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17. 在学习完“相交线与平行线”后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能.
(1)【问题初探】如图1，直线$PQ// MN$，点$D$，$A$分别在$PQ$，$MN$上，$E$为两平行线内部一点.探究$∠ 1$，$∠ 2$，$∠ DEA$之间的数量关系，并说明理由.
以下是小明的解题过程，请补充完整，并在括号内填写相应的依据.
解:如图1，过点$E$作$EH// PQ$.
$\because PQ// MN$(已知),
$\therefore PQ// EH// MN$.
$\therefore ∠ DEH=\_\_\_\_\_\_$，$∠ AEH=\_\_\_\_\_\_$（ ）.
$\therefore ∠ DEH+∠ AEH=∠ 1+∠ 2$，
即$∠ DEA=\_\_\_\_\_\_$.
(2)【拓展探究】路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知$∠ 1=31°$，则$∠ 2+∠ 3=\_\_\_\_\_\_$.
(3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架$AB$与吊线$FG$平行，灯杆$CD$与底部支架$AB$所成锐角$α=15°$，顶部支架$EF$与灯杆$CD$所成锐角$β=45°$，求$EF$与$FG$所成锐角的度数.
(1)【问题初探】如图1，直线$PQ// MN$，点$D$，$A$分别在$PQ$，$MN$上，$E$为两平行线内部一点.探究$∠ 1$，$∠ 2$，$∠ DEA$之间的数量关系，并说明理由.
以下是小明的解题过程，请补充完整，并在括号内填写相应的依据.
解:如图1，过点$E$作$EH// PQ$.
$\because PQ// MN$(已知),
$\therefore PQ// EH// MN$.
$\therefore ∠ DEH=\_\_\_\_\_\_$，$∠ AEH=\_\_\_\_\_\_$（ ）.
$\therefore ∠ DEH+∠ AEH=∠ 1+∠ 2$，
即$∠ DEA=\_\_\_\_\_\_$.
(2)【拓展探究】路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知$∠ 1=31°$，则$∠ 2+∠ 3=\_\_\_\_\_\_$.
(3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架$AB$与吊线$FG$平行，灯杆$CD$与底部支架$AB$所成锐角$α=15°$，顶部支架$EF$与灯杆$CD$所成锐角$β=45°$，求$EF$与$FG$所成锐角的度数.
答案
17. (1)∠1 ∠2 两直线平行,内错角相等 ∠1+∠2
(2)211°
(3)如图,过点E作EP//AB.
由题意可知,AB//FG,∠ABC=α=15°,∠DEF=β=45°.
∵ EP//AB,
∴ ∠PEC=∠ABC=15°.
∵ ∠PEC+∠DEF+∠PEF=180°,
∴ ∠PEF=180°-∠PEC-∠DEF=180°-15°-45°=120°.
∵ EP//AB,AB//FG,
∴ EP//FG.
∴ ∠EFG+∠PEF=180°.
∴ ∠EFG=180°-∠PEF=60°,
即EF与FG所成锐角的度数为60°.
解析
【分析】
(1) 遇到平行线间的折线角度问题，常规思路是过折点作已知平行线的平行线，利用平行公理的推论得到三条直线互相平行，再结合平行线“内错角相等”的性质，将待求的∠DEA拆分为两个分别和∠1、∠2相等的角，即可推导三者的数量关系。
(2) 第二问可直接利用第一问的折线角模型变形求解：过∠2的顶点作支撑平台的平行线，结合工作篮底部与支撑平台平行的条件，根据平行线性质推导三个角的关系，代入∠1的度数即可计算。
(3) 第三问同样采用过折点作平行线的方法：过点E作EP平行于AB，利用平行的传递性得到EP也平行于FG，再结合平行线的性质和平角的定义，逐步计算即可得到EF与FG的夹角度数。
【解析】
(1) 如图1，过点$E$作$EH// PQ$。
$\because PQ// MN$(已知),
$\therefore PQ// EH// MN$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
$\therefore ∠ DEH=∠1$，$∠ AEH=∠2$（两直线平行，内错角相等）。
$\therefore ∠ DEH+∠ AEH=∠ 1+∠ 2$，
即$∠ DEA=∠1+∠2$。
(2) 过∠2的顶点作平行于支撑平台的直线，由工作篮底部与支撑平台平行，可得三条直线互相平行。根据平行线性质，∠1与∠2靠近支撑平台的部分是内错角，大小相等；∠3与∠2靠近工作篮的部分是同旁内角，和为180°。因此$∠2+∠3=180°+∠1=180°+31°=211°$。
(3) 如图，过点E作EP//AB。
由题意可知，AB//FG，∠ABC=α=15°，∠DEF=β=45°。
∵ EP//AB，
∴ ∠PEC=∠ABC=15°（两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠PEC+∠DEF+∠PEF=180°（平角的定义），
∴ $∠PEF=180°-∠PEC-∠DEF=180°-15°-45°=120°$。
∵ EP//AB，AB//FG，
∴ EP//FG（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∴ $∠EFG+∠PEF=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∴ $∠EFG=180°-∠PEF=60°$，
即EF与FG所成锐角的度数为60°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠1}$；$\boldsymbol{∠2}$；两直线平行，内错角相等；$\boldsymbol{∠1+∠2}$
(2) $\boldsymbol{211°}$
(3) 如图,过点E作EP//AB.
由题意可知,AB//FG,∠ABC=α=15°,∠DEF=β=45°.
∵ EP//AB,
∴ ∠PEC=∠ABC=15°.
∵ ∠PEC+∠DEF+∠PEF=180°,
∴ ∠PEF=180°-∠PEC-∠DEF=180°-15°-45°=120°.
∵ EP//AB,AB//FG,
∴ EP//FG.
∴ ∠EFG+∠PEF=180°.
∴ ∠EFG=180°-∠PEF=60°,
即EF与FG所成锐角的度数为60°.
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角度和差计算
【点评】
本题结合工程车、路灯等生活场景考查平行线知识的应用，核心解题方法是过折点作平行线实现等角转化，属于平行线章节的典型题型，能够有效考查学生对基础模型的掌握和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
(1) 遇到平行线间的折线角度问题，常规思路是过折点作已知平行线的平行线，利用平行公理的推论得到三条直线互相平行，再结合平行线“内错角相等”的性质，将待求的∠DEA拆分为两个分别和∠1、∠2相等的角，即可推导三者的数量关系。
(2) 第二问可直接利用第一问的折线角模型变形求解：过∠2的顶点作支撑平台的平行线，结合工作篮底部与支撑平台平行的条件，根据平行线性质推导三个角的关系，代入∠1的度数即可计算。
(3) 第三问同样采用过折点作平行线的方法：过点E作EP平行于AB，利用平行的传递性得到EP也平行于FG，再结合平行线的性质和平角的定义，逐步计算即可得到EF与FG的夹角度数。
【解析】
(1) 如图1，过点$E$作$EH// PQ$。
$\because PQ// MN$(已知),
$\therefore PQ// EH// MN$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
$\therefore ∠ DEH=∠1$，$∠ AEH=∠2$（两直线平行，内错角相等）。
$\therefore ∠ DEH+∠ AEH=∠ 1+∠ 2$，
即$∠ DEA=∠1+∠2$。
(2) 过∠2的顶点作平行于支撑平台的直线，由工作篮底部与支撑平台平行，可得三条直线互相平行。根据平行线性质，∠1与∠2靠近支撑平台的部分是内错角，大小相等；∠3与∠2靠近工作篮的部分是同旁内角，和为180°。因此$∠2+∠3=180°+∠1=180°+31°=211°$。
(3) 如图，过点E作EP//AB。
由题意可知，AB//FG，∠ABC=α=15°，∠DEF=β=45°。
∵ EP//AB，
∴ ∠PEC=∠ABC=15°（两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠PEC+∠DEF+∠PEF=180°（平角的定义），
∴ $∠PEF=180°-∠PEC-∠DEF=180°-15°-45°=120°$。
∵ EP//AB，AB//FG，
∴ EP//FG（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∴ $∠EFG+∠PEF=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∴ $∠EFG=180°-∠PEF=60°$，
即EF与FG所成锐角的度数为60°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠1}$；$\boldsymbol{∠2}$；两直线平行，内错角相等；$\boldsymbol{∠1+∠2}$
(2) $\boldsymbol{211°}$
(3) 如图,过点E作EP//AB.
由题意可知,AB//FG,∠ABC=α=15°,∠DEF=β=45°.
∵ EP//AB,
∴ ∠PEC=∠ABC=15°.
∵ ∠PEC+∠DEF+∠PEF=180°,
∴ ∠PEF=180°-∠PEC-∠DEF=180°-15°-45°=120°.
∵ EP//AB,AB//FG,
∴ EP//FG.
∴ ∠EFG+∠PEF=180°.
∴ ∠EFG=180°-∠PEF=60°,
即EF与FG所成锐角的度数为60°.
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角度和差计算
【点评】
本题结合工程车、路灯等生活场景考查平行线知识的应用，核心解题方法是过折点作平行线实现等角转化，属于平行线章节的典型题型，能够有效考查学生对基础模型的掌握和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
