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10.如图,在圆内接四边形ABCD中,延长AB,DC交于点E,在DE上方作△EFG,使点F在线段DE上,且∠1=∠2,连接DG.
(1)若∠1=35°,B为$\overset{\frown}{AC}$的中点,求∠ADC的度数.
(2)连接BD,当∠BDG=∠BEG时.
①求证:四边形BEGD是平行四边形;
②若∠3=∠DAB,求证:BC=FG.
(1)若∠1=35°,B为$\overset{\frown}{AC}$的中点,求∠ADC的度数.
(2)连接BD,当∠BDG=∠BEG时.
①求证:四边形BEGD是平行四边形;
②若∠3=∠DAB,求证:BC=FG.
答案
解：
(1) 已知∠1=35°，∠1=∠2，所以∠2=35°。
因为B为$\overset{\frown}{AC}$的中点，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
根据圆周角定理，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角为∠2，$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角为∠ADC，
所以∠ADC=2∠2=70°。
(2) ①证明：
因为∠2和∠BDC都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，所以∠2=∠BDC。
又∠1=∠2，所以∠BDC=∠1，因此BD//EG。
所以∠BDG + ∠DGE = 180°，
已知∠BDG=∠BEG，代入得∠BEG + ∠DGE = 180°，因此DG//BE。
两组对边分别平行，故四边形BEGD是平行四边形。
②证明：
因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠DAB + ∠BCD = 180°，
又∠BCE + ∠BCD = 180°，所以∠BCE = ∠DAB。
已知∠3=∠DAB，所以∠BCE=∠3。
由①知∠BDC=∠1，即∠BDE=∠BED，所以BD=BE。
因为四边形BEGD是平行四边形，所以BE=DG，BD=EG，因此BE=EG。
在△BCE和△GFE中：
$\begin{cases}∠BCE=∠GFE=∠3 \\∠BEC=∠GEF=∠1 \\BE=EG\end{cases}$
所以△BCE≌△GFE(AAS)，因此BC=FG。
(1) 已知∠1=35°，∠1=∠2，所以∠2=35°。
因为B为$\overset{\frown}{AC}$的中点，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
根据圆周角定理，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角为∠2，$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角为∠ADC，
所以∠ADC=2∠2=70°。
(2) ①证明：
因为∠2和∠BDC都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，所以∠2=∠BDC。
又∠1=∠2，所以∠BDC=∠1，因此BD//EG。
所以∠BDG + ∠DGE = 180°，
已知∠BDG=∠BEG，代入得∠BEG + ∠DGE = 180°，因此DG//BE。
两组对边分别平行，故四边形BEGD是平行四边形。
②证明：
因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠DAB + ∠BCD = 180°，
又∠BCE + ∠BCD = 180°，所以∠BCE = ∠DAB。
已知∠3=∠DAB，所以∠BCE=∠3。
由①知∠BDC=∠1，即∠BDE=∠BED，所以BD=BE。
因为四边形BEGD是平行四边形，所以BE=DG，BD=EG，因此BE=EG。
在△BCE和△GFE中：
$\begin{cases}∠BCE=∠GFE=∠3 \\∠BEC=∠GEF=∠1 \\BE=EG\end{cases}$
所以△BCE≌△GFE(AAS)，因此BC=FG。
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先根据已知∠1=∠2得到∠2的度数，再结合B是$\overset{\frown}{AC}$中点，可知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，根据圆周角定理，$\overset{\frown}{AC}$对应的圆周角∠ADC等于2倍$\overset{\frown}{BC}$对应的圆周角∠2，即可求出∠ADC的度数。
(2) ①证明思路：要证四边形BEGD是平行四边形，需证两组对边分别平行。首先利用同弧所对圆周角相等得∠2=∠BDC，结合∠1=∠2推出∠BDC=∠1，得BD//EG；再结合已知∠BDG=∠BEG，通过同旁内角互补推出DG//BE，即可得证。
②证明思路：要证BC=FG，可通过证明两线段所在三角形全等求解。首先利用圆内接四边形外角等于内对角得∠BCE=∠DAB，结合已知∠3=∠DAB得∠BCE=∠3；再由平行四边形性质得BE=EG，结合公共角∠BEC=∠GEF，用AAS证明△BCE≌△GFE，即可得到BC=FG。
【解析】
(1) 解：
∵∠1=35°，∠1=∠2，
∴∠2=35°。
∵B为$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
根据圆周角定理，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角为∠2，$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC=2∠2=2×35°=70°。
(2) ①证明：
∵∠2和∠BDC都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴∠2=∠BDC。
又
∵∠1=∠2，
∴∠BDC=∠1，
∴BD//EG，
∴∠BDG + ∠DGE = 180°，
∵∠BDG=∠BEG，
∴∠BEG + ∠DGE = 180°，
∴DG//BE，
∴四边形BEGD是平行四边形。
②证明：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAB + ∠BCD = 180°，
又
∵∠BCE + ∠BCD = 180°，
∴∠BCE = ∠DAB，
∵∠3=∠DAB，
∴∠BCE=∠3。
由①知∠BDC=∠1，即∠BDE=∠BED，
∴BD=BE，
∵四边形BEGD是平行四边形，
∴BE=DG，BD=EG，
∴BE=EG。
在△BCE和△GFE中：
$\begin{cases}∠BCE=∠3 \\∠BEC=∠GEF \\BE=EG\end{cases}$
∴△BCE≌△GFE(AAS)，
∴BC=FG。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ADC=70°}$
(2) ①四边形BEGD是平行四边形，证明见解析；②BC=FG，证明见解析
【知识点】
圆周角定理；平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与平面几何结合的综合题，核心考查学生通过角的等量关系推导平行、全等的逻辑推理能力，解题关键是熟练运用圆的相关性质衔接平行四边形、全等三角形的知识点，适合巩固综合类几何题的解题思路。
【难度系数】
0.65
(1) 解题思路：首先根据已知∠1=∠2得到∠2的度数，再结合B是$\overset{\frown}{AC}$中点，可知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，根据圆周角定理，$\overset{\frown}{AC}$对应的圆周角∠ADC等于2倍$\overset{\frown}{BC}$对应的圆周角∠2，即可求出∠ADC的度数。
(2) ①证明思路：要证四边形BEGD是平行四边形，需证两组对边分别平行。首先利用同弧所对圆周角相等得∠2=∠BDC，结合∠1=∠2推出∠BDC=∠1，得BD//EG；再结合已知∠BDG=∠BEG，通过同旁内角互补推出DG//BE，即可得证。
②证明思路：要证BC=FG，可通过证明两线段所在三角形全等求解。首先利用圆内接四边形外角等于内对角得∠BCE=∠DAB，结合已知∠3=∠DAB得∠BCE=∠3；再由平行四边形性质得BE=EG，结合公共角∠BEC=∠GEF，用AAS证明△BCE≌△GFE，即可得到BC=FG。
【解析】
(1) 解：
∵∠1=35°，∠1=∠2，
∴∠2=35°。
∵B为$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
根据圆周角定理，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角为∠2，$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC=2∠2=2×35°=70°。
(2) ①证明：
∵∠2和∠BDC都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴∠2=∠BDC。
又
∵∠1=∠2，
∴∠BDC=∠1，
∴BD//EG，
∴∠BDG + ∠DGE = 180°，
∵∠BDG=∠BEG，
∴∠BEG + ∠DGE = 180°，
∴DG//BE，
∴四边形BEGD是平行四边形。
②证明：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAB + ∠BCD = 180°，
又
∵∠BCE + ∠BCD = 180°，
∴∠BCE = ∠DAB，
∵∠3=∠DAB，
∴∠BCE=∠3。
由①知∠BDC=∠1，即∠BDE=∠BED，
∴BD=BE，
∵四边形BEGD是平行四边形，
∴BE=DG，BD=EG，
∴BE=EG。
在△BCE和△GFE中：
$\begin{cases}∠BCE=∠3 \\∠BEC=∠GEF \\BE=EG\end{cases}$
∴△BCE≌△GFE(AAS)，
∴BC=FG。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ADC=70°}$
(2) ①四边形BEGD是平行四边形，证明见解析；②BC=FG，证明见解析
【知识点】
圆周角定理；平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与平面几何结合的综合题，核心考查学生通过角的等量关系推导平行、全等的逻辑推理能力，解题关键是熟练运用圆的相关性质衔接平行四边形、全等三角形的知识点，适合巩固综合类几何题的解题思路。
【难度系数】
0.65
