5. 计算：$( \dfrac{2a - b}{a + b} - \dfrac{b}{a - b} ) ÷ \dfrac{a - 2b}{a + b} =$ 。

5. $\dfrac{2a}{a-b}$

【分析】
这是分式混合运算题，遵循先算括号内、再算括号外的运算顺序。第一步处理括号内的异分母分式减法，先找到最简公分母通分，转化为同分母分式后再计算分子；第二步将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘它的倒数；第三步对分子分母因式分解后约分，最终得到最简结果，计算过程中要注意去括号的符号变化，避免运算错误。
【解析】
解：原式$=[ \dfrac{(2a-b)(a-b)}{(a+b)(a-b)} - \dfrac{b(a+b)}{(a+b)(a-b)} ] × \dfrac{a+b}{a-2b}$
先计算括号内分子的运算：
$\begin{aligned}&(2a-b)(a-b) - b(a+b)\\=&2a^2 - 2ab - ab + b^2 - ab - b^2\\=&2a^2 - 4ab\\=&2a(a-2b)\end{aligned}$
将分子代入原式得：
原式$=\dfrac{2a(a-2b)}{(a+b)(a-b)} × \dfrac{a+b}{a-2b}$
约去公因式$(a+b)$和$(a-2b)$，得：
原式$=\dfrac{2a}{a-b}$
【答案】
$\dfrac{2a}{a-b}$
【知识点】
分式的混合运算；异分母分式加减法；分式的约分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，核心是熟练掌握分式运算的顺序和通分、约分的规则，计算时需注意去括号的符号变化，熟练掌握整式运算和因式分解是正确解题的基础。
【难度系数】
0.7

6. 计算：(1) $\dfrac{2m - 6}{m^2 - 6m + 9} ÷ ( \dfrac{1}{m + 3} + \dfrac{1}{m - 3} )$；
(2) $( \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 2} ) ÷ ( \dfrac{4}{2 - x} - 2 - x )$

6. 解：(1) 原式$=\dfrac{2(m-3)}{(m-3)^2} ÷ \dfrac{2m}{(m+3)(m-3)}$
$=\dfrac{2}{m-3} · \dfrac{(m+3)(m-3)}{2m}$
$=\dfrac{m+3}{m}$。
(2) 原式$= \dfrac{x+2+x-2}{(x+2)(x-2)} ÷ [ \dfrac{-4}{x-2} - \dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2} ]$
$=\dfrac{2x}{(x+2)(x-2)} ÷ \dfrac{-x^2}{x-2}$
$=-\dfrac{2x}{(x+2)(x-2)} · \dfrac{x-2}{x^2}$
$=-\dfrac{2}{x(x+2)}$。

【分析】
分式混合运算遵循先算括号内、再算乘除的运算顺序：①先对分子分母中能因式分解的部分先分解，方便后续约分；②计算括号内的分式加减时，先找最简公分母通分，再合并分子；③将除法运算转化为乘以除数的倒数；④最后约去分子分母的公因式得到最简结果，解题时注意符号处理，比如第二题中$2-x$转化为$-(x-2)$时不要弄错符号。
【解析】
(1) 先对原式因式分解，计算括号内的加法：
原式$=\dfrac{2(m-3)}{(m-3)^2} ÷ \dfrac{(m-3)+(m+3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\dfrac{2(m-3)}{(m-3)^2} ÷ \dfrac{2m}{(m+3)(m-3)}$
将除法转化为乘法，约分化简：
$=\dfrac{2}{m-3} · \dfrac{(m+3)(m-3)}{2m}$
$=\dfrac{m+3}{m}$
(2) 先计算括号内的运算，统一分母为$x-2$方便通分：
原式$= \dfrac{x+2+x-2}{(x+2)(x-2)} ÷ [ \dfrac{-4}{x-2} - \dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2} ]$
$=\dfrac{2x}{(x+2)(x-2)} ÷ \dfrac{-4-(x^2-4)}{x-2}$
$=\dfrac{2x}{(x+2)(x-2)} ÷ \dfrac{-x^2}{x-2}$
将除法转化为乘法，约分化简：
$=\dfrac{2x}{(x+2)(x-2)} · \dfrac{x-2}{-x^2}$
$=-\dfrac{2}{x(x+2)}$
【答案】
(1) $\dfrac{m+3}{m}$；(2) $-\dfrac{2}{x(x+2)}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式的通分约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，重点考查运算顺序和符号处理能力，解题时需注意通分要找准最简公分母，除法变乘法时要注意除数不为0的隐含条件，遇互为相反数的因式要先统一形式，避免符号错误，最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.6

7. 先化简，再求值：$( \dfrac{3}{a+1} - a + 1 ) ÷ \dfrac{a^2 - 4}{a^2 + 2a + 1}$，其中$a$从$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$中取一个合适的数代入求值。

7. 解：$( \dfrac{3}{a+1} - a + 1 ) ÷ \dfrac{a^2 - 4}{a^2 + 2a + 1}$
$=\dfrac{3-(a+1)(a-1)}{a+1} · \dfrac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}$
$=\dfrac{(2-a)(2+a)}{a+1} · \dfrac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}$
$=-a-1$。
由题意，知$a+1≠0$，$a+2≠0$，$a-2≠0$。
故$a≠-1$，$a≠-2$，$a≠2$，$a$可以从0和1中任取一个。
比如，当$a=1$时，原式$=-a-1=-1-1=-2$。

【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路分为三步：第一步先处理括号内的分式与整式的加减运算，将整式通分转化为同分母分式相减；第二步将除法运算转化为乘法运算，对各个分子、分母进行因式分解后约分，得到最简结果；第三步先根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不合适的a的取值，再从剩余的数中选一个代入最简式计算结果。解题时要特别注意符号处理，以及a的取值必须让原式中所有分式都有意义。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&( \dfrac{3}{a+1} - a + 1 ) ÷ \dfrac{a^2 - 4}{a^2 + 2a + 1}\\=&[ \dfrac{3}{a+1} - (a - 1) ] · \dfrac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}\\=&\dfrac{3 - (a+1)(a-1)}{a+1} · \dfrac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}\\=&\dfrac{3 - a^2 + 1}{a+1} · \dfrac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}\\=&\dfrac{4 - a^2}{a+1} · \dfrac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}\\=&\dfrac{(2 - a)(2 + a)}{a+1} · \dfrac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}\\=& - (a + 1)\\=& -a - 1\end{aligned}$
再确定a的取值范围：要使分式有意义，则分母和除数均不为0，即：
$a+1≠0$，$a+2≠0$，$a-2≠0$，解得$a≠-1$，$a≠-2$，$a≠2$。
因此a只能取0或1，代入最简式计算即可，例如取$a=1$，代入得：原式$=-1 -1 = -2$。
【答案】
化简结果为$-a-1$，当$a=1$时，值为$-2$（或当$a=0$时，值为$-1$）
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，核心考查分式的运算规则，易错点有两处：一是处理$(2-a)$和$(a-2)$约分的时候容易遗漏负号；二是忽略分式有意义的条件，直接代入$-2、-1、2$导致错误，解题时要先确定字母的合法取值再代入计算。
【难度系数】
0.6

8. 已知$y_1=\frac{1}{x-1}$，且$y_2=\frac{1}{1-y_1}$，$y_3=\frac{1}{1-y_2}$，$y_4=\frac{1}{1-y_3}$，…，$y_n=\frac{1}{1-y_{n-1}}$，则$y_{2027}$为（）.

A.$\frac{1}{x-1}$
B.$2-x$
C.$\frac{x-1}{x-2}$
D.$\frac{x-2}{x-1}$

8. C

【分析】
遇到这种递推式且n取值很大的题目，直接逐项计算到$y_{2027}$不现实，因此首先考虑寻找循环规律：先依次计算前几项$y_1$、$y_2$、$y_3$、$y_4$的值，观察是否出现重复项确定周期，再用2027除以周期得到余数，根据余数对应找到$y_{2027}$的结果。
【解析】
首先依次计算前几项：
已知$y_1=\frac{1}{x-1}$，
计算$y_2$：
$y_2=\frac{1}{1-y_1}=\frac{1}{1-\frac{1}{x-1}}=\frac{1}{\frac{(x-1)-1}{x-1}}=\frac{1}{\frac{x-2}{x-1}}=\frac{x-1}{x-2}$；
计算$y_3$：
$y_3=\frac{1}{1-y_2}=\frac{1}{1-\frac{x-1}{x-2}}=\frac{1}{\frac{(x-2)-(x-1)}{x-2}}=\frac{1}{\frac{-1}{x-2}}=2-x$；
计算$y_4$：
$y_4=\frac{1}{1-y_3}=\frac{1}{1-(2-x)}=\frac{1}{x-1}=y_1$；
由此可得该序列每3项为一个循环周期，周期为3。
接下来计算2027除以3的余数：$2027÷3=675······2$，余数为2，说明$y_{2027}=y_2=\frac{x-1}{x-2}$。
【答案】
C
【知识点】
分式的运算；规律探究；周期循环计算
【点评】
本题解题核心是先通过计算前几项找到循环周期，再利用周期简化大下标的求解，计算过程中要注意分式通分、约分的正确性，避免运算错误导致规律判断失误。
【难度系数】
0.7

9. 甲、乙两位采购员前往同一家面粉店进行两次面粉采购，两次采购时，面粉的价格分别为a元/千克和b元/千克（a，b是正数，且a≠b），两人采购方式存在差异：甲每次固定购买800千克面粉，乙每次固定支出600元用于采购，则甲所购面粉的平均价格是元/千克，乙所购面粉的平均价格是元/千克；在甲、乙所购买面粉的平均价格中，高的平均价格与低的平均价格的差值为元/千克.（结果用含a，b的代数式表示，需化为最简形式）

9. $\dfrac{a+b}{2}$；$\dfrac{2ab}{a+b}$；$\dfrac{(a-b)^2}{2(a+b)}$

【分析】
解题核心是牢记“平均价格=总采购金额÷总采购重量”的公式。首先分别分析甲、乙的采购情况：对于甲，已知两次的采购重量和单价，先算总金额、总重量，再求平均价格；对于乙，已知两次的固定支出和单价，先算两次的采购重量、总重量，再结合总支出求平均价格；最后用作差法计算两个平均价格的差值，计算过程中用到分式的通分、约分，以及完全平方公式化简即可。
【解析】
1. 计算甲的平均价格：
甲两次各购买800千克，总采购重量为 $800 × 2 = 1600$ 千克，
两次总采购金额为 $800a + 800b$ 元，
因此甲的平均价格为 $\dfrac{800a + 800b}{1600} = \dfrac{a + b}{2}$ 元/千克。
2. 计算乙的平均价格：
乙两次各支出600元，总采购金额为 $600 × 2 = 1200$ 元，
两次采购的重量分别为 $\dfrac{600}{a}$ 千克、$\dfrac{600}{b}$ 千克，总重量为 $\dfrac{600}{a} + \dfrac{600}{b} = \dfrac{600(a + b)}{ab}$ 千克，
因此乙的平均价格为 $1200 ÷ \dfrac{600(a + b)}{ab} = 1200 × \dfrac{ab}{600(a + b)} = \dfrac{2ab}{a + b}$ 元/千克。
3. 计算两个平均价格的差值：
用作差法比较两个价格的大小：
$\dfrac{a + b}{2} - \dfrac{2ab}{a + b}$
通分，公分母为 $2(a + b)$，得：
$= \dfrac{(a + b)^2}{2(a + b)} - \dfrac{4ab}{2(a + b)}$
$= \dfrac{(a + b)^2 - 4ab}{2(a + b)}$
分子展开化简：$(a + b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，
因此差值为 $\dfrac{(a - b)^2}{2(a + b)}$（因 $a ≠ b$，该值为正，即为高的平均价格减低价的差值）。
【答案】
$\dfrac{a+b}{2}$；$\dfrac{2ab}{a+b}$；$\dfrac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
【知识点】
分式的运算；平均价格计算；完全平方公式
【点评】
本题结合生活中的采购场景，考查分式的实际应用与运算能力，解题的关键是准确把握平均价格的计算逻辑，分式化简时要注意通分、约分的规则，以及乘法公式的正确运用。
【难度系数】
0.7