3. ★★★|新定义（2026·宁波期末）在平面直角坐标系中，有$A(m,0),B(0,n)$两点，若存在点$C$使得$∠ ABC=90°$,且$AB=BC$,则称点$C$为$m$的“等垂点”.例如:在$A(1,0),B(0,1),C(-1,0)$三点中,因为$∠ ABC=90°$,且$AB=BC$,所以点$C$为1的“等垂点”.
(1)①点$A(2,0),B(0,2)$,则$C(2,4)$2的“等垂点”.(填“是”或“不是”)
②如图①,若点$A(4,0),B(0,3)$,点$C$是4的“等垂点”,则点$C$的坐标为.
(2)如图②,若一次函数$y=3x-5$上存在5的“等垂点”,求5的“等垂点”$C$的坐标.
(3)若在直线$y=kx+b(k＞0)$上存在无数个5的“等垂点”,且直线$y=kx+b(k＞0)$与$x$轴交于点$E$,与$y$轴交于点$F$,点$M$在线段$EF$上,点$P$在$△ EOF$内,$EP=4$,$OP=3$,连结$MP$,设$EM=a$,直接写出$△ EPM$的面积$S$关于$a$的表达式.

3.(1)①是 解析:
∵ 点A(2,0),B(0,2),C(2,4),
∴ OA=2,OB=2,AC=4,
∴ AB=$\sqrt{OA^2+OB^2}$=2$\sqrt{2}$.同理可得BC=2$\sqrt{2}$,
∴ AB=BC,又AB²+BC²=8+8=16=AC²,
∴ ∠ABC=90°,则C(2,4)是2的“等垂点”.故答案为是.
②(3,7)或(-3,-1) 解析:
∵ 点A(4,0),B(0,3),且点C是4的“等垂点”,
∴ ∠ABC=90°,OA=4,OB=3,AB=BC,
∴ ∠BEC=∠AOB=∠ABC=90°,
∴ ∠CBE+∠BCE=∠CBE+∠ABO=90°,
∴ ∠BCE=∠ABO.又
∵ AB=BC,
∴ △ABO≌△BCE,
∴ BE=OA=4,CE=BO=3,
∴ CF=OE=OB+BE=3+4=7,
∴ C(3,7).当点C在点B下方时,过点B作x轴的平行线l,过点C作CF⊥l于点F,CH⊥y轴于点H,过点A作AE⊥l于点E,如图②所示.
∵ 点A(4,0),B(0,3),且点C是4的“等垂点”,
∴ ∠ABC=90°,OA=4,OB=3,AB=BC,同理得△ABE≌△BCF,
∴ BE=CF=OA=4,BF=AE=BO=3,
∴ BH=CF=4,CH=BF=3,
∴ OH=BH-OB=4-3=1,
∴ C(-3,-1).故答案为(3,7)或(-3,-1).
(2)设A(5,0),B(0,n),过点C作CE⊥y轴于点E,可得两种情况,分别对应着n＞$\frac{5}{3}$和n＜$\frac{5}{3}$.
∵ CE⊥y轴,
∴ ∠CEB=∠AOB=90°.
∵ ∠CBA=90°,
∴ ∠CBE=90°-∠ABO=∠BAO.
∵ AB=BC,
∴ △CBE≌△BAO.
∵ A(5,0),B(0,n),
∴ CE=OB=n,BE=AO=5,即C(n,n+5)或(-n,n-5).
∵ 点C在一次函数y=3x-5上,
∴ n+5=3n-5或n-5=-3n-5,解得n=5或n=0,
∴ C(5,10)或(0,-5).
(3)S=$\frac{\sqrt{2}}{5}a$. 解析:
∵ 在直线y=kx+b(k＞0)上存在无数个5的“等垂点”,
∴ 直线与x轴交于点E(-5,0),与y轴交于点F(0,5),
∴ 直线为y=x+5.如图⑤,过点P分别作PQ⊥x轴于点Q,PH⊥y轴于点H,PN⊥EF于点N,
∵ EP=4,OP=3,OE=5,
∴ EP²+OP²=OE²,
∴ △EPO为直角三角形,
∴ PQ=$\frac{EP·OP}{OE}$=$\frac{12}{5}$,OQ=$\sqrt{OP^2-PQ^2}$=$\frac{9}{5}$,
∴ PH=OQ=$\frac{9}{5}$,
∴ S_△EFO=S_△EPO+S_△EFP+S_△PFO=$\frac{1}{2}$EO·PQ+$\frac{1}{2}$EF·PN+$\frac{1}{2}$FO·PH,即$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{1}{2}$×5PQ+$\frac{1}{2}$EF·PN+$\frac{1}{2}$×5PH,解得PN=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$,
∴ △EPM的面积S=$\frac{1}{2}$EM·PN=$\frac{1}{2}$a×$\frac{2\sqrt{2}}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{5}$a.

4. ★★★|新定义 (2026·北京期末)在平面直角坐标系xOy中,对于点P和线段AB给出如下定义:若点P满足|AP−BP|最小,且∠APB=90°,则称点P为线段AB的美好点.
(1)若点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(0,−1),线段AB的美好点P的坐标是.
(2)若点M(m,0)为x轴上一动点,点N(0,n)为y轴上一动点,
①在图①中画出线段MN的所有美好点C;
②当点C的坐标为(−4,−4),点M在x轴正半轴时,m+n的值为.
(3)如图②,点D和点E的坐标分别是(1,0),(3,2),点F为线段DE上的动点,点G的坐标是(0,t)(t＜0),以点O为中心,各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形上存在线段FG的美好点,直接写出t的取值范围.

4.(1)(0,0)或(1,-1) 解析:
∵ 点P满足|AP-BP|最小,且∠APB=90°,
∴ AP=BP,即△APB是等腰直角三角形,且AB是斜边.
∵ A(1,0),B(0,-1),且∠APB=90°,如图①所示,
∴ 线段AB的美好点P的坐标是(0,0)或(1,-1).
(2)①如图②所示,直线l₁:y=-x,l₂:y=x上的点即为所求.
解析:如图③所示,设m,n＞0,过点C作DC⊥x轴于点D,过点N作NE⊥DC于点E,
∵ 点C是MN的美好点,则∠MCN=90°,CN=CM.又∠E=∠CDM=90°,
∴ ∠ECN=90°-∠MCD=∠CMD,
∴ △ECN≌△DMC(AAS),
∴ EN=CD,EC=DM.
∵ M(m,0),N(0,n),
∴ EC+CD=DM+CD=n,DM-EN=DM-CD=m.
∴ DM=$\frac{m+n}{2}$,CD=$\frac{n-m}{2}$,
∴ OD=DM-OM=$\frac{m+n}{2}$-m=$\frac{n-m}{2}$,
∴ OD=CD,即点C在第二象限的平分线上,
如图④所示,当点C在MN的另一侧C'处时,同理可得△FC'N≌△GMC',
∴ C'G=NF,MG=FC'.
∵ M(m,0),N(0,n),
∴ C'G+MG=n,C'G-MG=m,
∴ C'G=$\frac{m+n}{2}$,MG=$\frac{n-m}{2}$,
∴ OG=OM+MG=m+$\frac{n-m}{2}$=$\frac{n+m}{2}$,
∴ OG=GC',即点C'在第一象限的平分线上.如图⑤所示,同理可得C在第三、四象限的平分线上.综上所述,线段MN的所有美好点C组成的图形为直线y=x和y=-x.
②-8 解析:如图⑥所示,由①可得△CQM≌△NPC(AAS),
∴ CQ=PN,PC=QM,
∴ PQ=CQ+PC=QM+CQ=-n,OM=QM-OQ=QM-PN=QM-CQ=m,
∴ QM=$\frac{m-n}{2}$,CQ=$\frac{-n-m}{2}$,
∴ OQ=QM-OM=$\frac{m-n}{2}$-m=$\frac{-n-m}{2}$,
∴ C($\frac{n+m}{2}$,$\frac{n+m}{2}$).又
∵ 点C的坐标为(-4,-4),
∴ $\frac{n+m}{2}$=-4,
∴ m+n=-8.
(3)t的取值范围为-5≤t≤-1或t=-7. 解析:如图⑦所示,设F(m,n),过点F分别作FA⊥EB,FC⊥DB,垂足分别为A,C,B,C在x轴上,
∵ 点D和点E的坐标分别是(1,0),(3,2),点F为线段DE上的动点,
∴ DB=EB=2,则△DBE,△EFA都是等腰直角三角形,
∴ n=FC=AB=EB-EA=EB-AF=2-(3-m)=m-1,即F(m,m-1),且1≤m≤3.设P为线段FG的美好点,P(a,b),过点P作直线l⊥x轴,过点F作FT⊥l于点T,过点G作GS⊥l于点S,如图⑧,
∵ ∠FPG=90°,
∴ ∠TPF+∠SPG=90°.
∵ ∠SPG+∠PGS=90°,
∴ ∠TPF=∠PGS.又
∵ PF=PG,∠PTF=∠PSG=90°,
∴ △FPT≌△PGS(AAS),
∴ FT=PS,TP=SG,
∴ $\begin{cases}m-a=b-t,\\m-1-b=0-a\end{cases}$或$\begin{cases}a-m=b-t,\\m-1-b=a,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1+t}{2},\\b=\frac{2m+t-1}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}a=\frac{2m-t-1}{2},\\b=\frac{t-1}{2}.\end{cases}$当P在MN上时,a=-3,即$\frac{1+t}{2}$=-3,
∴ t=-7,
∴ b=m-4.
∵ 1≤m≤3,
∴ -3≤b≤-1,符合题意;当P在NK上时,b=-3,即$\frac{t-1}{2}$=-3或$\frac{2m+t-1}{2}$=-3,
∴ t=-5或-2m-5,
∴ a=m+2(与P在FG左侧矛盾,舍去)或-m-2.
∵ -3≤a≤3,
∴ -5≤m≤1.
∵ 1≤m≤3,
∴ m=1,
∴ t=-2-5=-7;当P在LK上时,a=3,即$\frac{2m-t-1}{2}$=3,
∴ t=2m-7,
∴ b=m-4.
∵ -3≤b≤3,
∴ 1≤m≤7.
∵ 1≤m≤3,
∴ -5≤t≤-1;当P在ML上时,b=3＞m-1,不符合题意.综上所述,t的取值范围为-5≤t≤-1或t=-7.