6. 我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上,AB的中点是坐标原点O,固定点A,B,把正方形沿箭头方向推,使点D落在y轴正半轴上的点D'处,则点C的对应点C'的坐标为.

$\boldsymbol{(2,\sqrt{3})}$

解：
由题意得，$AD' = AD = 2$，$AB = 2$，
∵ $O$是$AB$的中点，
∴ $AO = OB = 1$，点$A$坐标为$(-1, 0)$，点$B$坐标为$(1, 0)$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD'$中，由勾股定理得：
$OD' = \sqrt{AD'^2 - AO^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$，
∴ 点$D'$的坐标为$(0, \sqrt{3})$。
∵ 四边形$ABC'D'$是平行四边形，
∴ $C'D' // AB$，且$C'D' = AB = 2$，
∴ 点$C'$的横坐标为$0 + 2 = 2$，纵坐标与$D'$的纵坐标相等，为$\sqrt{3}$，
即点$C'$的坐标为$(2, \sqrt{3})$。

7. 如图，将$△ ABC$绕点$C(0,-2)$旋转$180°$得到$△ A'B'C$，若点$A'$的坐标为$(-1,-6)$，则点$A$的坐标为。

解：设点A的坐标为$(x,y)$，
由旋转$180°$的性质可知，点$C(0,-2)$是线段$AA'$的中点。
根据中点坐标关系：
$\frac{x + (-1)}{2} = 0$
解得$x=1$；
$\frac{y + (-6)}{2} = -2$
解得$y=2$。
所以点A的坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$。

8. 已知点 P 的坐标为$(2m+4,m-1)$，请分别根据下列条件，求出点 P 的坐标.
(1) 点 P 在 x 轴上；
(2) 点 P 的纵坐标比横坐标大 3；
(3) 点 P 在过点 A(2,-4)且与 y 轴平行的直线上.

解：
(1) ∵点P在x轴上，
∴点P的纵坐标为0，即$m-1=0$，
解得$m=1$。
将$m=1$代入横坐标$2m+4$，得$2×1+4=6$，
∴点P的坐标为$(6, 0)$。
(2) 由题意得：$(m-1)-(2m+4)=3$，
整理得$-m-5=3$，
解得$m=-8$。
代入得横坐标$2m+4=2×(-8)+4=-12$，纵坐标$m-1=-8-1=-9$，
∴点P的坐标为$(-12, -9)$。
(3) ∵与y轴平行的直线上所有点的横坐标相等，该直线过点$A(2,-4)$，
∴点P的横坐标满足$2m+4=2$，
解得$m=-1$。
代入得纵坐标$m-1=-1-1=-2$，
∴点P的坐标为$(2, -2)$。