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10. 先化简$( \dfrac{x+1}{x-1} + 1 ) ÷ \dfrac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1} + \dfrac{2 - 2x}{x^2 - 1}$，然后从$-2 ≤ x ≤ 1$的范围内选取一个合适的整数作为$x$的值代入求值。
答案
10. 解：原式$=( \dfrac{x+1}{x-1} + \dfrac{x-1}{x-1} ) ÷ \dfrac{x(x+1)}{(x-1)^2} + \dfrac{-2(x-1)}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{2x}{x-1} · \dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)} - \dfrac{2}{x+1}$
$=\dfrac{2x-2}{x+1} - \dfrac{2}{x+1}$
$=\dfrac{2x-4}{x+1}$。
$\because x≠±1$，且$x≠0$，
$\therefore$ 可取$x=-2$，
故原式$=\dfrac{2×(-2)-4}{-2+1}=8$。
$=\dfrac{2x}{x-1} · \dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)} - \dfrac{2}{x+1}$
$=\dfrac{2x-2}{x+1} - \dfrac{2}{x+1}$
$=\dfrac{2x-4}{x+1}$。
$\because x≠±1$，且$x≠0$，
$\therefore$ 可取$x=-2$，
故原式$=\dfrac{2×(-2)-4}{-2+1}=8$。
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路如下：1. 先计算括号内的分式加法，通过通分合并成同分母分式计算；2. 将除法运算转化为乘法运算，对所有分子分母因式分解后约分，再计算后续的分式减法，完成式子化简；3. 先根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0）排除不符合要求的x值，再从$-2 ≤ x ≤ 1$的整数范围内选取合法的x代入化简后的式子计算结果。
【解析】
解：先化简式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=( \dfrac{x+1}{x-1} + \dfrac{x-1}{x-1} ) ÷ \dfrac{x(x+1)}{(x-1)^2} + \dfrac{-2(x-1)}{(x+1)(x-1)}\\&=\dfrac{2x}{x-1} · \dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)} - \dfrac{2}{x+1}\\&=\dfrac{2(x-1)}{x+1} - \dfrac{2}{x+1}\\&=\dfrac{2x-2-2}{x+1}\\&=\dfrac{2x-4}{x+1}\end{aligned}$
要使分式有意义，则分母、除式均不为0，即$x≠±1$，且$x≠0$。
在$-2 ≤ x ≤ 1$的整数中，符合要求的只有$x=-2$，将$x=-2$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\dfrac{2×(-2)-4}{-2+1}=\dfrac{-8}{-1}=8$
【答案】
化简结果为$\dfrac{2x-4}{x+1}$，选取$x=-2$代入得值为$8$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，代数式求值
【点评】
本题重点考查分式的化简求值，运算时需遵循分式混合运算的顺序，代入求值前一定要先筛选出合法的x取值，避免出现分母为0的错误，选值后计算注意符号即可。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题思路如下：1. 先计算括号内的分式加法，通过通分合并成同分母分式计算；2. 将除法运算转化为乘法运算，对所有分子分母因式分解后约分，再计算后续的分式减法，完成式子化简；3. 先根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0）排除不符合要求的x值，再从$-2 ≤ x ≤ 1$的整数范围内选取合法的x代入化简后的式子计算结果。
【解析】
解：先化简式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=( \dfrac{x+1}{x-1} + \dfrac{x-1}{x-1} ) ÷ \dfrac{x(x+1)}{(x-1)^2} + \dfrac{-2(x-1)}{(x+1)(x-1)}\\&=\dfrac{2x}{x-1} · \dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)} - \dfrac{2}{x+1}\\&=\dfrac{2(x-1)}{x+1} - \dfrac{2}{x+1}\\&=\dfrac{2x-2-2}{x+1}\\&=\dfrac{2x-4}{x+1}\end{aligned}$
要使分式有意义，则分母、除式均不为0，即$x≠±1$，且$x≠0$。
在$-2 ≤ x ≤ 1$的整数中，符合要求的只有$x=-2$，将$x=-2$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\dfrac{2×(-2)-4}{-2+1}=\dfrac{-8}{-1}=8$
【答案】
化简结果为$\dfrac{2x-4}{x+1}$，选取$x=-2$代入得值为$8$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，代数式求值
【点评】
本题重点考查分式的化简求值，运算时需遵循分式混合运算的顺序，代入求值前一定要先筛选出合法的x取值，避免出现分母为0的错误，选值后计算注意符号即可。
【难度系数】
0.7
11. 阅读下面的解题过程.
已知$\frac{2}{2y^2 + 3y +7}=\frac{1}{4}$，求代数式$\frac{1}{4y^2 +6y -1}$的值.
解：$\because \frac{2}{2y^2 +3y +7}=\frac{1}{4}$，$\therefore \frac{2y^2 +3y +7}{2}=4$. $\therefore 2y^2 +3y=1$.
$\therefore 4y^2 +6y -1=2(2y^2 +3y)-1=2×1 -1=1$.
$\therefore $
$=1$.
这种解题方法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目.
已知$\frac{x+3}{x+2}=3$，求$\frac{x-3}{2x -4} ÷ ( \frac{5}{x-2} -x -2 )$的值.
已知$\frac{2}{2y^2 + 3y +7}=\frac{1}{4}$，求代数式$\frac{1}{4y^2 +6y -1}$的值.
解：$\because \frac{2}{2y^2 +3y +7}=\frac{1}{4}$，$\therefore \frac{2y^2 +3y +7}{2}=4$. $\therefore 2y^2 +3y=1$.
$\therefore 4y^2 +6y -1=2(2y^2 +3y)-1=2×1 -1=1$.
$\therefore $
$=1$.这种解题方法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目.
已知$\frac{x+3}{x+2}=3$，求$\frac{x-3}{2x -4} ÷ ( \frac{5}{x-2} -x -2 )$的值.
答案
11. 解：原式$=\dfrac{x-3}{2(x-2)} ÷ \dfrac{5-(x+2)(x-2)}{x-2} =\dfrac{x-3}{2(x-2)} · \dfrac{x-2}{-(x+3)(x-3)} =-\dfrac{1}{2(x+3)}$。
$\because \dfrac{x+3}{x+2}=3$，
$\therefore \dfrac{x+2}{x+3}=\dfrac{x+3-1}{x+3}=1-\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{3}$。
$\therefore \dfrac{1}{x+3}=\dfrac{2}{3}$。
$\therefore$ 原式$=-\dfrac{1}{2(x+3)}=-\dfrac{1}{2} · \dfrac{1}{x+3}=-\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{3}$。
$\because \dfrac{x+3}{x+2}=3$，
$\therefore \dfrac{x+2}{x+3}=\dfrac{x+3-1}{x+3}=1-\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{3}$。
$\therefore \dfrac{1}{x+3}=\dfrac{2}{3}$。
$\therefore$ 原式$=-\dfrac{1}{2(x+3)}=-\dfrac{1}{2} · \dfrac{1}{x+3}=-\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{3}$。
解析
【分析】
解题分为两步：第一步先化简所求分式，按照分式混合运算顺序，先计算括号内的减法，通分后将除法转化为乘法，约分得到最简形式；第二步利用“倒数法”处理已知条件，对已知等式取倒数后变形，求出最简式中需要的代数式的值，最后整体代入计算即可，无需直接求解x的值，可简化计算过程。
【解析】
先化简所求代数式：
$\begin{aligned}&\frac{x-3}{2x -4} ÷ ( \frac{5}{x-2} -x -2 )\\=&\frac{x-3}{2(x-2)} ÷ \frac{5-(x+2)(x-2)}{x-2}\\=&\frac{x-3}{2(x-2)} · \frac{x-2}{5-(x^2-4)}\\=&\frac{x-3}{2(x-2)} · \frac{x-2}{9-x^2}\\=&\frac{x-3}{2(x-2)} · \frac{x-2}{-(x+3)(x-3)}\\=&-\frac{1}{2(x+3)}\end{aligned}$
再处理已知条件：
∵ $\frac{x+3}{x+2}=3$，两边取倒数得 $\frac{x+2}{x+3}=\frac{1}{3}$，
将分子变形得：$\frac{(x+3)-1}{x+3}=1-\frac{1}{x+3}=\frac{1}{3}$，
解得 $\frac{1}{x+3}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
将$\frac{1}{x+3}=\frac{2}{3}$代入化简后的式子：
原式$=-\frac{1}{2} × \frac{1}{x+3}=-\frac{1}{2} × \frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分式混合运算，倒数法，整体代入求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题核心是先将所求代数式化简为最简形式，再利用倒数法对已知条件变形，通过整体代入的方法计算结果，既简化了计算过程，也能降低出错率，计算时要注意符号处理和约分的正确性。
【难度系数】
0.6
解题分为两步：第一步先化简所求分式，按照分式混合运算顺序，先计算括号内的减法，通分后将除法转化为乘法，约分得到最简形式；第二步利用“倒数法”处理已知条件，对已知等式取倒数后变形，求出最简式中需要的代数式的值，最后整体代入计算即可，无需直接求解x的值，可简化计算过程。
【解析】
先化简所求代数式：
$\begin{aligned}&\frac{x-3}{2x -4} ÷ ( \frac{5}{x-2} -x -2 )\\=&\frac{x-3}{2(x-2)} ÷ \frac{5-(x+2)(x-2)}{x-2}\\=&\frac{x-3}{2(x-2)} · \frac{x-2}{5-(x^2-4)}\\=&\frac{x-3}{2(x-2)} · \frac{x-2}{9-x^2}\\=&\frac{x-3}{2(x-2)} · \frac{x-2}{-(x+3)(x-3)}\\=&-\frac{1}{2(x+3)}\end{aligned}$
再处理已知条件：
∵ $\frac{x+3}{x+2}=3$，两边取倒数得 $\frac{x+2}{x+3}=\frac{1}{3}$，
将分子变形得：$\frac{(x+3)-1}{x+3}=1-\frac{1}{x+3}=\frac{1}{3}$，
解得 $\frac{1}{x+3}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
将$\frac{1}{x+3}=\frac{2}{3}$代入化简后的式子：
原式$=-\frac{1}{2} × \frac{1}{x+3}=-\frac{1}{2} × \frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分式混合运算，倒数法，整体代入求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题核心是先将所求代数式化简为最简形式，再利用倒数法对已知条件变形，通过整体代入的方法计算结果，既简化了计算过程，也能降低出错率，计算时要注意符号处理和约分的正确性。
【难度系数】
0.6
