2) $;
如图②所示,过点A作$ LK// y $轴,作$ E_2L⊥LK $于点L,$ F_2K⊥LK $于点K,同理可证$ △E_2LA≅△AKF_2 $(AAS),
∴ $ LE_2=AK,LA=F_2K $,且$ LE_2=2-m,F_2K=2,AL=-m-6 $,
∴ 2=-m-6,解得m=-8,
∴ $ E_2(-8,-2) $.
②当$ AE_3=E_3F_3 $,$ ∠AE_3F_3=90° $时,所示,过点$ E_3 $作$ E_3M// y $轴,交x轴于点M,作$ F_3N// x $轴,交$ E_3M $于点N,
∵ $ AE_3=E_3F_3,∠AE_3F_3=90°,∠N=∠NMA=90° $,同理可证$ △F_3NE_3≅△E_3MA $(AAS),
∴ $ AM=E_3N,F_3N=E_3M $.
∵ $ AM=2-m,E_3M=m+6,E_3N=n-m-6,NF_3=-m $,
∴ -m=m+6,解得m=-3,
∴ $ E_3(-3,3) $;
③当$ ∠AF_4E_4=90°,AF_4=E_4F_4 $时,如图④所示,作$ F_4P// x $轴,$ E_4P⊥PQ $于点P,$ AQ⊥PQ $于点Q,
∵ $ ∠AF_4E_4=90°,AF_4=E_4F_4 $,
∴ 同理可证$ △F_4PE_4≅△AQF_4 $(AAS),
∴ $ PF_4=AQ,PE_4=F_4Q $.
∵ $ PF_4=-m,AQ=n,PE_4=n-m-6 $,
∴ $ \begin{cases} n-m-6=2, \\ n=-m, \end{cases} $,解得$ \begin{cases} m=-4, \\ n=4, \end{cases} $,
∴ $ E_4(-4,2) $.
综上所述,点E坐标为(-3,3)或(-4,2)或(-8,-2).