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工人常用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图3-15中所表示的情形，四个工件中哪一个肯定是半圆环形？
图3-15
任意画一个四边形，是否一定有外接圆？
图3-15
任意画一个四边形，是否一定有外接圆？
答案
④ 略
解析
【分析】
解题核心依据是圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，反过来，若直角的顶点落在一段圆弧上，且直角的两边与圆弧的两个交点为弧的端点，就说明这两个交点的连线是直径，对应的弧就是半圆。我们逐一排查四个图形：
1. 图①的直角顶点没有落在圆弧上，无法判断圆弧是否为半圆；
2. 图②的直角顶点虽然在弧上，但两边没有和圆弧的端点重合，不能确定两个交点连线是直径，无法判定；
3. 图③的直角顶点在圆弧外侧，不符合圆周角顶点在圆上的要求，无法判定；
4. 图④的直角顶点落在圆弧上，且角的两边刚好与圆弧的两个端点相交，说明这段弧是半圆，对应工件就是半圆环。
对于“任意四边形是否有外接圆”的问题，根据圆内接四边形的判定规则，只有对角互补的四边形才有外接圆，因此不是所有四边形都满足要求。
【解析】
1. 半圆环工件判断：
根据圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
要判定一段弧为半圆，需满足：直角顶点在弧上，且直角两边与弧的两个端点相交，此时弧对应的弦为直径。
观察4个图形：
①中直角顶点不在弧上，不符合判定要求；
②中直角两边未与弧的端点相交，无法确认对应弦为直径，不符合要求；
③中直角顶点在弧外，不属于圆周角，不符合要求；
④满足上述所有判定条件，对应的弧是半圆，工件为半圆环。
2. 任意四边形不一定有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆。
【答案】
④；任意四边形不一定有外接圆
【知识点】
圆周角定理推论；圆内接四边形判定
【点评】
本题结合生产实际考查圆周角相关定理的应用，需要抓住判定半圆的核心条件逐一排查图形，同时要明确圆内接四边形的判定要求，感受数学知识在实际场景中的应用价值。
【难度系数】
0.7
解题核心依据是圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，反过来，若直角的顶点落在一段圆弧上，且直角的两边与圆弧的两个交点为弧的端点，就说明这两个交点的连线是直径，对应的弧就是半圆。我们逐一排查四个图形：
1. 图①的直角顶点没有落在圆弧上，无法判断圆弧是否为半圆；
2. 图②的直角顶点虽然在弧上，但两边没有和圆弧的端点重合，不能确定两个交点连线是直径，无法判定；
3. 图③的直角顶点在圆弧外侧，不符合圆周角顶点在圆上的要求，无法判定；
4. 图④的直角顶点落在圆弧上，且角的两边刚好与圆弧的两个端点相交，说明这段弧是半圆，对应工件就是半圆环。
对于“任意四边形是否有外接圆”的问题，根据圆内接四边形的判定规则，只有对角互补的四边形才有外接圆，因此不是所有四边形都满足要求。
【解析】
1. 半圆环工件判断：
根据圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
要判定一段弧为半圆，需满足：直角顶点在弧上，且直角两边与弧的两个端点相交，此时弧对应的弦为直径。
观察4个图形：
①中直角顶点不在弧上，不符合判定要求；
②中直角两边未与弧的端点相交，无法确认对应弦为直径，不符合要求；
③中直角顶点在弧外，不属于圆周角，不符合要求；
④满足上述所有判定条件，对应的弧是半圆，工件为半圆环。
2. 任意四边形不一定有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆。
【答案】
④；任意四边形不一定有外接圆
【知识点】
圆周角定理推论；圆内接四边形判定
【点评】
本题结合生产实际考查圆周角相关定理的应用，需要抓住判定半圆的核心条件逐一排查图形，同时要明确圆内接四边形的判定要求，感受数学知识在实际场景中的应用价值。
【难度系数】
0.7
例1 如图3-16，AB，CD是$\odot O$的直径，DF，BE是弦，且$DF=BE$. 求证：$∠ B=∠ D$.
答案
证明 连接 FC,AE. $\because$ AB,CD是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ CFD=∠ AEB=90°. \therefore ∠ A+∠ B=90°,∠ C+∠ D=90°. \because DF =BE,\therefore \overgroup{DF}=\overgroup{BE}. \therefore ∠ C=∠ A. \therefore ∠ B=∠ D$
解析
【分析】
要证明∠B=∠D，可结合已知条件逐步推导：首先看到AB、CD是圆的直径，优先考虑直径所对圆周角为直角的性质，因此作辅助线连接FC、AE，构造出两个直角三角形，此时∠B和∠D分别与∠A、∠C互余，只需证明∠A=∠C即可；再结合已知DF=BE，根据同圆中等弦对等弧，等弧对等圆周角的性质，可推出∠C=∠A；最后利用等角的余角相等，即可得到∠B=∠D。
【解析】
证明：连接 FC,AE.
∵ AB,CD是$\odot O$的直径，
∴ $∠ CFD=∠ AEB=90°$，
∴ $∠ A+∠ B=90°$，$∠ C+∠ D=90°$。
∵ $DF = BE$，
∴ $\overgroup{DF}=\overgroup{BE}$，
∴ $∠ C=∠ A$，
∴ $∠ B=∠ D$。
【答案】
证明 连接 FC,AE. $\because$ AB,CD是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ CFD=∠ AEB=90°. \therefore ∠ A+∠ B=90°,∠ C+∠ D=90°. \because DF =BE,\therefore \overgroup{DF}=\overgroup{BE}. \therefore ∠ C=∠ A. \therefore ∠ B=∠ D$
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 同圆弦弧关系
3. 余角的性质
【点评】
本题属于圆性质的基础证明题，解题关键是合理构造辅助线，将待证角转化到直角三角形中，结合弦、弧、圆周角的对应关系和余角性质即可完成推导，能帮助学生巩固圆的基础性质的应用。
【难度系数】
0.8
要证明∠B=∠D，可结合已知条件逐步推导：首先看到AB、CD是圆的直径，优先考虑直径所对圆周角为直角的性质，因此作辅助线连接FC、AE，构造出两个直角三角形，此时∠B和∠D分别与∠A、∠C互余，只需证明∠A=∠C即可；再结合已知DF=BE，根据同圆中等弦对等弧，等弧对等圆周角的性质，可推出∠C=∠A；最后利用等角的余角相等，即可得到∠B=∠D。
【解析】
证明：连接 FC,AE.
∵ AB,CD是$\odot O$的直径，
∴ $∠ CFD=∠ AEB=90°$，
∴ $∠ A+∠ B=90°$，$∠ C+∠ D=90°$。
∵ $DF = BE$，
∴ $\overgroup{DF}=\overgroup{BE}$，
∴ $∠ C=∠ A$，
∴ $∠ B=∠ D$。
【答案】
证明 连接 FC,AE. $\because$ AB,CD是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ CFD=∠ AEB=90°. \therefore ∠ A+∠ B=90°,∠ C+∠ D=90°. \because DF =BE,\therefore \overgroup{DF}=\overgroup{BE}. \therefore ∠ C=∠ A. \therefore ∠ B=∠ D$
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 同圆弦弧关系
3. 余角的性质
【点评】
本题属于圆性质的基础证明题，解题关键是合理构造辅助线，将待证角转化到直角三角形中，结合弦、弧、圆周角的对应关系和余角性质即可完成推导，能帮助学生巩固圆的基础性质的应用。
【难度系数】
0.8
例2 如图3-17，$\odot O_1$和$\odot O_2$都经过A,B两点，经过点A的直线CD与$\odot O_1$交于点C，与$\odot O_2$交于点D。经过点B的直线EF与$\odot O_1$交于点E，与$\odot O_2$交于点F。求证:$CE// DF$。
图3-17
图3-17
答案
证明 连接 AB. $\because$ 四边形 ABEC 是$\odot O_1$ 的内接四边形,$\therefore ∠ BAC+∠ E=180°.$ 又$\because ∠ BAD+∠ BAC=180°$,$\therefore ∠ BAD=∠ E.$ 又$\because$ 四边形 ADFB 是$\odot O_2$ 的内接四边形,$\therefore ∠ BAD+∠ F=180°. \therefore ∠ E+∠ F=180°. \therefore CE// DF$
解析
【分析】
要证明CE//DF，可通过证明两直线的同旁内角互补（即∠E+∠F=180°）实现。两圆相交于A、B两点，公共弦AB是沟通两圆中角度关系的关键辅助线，我们可以连接AB，利用圆内接四边形的性质，通过中间角建立∠E和∠F的数量关系，进而完成证明。
【解析】
证明：连接AB。
∵ 四边形ABEC是$\odot O_1$的内接四边形，
∴ $∠ BAC + ∠ E = 180°$。
又
∵ $∠ BAD + ∠ BAC = 180°$，
∴ $∠ BAD = ∠ E$。
∵ 四边形ADFB是$\odot O_2$的内接四边形，
∴ $∠ BAD + ∠ F = 180°$。
代入得$∠ E + ∠ F = 180°$，
∴ $CE// DF$。
【答案】
$CE// DF$
【知识点】
圆内接四边形的性质、平行线的判定、补角的性质
【点评】
本题是相交两圆的典型基础题，解题的核心是连接两圆的公共弦作为辅助线，搭建两圆角度关系的转化桥梁，结合圆内接四边形性质和平行线判定即可求解，要重视公共弦在相交两圆问题中的作用。
【难度系数】
0.7
要证明CE//DF，可通过证明两直线的同旁内角互补（即∠E+∠F=180°）实现。两圆相交于A、B两点，公共弦AB是沟通两圆中角度关系的关键辅助线，我们可以连接AB，利用圆内接四边形的性质，通过中间角建立∠E和∠F的数量关系，进而完成证明。
【解析】
证明：连接AB。
∵ 四边形ABEC是$\odot O_1$的内接四边形，
∴ $∠ BAC + ∠ E = 180°$。
又
∵ $∠ BAD + ∠ BAC = 180°$，
∴ $∠ BAD = ∠ E$。
∵ 四边形ADFB是$\odot O_2$的内接四边形，
∴ $∠ BAD + ∠ F = 180°$。
代入得$∠ E + ∠ F = 180°$，
∴ $CE// DF$。
【答案】
$CE// DF$
【知识点】
圆内接四边形的性质、平行线的判定、补角的性质
【点评】
本题是相交两圆的典型基础题，解题的核心是连接两圆的公共弦作为辅助线，搭建两圆角度关系的转化桥梁，结合圆内接四边形性质和平行线判定即可求解，要重视公共弦在相交两圆问题中的作用。
【难度系数】
0.7
