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9. 如图，$△ ABC$与$△ DEF$位似，点$O$是位似中心，若$OA:AD=2:3$，$△ DEF$与$△ ABC$的周长差为12 cm，则$△ ABC$的周长为（
A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
B
）A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
答案
9.B 【点拨】
∵△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，
∴AB//DE，△ABC∽△DEF.
∴△OAB∽△ODE.
∵$\frac{OA}{AD}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{DE}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{△ABC的周长}{△DEF的周长}=\frac{2}{5}$.
设△ABC的周长为2k cm，则△DEF的周长为5k cm，
∴5k−2k=12，
∴k=4，
∴2k=8.
∴△ABC的周长为8 cm.故选B.
∵△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，
∴AB//DE，△ABC∽△DEF.
∴△OAB∽△ODE.
∵$\frac{OA}{AD}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{DE}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{△ABC的周长}{△DEF的周长}=\frac{2}{5}$.
设△ABC的周长为2k cm，则△DEF的周长为5k cm，
∴5k−2k=12，
∴k=4，
∴2k=8.
∴△ABC的周长为8 cm.故选B.
10. 如图，已知$△ ABC$，在$△ ABC$外任取一点$O$，连接$AO,BO,CO$，在线段$AO,BO,CO$上分别取点$D,E,F$，使$OD=\dfrac{1}{3}AO$，$OE=\dfrac{1}{3}BO$，$OF=\dfrac{1}{3}CO$，连接$DE,EF,FD$。下列说法中，正确的个数是（
①$△ ABC$与$△ DEF$是位似图形；
②$△ ABC$与$△ DEF$是相似图形；
③$△ DEF$与$△ ABC$的周长比为$1:3$；
④$△ DEF$与$△ ABC$的面积比为$1:6$。
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
C
）①$△ ABC$与$△ DEF$是位似图形；
②$△ ABC$与$△ DEF$是相似图形；
③$△ DEF$与$△ ABC$的周长比为$1:3$；
④$△ DEF$与$△ ABC$的面积比为$1:6$。
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案
10.C 【点拨】①△ABC与△DEF是位似图形，正确；②△ABC与△DEF是相似图形，正确；③△DEF与△ABC的周长比为1：3，正确；④△DEF与△ABC的面积比为1：9，故说法④错误.
11. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=\dots=∠ LOM=30°$. 若$S_{△ AOB}=1$，则图中与$△ AOB$位似的三角形的面积为 (
A.$(\dfrac{4}{3})^3$
B.$(\dfrac{4}{3})^7$
C.$(\dfrac{4}{3})^6$
D.$(\dfrac{3}{4})^6$
C
)A.$(\dfrac{4}{3})^3$
B.$(\dfrac{4}{3})^7$
C.$(\dfrac{4}{3})^6$
D.$(\dfrac{3}{4})^6$
答案
11.C 【点拨】在Rt△AOB中，∠AOB=30°，
∴易得$OB=\frac{2}{\sqrt{3}}OA$.同理可得$OC=\frac{2}{\sqrt{3}}OB$，
∴$OC=(\frac{2}{\sqrt{3}})^2OA$.同理可得$OD=(\frac{2}{\sqrt{3}})^3OA$，…，$OG=(\frac{2}{\sqrt{3}})^6OA$.由位似图形的概念可知，△GOH与△AOB位似，且相似比为$OG:OA=(\frac{2}{\sqrt{3}})^6:1$.
∵$S_{△AOB}=1$，
∴$S_{△GOH}=[(\frac{2}{\sqrt{3}})^6]^2=(\frac{4}{3})^6$.故选C.
∴易得$OB=\frac{2}{\sqrt{3}}OA$.同理可得$OC=\frac{2}{\sqrt{3}}OB$，
∴$OC=(\frac{2}{\sqrt{3}})^2OA$.同理可得$OD=(\frac{2}{\sqrt{3}})^3OA$，…，$OG=(\frac{2}{\sqrt{3}})^6OA$.由位似图形的概念可知，△GOH与△AOB位似，且相似比为$OG:OA=(\frac{2}{\sqrt{3}})^6:1$.
∵$S_{△AOB}=1$，
∴$S_{△GOH}=[(\frac{2}{\sqrt{3}})^6]^2=(\frac{4}{3})^6$.故选C.
12. 已知正三角形ABC的边长为$3+\sqrt{3}$.
(1)如图①,正方形EFPN的顶点E,F在边AB上,顶点N在边AC上,在正三角形ABC及其内部,以点A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形$E'F'P'N'$,且使正方形$E'F'P'N'$的面积最大(不要求写作法);
(2)求(1)中作出的正方形$E'F'P'N'$的边长;
(3)如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE,EF在边AB上,点P,N分别在边CB,CA上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由.
(1)如图①,正方形EFPN的顶点E,F在边AB上,顶点N在边AC上,在正三角形ABC及其内部,以点A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形$E'F'P'N'$,且使正方形$E'F'P'N'$的面积最大(不要求写作法);
(2)求(1)中作出的正方形$E'F'P'N'$的边长;
(3)如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE,EF在边AB上,点P,N分别在边CB,CA上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由.
答案
12.【解】(1)如图①,正方形$E'F'P'N'$即为所求.
(2)设正方形$E'F'P'N'$的边长为x.
∵△ABC为正三角形，
∴易得$AE'=BF'=\frac{\sqrt{3}}{3}x$.
∵$E'F'+AE'+BF'=AB$，
∴$x+\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}x=3+\sqrt{3}$.
∴$x=3\sqrt{3}-3$.
∴正方形$E'F'P'N'$的边长为$3\sqrt{3}-3$.
(3)这两个正方形面积和的最大值是$99-54\sqrt{3}$，最小值是$\frac{9}{2}$.
理由如下:如图②,连接NE,EP,PN,则∠NEP=90°.
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m,n(m≥n),它们的面积和为S,则$NE=\sqrt{2}m$,$PE=\sqrt{2}n$,
∴$PN^2=NE^2+PE^2=2m^2+2n^2=2(m^2+n^2)$.
∴$S=m^2+n^2=\frac{1}{2}PN^2$.
延长PH交ND于点G,则PG⊥ND.
在Rt△PGN中,$PN^2=PG^2+GN^2=(m+n)^2+(m-n)^2$.
易得$AD=\frac{\sqrt{3}}{3}m$,$BF=\frac{\sqrt{3}}{3}n$.
∵$AD+DE+EF+BF=AB$,
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}m+m+n+\frac{\sqrt{3}}{3}n=\sqrt{3}+3$,化简得m+n=3.
∴$S=\frac{1}{2}[(m+n)^2+(m-n)^2]=\frac{9}{2}+\frac{1}{2}(m-n)^2$.
①当$(m-n)^2=0$,即m=n时,S最小,为$\frac{9}{2}$;
②当$(m-n)^2$最大时,S最大,
即当m最大且n最小时,S最大.
由(2)知,$m_{最大}=3\sqrt{3}-3$.
∵m+n=3,
∴$n_{最小}=3-(3\sqrt{3}-3)=6-3\sqrt{3}$.
∴$S_{最大}=\frac{1}{2}[9+(m_{最大}-n_{最小})^2]=\frac{1}{2}×[9+(3\sqrt{3}-3-6+3\sqrt{3})^2]=99-54\sqrt{3}$.
综上所述,这两个正方形面积和的最大值是$99-54\sqrt{3}$,最小值是$\frac{9}{2}$.
