23.「2025海南海口琼山二模，★☆」(10分)综合与实践.
【问题情境】
某班同学以“已知三角形三边的长度,求三角形面积”为主题开展了数学活动.
【操作发现】
第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题.图1是一个6×6的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.在其中画出△ABC,其顶点A,B,C都是格点,同时构造正方形CDEF,使它的顶点都在格点上,且它的边DE,EF分别经过点A,B,他们借助此图求出了△ABC的面积.
(1)在图1中,所画的△ABC的三边长分别是AB=,BC=,AC=,△ABC的面积为.
(2)在图2的正方形网格(每个小正方形的边长均为1)中画出△GHQ(顶点都在格点上),使$GH=\sqrt{5}$, $GQ=2\sqrt{2}$, $HQ=\sqrt{17}$,并求出△GHQ的面积.


【继续探究】
第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题.许多数学家曾经对“已知三角形的三边长分别为a,b,c,求其面积”这个问题进行过深入研究.我国南宋时期数学家秦九韶给出过计算面积的公式:$S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}$.
(3)一个三角形的三边长依次为$\sqrt{13},\sqrt{14},\sqrt{15}$,请你利用上述公式计算这个三角形的面积(写出计算过程).

(1)$\sqrt{5}$;$\sqrt{10}$;$\sqrt{13}$;3.5. ……………… (4 分)
详解:$AB=\sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$,$BC=\sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$,$AC=\sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$.
△ABC的面积$=3×3-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×2×3=3.5$.
(2)如图所示(△GHQ的位置不唯一).………… (6 分)

构造长方形ABQD,使它的顶点都在格点上,且它的边AB,AD分别经过点G,H,则$S_{△ GHQ}=S_{\mathrm{长方形}ABQD}-S_{△ AGH}-S_{△ BGQ}-S_{△ DHQ}=2×4-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×1=8-1-2-2=3$.………… (8 分)
(3)令$a=\sqrt{13},b=\sqrt{14},c=\sqrt{15}$,
∴$a^2=13,b^2=14,c^2=15$.
∴$S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}×(13×14-36)}=\frac{\sqrt{146}}{2}$.………… (10 分)