1 如图，AB，CD相交于点E，且$AC// EF// DB$，点C，F，B在同一条直线上. 已知$AC = p$，$EF = r$，$DB = q$，嘉嘉得出结论$\frac{p}{q} = \frac{r}{p}$，淇淇得出结论$\frac{r}{p} + \frac{r}{q} = 1$，则（）

A.只有嘉嘉正确
B.只有淇淇正确
C.两人均正确
D.两人均不正确

1. B 【解析】
∵ AC//EF,
∴ △BEF∽△BAC,
∴ $\frac{EF}{AC} = \frac{BF}{BC}$.
∵ EF//DB,
∴ △CEF∽△CDB,
∴ $\frac{EF}{BD} = \frac{CF}{BC}$,
∴ $\frac{EF}{AC}+\frac{EF}{BD} = \frac{BF}{BC}+\frac{CF}{BC} = \frac{BF+CF}{BC} = \frac{BC}{BC} = 1$,即$\frac{r}{p} + \frac{r}{q} = 1$. 故选 B.

2[2026河南南阳质检]我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实,请尝试应用这个基本事实,并结合角的关系,证明相似三角形的预备定理.
已知:如图,D,E分别是AB,AC上的点,DE//BC.
求证:$△ ADE ∽ △ ABC$.

2.【证明】过点 D 作 DF//AC 交 BC 于点 F,如图，
∴ $\frac{FC}{BC}=\frac{AD}{AB}$.
∵ $DE// BC$,
∴ $∠ 1 = ∠ B$, $∠ 2 = ∠ C$, $\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}$,
∴ $\frac{FC}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$. $\because DE// BC$, $DF// AC$,
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形,
∴ $DE = FC$,
∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$. 又
∵ $∠ 1=∠ B,∠ 2=∠ C,∠ A=∠ A$,
∴ $△ ADE∽△ ABC$.

3[2025上海虹口区质检]下列四个图形中,已知∠1=∠2,则四个图中不一定包含相似三角形的是 ()

3. D 【解析】
A 如图,
∵ $∠ 1 = ∠ 2$, $∠ A = ∠ A$,
∴ $△ ABC∽△ ADE$,故不符合题意
B 如图,
∵ $∠ 1 = ∠ 2$, $∠ A = ∠ A$,
∴ $△ ABC∽△ ADE$,故不符合题意
C 如图,
∵ $∠ 1 = ∠ 2$, $∠ AOB = ∠ COD$,
∴ $△ AOB∽△ COD$,故不符合题意
D 如图,由 $∠ 1 = ∠ 2$ 不能证明 $△ ABD$ 与 $△ ACD$ 相似,故符合题意

4[2025浙江杭州期中]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,点$P$在边$AC$上,过$P$画直线截$△ ABC$,使截得的三角形与$△ ABC$相似,这样的直线最多可画 ()

A.1条
B.2条
C.3条
D.4条

(第4题图)
(第5题图)

4. C 【解析】如图,过点 $P$ 作 $PD ⊥ AB$ 于点 $D$,作 $PE ⊥ BC$ 于点 $E$,作 $PF ⊥ AC$ 交 $AB$ 于点 $F$, $\therefore ∠ ADP = ∠ PEC = ∠ APF = ∠ ABC = 90°$. 又
∵ $∠ DAP = ∠ BAC,∠ PCE = ∠ ACB,∠ PAF = ∠ BAC$,
∴ $△ DAP∽△ BAC$, $△ PCE∽△ ACB$, $△ PAF∽△ BAC$,
∴ 过 $P$ 画直线截 $△ ABC$,使截得的三角形与 $△ ABC$ 相似,这样的直线最多可画 3 条. 故选 C.

5 如图,点A,B,C,D为$\odot O$上的四个点,AC平分$∠ BAD$,AC交BD于点E,$CE=2$,$CD=3$,则AC的长为.

5. 4.5 【解析】
∵ $AC$ 平分 $∠ BAD$,
∴ $∠ BAC = ∠ DAC$,
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ $∠ BDC = ∠ CAD$.
∵ $∠ ACD = ∠ DCE$,
∴ $△ CDE∽△ CAD$,
∴ $CD:AC = CE:CD$,
∴ $CD^2 = AC· CE$,
∴ $3^2 = 2(2+AE)$,
∴ $AE = 2.5$,
∴ $AC = AE+CE = 4.5$,故答案为 4.5.
关键点拨
由 $AC$ 平分 $∠ BAD$,易证得 $∠ BDC = ∠ CAD$, 继而证得 $△ CDE∽△ CAD$, 然后由相似三角形的对应边成比例求得 $AE$ 的长,进而求出 $AC$ 的长.

6 新考法[2026陕西西安调研]如图,在△ABC中,已知BA=BC,∠B=36°,请在△ABC的边AB上找一点P,使△ABC∽△ACP,并给出证明过程.(尺规作图,保留作图痕迹)

放马过来鸭

6.【解】(作法及相应的证明过程不唯一)如图所示,作 $BC$ 的垂直平分线交 $AB$ 于点 $P$,则点 $P$ 即为所求.
证明:
∵ $BA = BC$, $∠ B = 36°$,
∴ $∠ ACB = ∠ A = \frac{1}{2}(180°-∠ B) = 72°$. 根据作图可得 $PB = PC$,
∴ $∠ PCB = ∠ B = 36°$,
∴ $∠ ACP = ∠ ACB - ∠ PCB = 72°- 36° = 36°$,
∴ $∠ ACP = ∠ B$. 又
∵ $∠ A = ∠ A$,
∴ $△ ABC∽△ ACP$.

7[2025浙江衢州质检]如图,在$△ ABC$中,D,E分别是AB,AC上的点,$∠ AED=∠ ABC$,$∠ BAC$的平分线AF交DE于点G,交BC于点F.
(1)试写出图中所有的相似三角形,并说明理由.
(2)若$\frac{AG}{GF}=\frac{3}{2}$,求$\frac{DE}{BC}$的值.

7.【解】(1) $△ ABC∽△ AED$, $△ AEG∽△ ABF$, $△ ADG∽△ ACF$. 理由如下:
∵ $∠ AED = ∠ ABC$,$∠ EAD = ∠ BAC$,
∴ $△ ABC∽△ AED$,
∴ $∠ ADE = ∠ ACB$.
∵ $AF$ 是 $∠ BAC$ 的平分线,
∴ $∠ BAF = ∠ CAF$.
∵ $∠ AED = ∠ ABC$,$∠ EAG = ∠ BAF$,
∴ $△ AEG∽△ ABF$.
∵ $∠ ADG = ∠ ACF$,$∠ DAG = ∠ CAF$,
∴ $△ ADG∽△ ACF$.
(2)
∵ $\frac{AG}{GF} = \frac{3}{2}$,
∴ $\frac{AG}{AF} = \frac{3}{5}$.
由(1)知 $△ ABC∽△ AED$,
∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AC}$.
由(1)知 $△ ADG∽△ ACF$,
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{AG}{AF} = \frac{DE}{BC}$,
∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{3}{5}$.
思路分析
(2)利用相似三角形对应边成比例的性质,结合已知的线段比例关系即可求解.