1 如图，$AB // DE$，$∠ 1 = 25°$，$∠ 2 = 110°$，则$∠ BCD$的度数为。（第1题）

95° 【解析】如图，过点 C 作 $CF// AB$. $\because AB// DE$, $\therefore AB// DE// CF$. $\therefore ∠ 3=∠ 1=25^{\circ },∠ 4=180^{\circ }-∠ 2=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }. \therefore ∠ BCD=∠ 3+∠ 4=25^{\circ }+70^{\circ }=95^{\circ }.$

【分析】
本题属于平行线间的“拐点”问题，遇到这类问题常用的方法是过拐点作已知平行线的辅助线，利用平行线的性质转化角度关系求解。已知$AB// DE$，要求$∠ BCD$的度数，我们可以过点C作$CF// AB$，根据平行公理的推论可得三条直线互相平行，此时$∠ BCD$被拆分为$∠ 3$和$∠ 4$两个角，其中$∠ 3$与$∠ 1$是内错角，度数相等，$∠ 4$与$∠ 2$是同旁内角，两者互补，分别求出两个角的度数相加即可得到$∠ BCD$的度数。
【解析】
如图，过点$C$作 $CF// AB$。
$\because AB// DE$，
$\therefore AB// DE// CF$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ 3=∠ 1=25°$（两直线平行，内错角相等），
$∠ 4=180°-∠ 2=180°-110°=70°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠ BCD=∠ 3+∠ 4=25°+70°=95°$。
【答案】
95°
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角度计算
【点评】
本题是平行线中的经典“拐点”题型，解题核心是掌握拐点问题的常用辅助线作法，通过作平行线将待求角拆分为可利用平行线性质求解的角，侧重考查学生对平行线性质的灵活运用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7

2 如图①，$l_1 // l_2$，$l_3$分别交$l_1,l_2$于A,B两点，$l_4$分别交$l_1,l_2$于C,D两点，点P在线段AB上，连接CP,DP.
（1）若$∠ 1=22°,∠ 2=33°$，则$∠ 3=$.
（2）试找出$∠ 1,∠ 2,∠ 3$之间的等量关系，并说明理由.
（3）运用（2）中的结论解答下面的问题：如图②，点A在点B的北偏东$40°$的方向上，在点C的北偏西$45°$的方向上，求$∠ BAC$的度数.
（4）如果点P在直线$l_3$上且在A,B两点外侧运动（点P和A,B两点不重合），其他条件不变，试探究$∠ 1,∠ 2,∠ 3$之间的关系.

(1) $55^{\circ }$ (2) $∠ 3=∠ 1+∠ 2$ 理由:如图①,过点 P 作 $PE// l_1$. $\because l_1// l_2,\therefore PE// l_1// l_2.\therefore ∠ 1=∠ CPE,∠ 2=∠ DPE.$ $\because ∠ 3=∠ CPE+∠ DPE,\therefore ∠ 3=∠ 1+∠ 2.$ (3) 由题意,得$∠ ABD=40^{\circ },∠ ACE=45^{\circ }$. 由(2)可知, $∠ A=∠ ABD+∠ ACE=40^{\circ }+45^{\circ }=85^{\circ }$ (4) 当点 P 在 BA 的延长线上时,如图②,过点 P 作 $PF// l_1$,交 $l_4$ 于点 F. $\therefore ∠ 1=∠ FPC.\because l_1// l_2,\therefore PF// l_2.\therefore ∠ 2=∠ FPD.\therefore ∠ 3=∠ FPD-∠ FPC=∠ 2-∠ 1.$ 当点 P 在 AB 的延长线上时,如图③,过点 P 作 $PG// l_2$,交 $l_4$ 于点 G. $\therefore ∠ 2=∠ GPD.\because l_1// l_2,\therefore PG// l_1. \therefore ∠ 1=∠ CPG.\therefore ∠ 3=∠ CPG-∠ GPD=∠ 1-∠ 2.$

【分析】
（1）已知$l_1//l_2$，点P是两平行线间的拐点，通过过P作平行线可将$∠ 3$拆分为分别与$∠ 1$、$∠ 2$相等的两个角，相加即可求得$∠ 3$的度数。
（2）探究三个角的等量关系时，同样过拐点P作平行于$l_1$的直线，根据平行线的传递性可知该直线也平行于$l_2$，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可推导得到$∠ 3$与$∠ 1$、$∠ 2$的和差关系。
（3）方位角问题中，两条正北方向的线互相平行，点A是两平行线间的拐点，可直接套用（2）的结论，将两个方位角的度数相加得到$∠ BAC$的度数。
（4）点P在A、B外侧运动时，需分两种情况讨论：点P在BA延长线上、点P在AB延长线上，分别过P作平行线，利用平行线的性质推导角的差的关系。
【解析】
(1) 过点P作$PE//l_1$，$\because l_1//l_2$，$\therefore PE//l_1//l_2$，可得$∠ 1=∠ CPE$，$∠ 2=∠ DPE$，因此$∠ 3=∠ CPE+∠ DPE=22°+33°=55°$。
(2) 等量关系：$∠ 3=∠ 1+∠ 2$。理由：如图①，过点P作$PE//l_1$。$\because l_1//l_2$，$\therefore PE//l_1//l_2$，$\therefore ∠ 1=∠ CPE$，$∠ 2=∠ DPE$。$\because ∠ 3=∠ CPE+∠ DPE$，$\therefore ∠ 3=∠ 1+∠ 2$。

(3) 由题意得，正北方向线$BD//CE$，$∠ ABD=40°$，$∠ ACE=45°$，结合（2）的结论可得$∠ BAC=∠ ABD+∠ ACE=40°+45°=85°$。
(4) 分两种情况讨论：
①当点P在BA的延长线上时，如图②，过点P作$PF//l_1$，交$l_4$于点F，$\therefore ∠ 1=∠ FPC$。$\because l_1//l_2$，$\therefore PF//l_2$，$\therefore ∠ 2=∠ FPD$，因此$∠ 3=∠ FPD-∠ FPC=∠ 2-∠ 1$。

②当点P在AB的延长线上时，如图③，过点P作$PG//l_2$，交$l_4$于点G，$\therefore ∠ 2=∠ GPD$。$\because l_1//l_2$，$\therefore PG//l_1$，$\therefore ∠ 1=∠ CPG$，因此$∠ 3=∠ CPG-∠ GPD=∠ 1-∠ 2$。

【答案】
(1) $55^{\circ }$
(2) $∠ 3=∠ 1+∠ 2$，理由见解析

(3) $85^{\circ }$
(4) 当点P在BA延长线上时，$∠3=∠2-∠1$；当点P在AB延长线上时，$∠3=∠1-∠2$

【知识点】
平行线的性质，角度和差计算，分类讨论
【点评】
本题是平行线中典型的“拐点”问题，解题核心是过拐点作已知直线的平行线，利用平行线的性质实现角的转化，涉及动点问题时要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65

3 已知$AB// CD$.
（1）如图①，$∠1+∠2$的度数为；
（2）如图②，$∠1+∠2+∠3$的度数为；
（3）如图③，$∠1+∠2+∠3+∠4$的度数为；
（4）如图④，$∠1+∠2+∠3+∠4+\dots+∠ n$的度数为.

(1) $180^{\circ }$ (2) $360^{\circ }$ (3) $540^{\circ }$ (4) $(n-1)· 180^{\circ }$

【分析】
这是平行线中的拐点类问题，解题核心方法是过拐点作已知平行线的平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”推导角度和，再通过前几问的结果总结一般规律：
1. 图①没有拐点，直接用平行线同旁内角互补的性质求解；
2. 图②有1个拐点E，过E作AB的平行线，将3个角拆成2组同旁内角，每组和为180°；
3. 图③有2个拐点E、F，分别过两个拐点作AB的平行线，拆成3组同旁内角，每组和为180°；
4. 观察前3问的规律：角的数量为m时，角度和为(m-1)×180°，延伸到n个角即可得到通用结论。
【解析】
（1）
∵AB//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，
∴∠1+∠2=180°；
（2）过点E作EG//AB，
∵AB//CD，
∴EG//AB//CD。
则∠1+∠AEG=180°，∠3+∠CEG=180°，
∴∠1+∠AEG+∠CEG+∠3=180°+180°=360°，即∠1+∠2+∠3=360°；
（3）分别过点E、F作EG//AB，FH//AB，
∵AB//CD，
∴EG//FH//AB//CD。
则∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°，
三个式子相加得∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°；
（4）观察前3问结果：2个角时和为1×180°，3个角时和为2×180°，4个角时和为3×180°，
由此可推，n个角时，角度和为$(n-1)· 180^{\circ }$。
【答案】
(1) $180^{\circ }$ (2) $360^{\circ }$ (3) $540^{\circ }$ (4) $(n-1)· 180^{\circ }$
【知识点】
平行线的性质，同旁内角互补，规律探究
【点评】
本题是平行线拐点问题的典型考题，关键是掌握过拐点作平行线的辅助线作法，将多个角拆分为多组同旁内角，再通过特殊情况归纳一般规律即可求解。
【难度系数】
0.7

4（1）如图①，$AB // CD$，求证：$∠ BED = ∠1+∠2$；
（2）如图②，$AB // CD$，写出$∠1$，$∠ EGH$与$∠2$，$∠ BEG$之间的数量关系，并证明；
（3）如图③，$AB // CD$，直接写出$∠1$，$∠3$，$∠5$与$∠2$，$∠4$，$∠6$之间的关系。

(1) 如图①,过点 E 作 $EF// AB$. $\because AB// CD,\therefore AB// CD// EF.\therefore ∠ 3=∠ 1,∠ 4=∠ 2.\therefore ∠ 3+∠ 4=∠ 1+∠ 2$,即$∠ BED=∠ 1+∠ 2$ (2) $∠ 1+∠ EGH=∠ 2+∠ BEG$ 如图②,分别过点 E,G 作 $EF// AB,GM// AB.\because AB// CD,\therefore AB// EF// GM// CD.\therefore ∠ 1=∠ 3,∠ 4=∠ 5,∠ 6=∠ 2.\therefore ∠ 1+∠ 5+∠ 6=∠ 3+∠ 4+∠ 2$,即$∠ 1+∠ EGH=∠ 2+∠ BEG$ (3) $∠ 1+∠ 3+∠ 5=∠ 2+∠ 4+∠ 6$

【分析】
本题属于平行线中的典型拐点问题，通用解法为过拐点作平行于已知直线的辅助线，利用平行线的性质转化角的关系：
（1）第（1）问仅有1个拐点E，过E作EF//AB，结合AB//CD可得到三条直线互相平行，依据两直线平行内错角相等，将∠BED拆成的两个角分别与∠1、∠2相等，即可证明结论。
（2）第（2）问有2个拐点E、G，分别过两个拐点作平行于AB的辅助线，同理可得四条直线互相平行，将各个角通过内错角对应转化，整理后即可得到四个角的数量关系。
（3）第（3）问可通过前两问的推导归纳规律，多个拐点时累加对应相等的角，即可直接得到角的和的关系。
【解析】
(1) 如图①，过点E作$EF// AB$。
$\because AB// CD$，$\therefore AB// CD// EF$。
$\therefore ∠3=∠1$，$∠4=∠2$。
$\therefore ∠3+∠4=∠1+∠2$，即$∠BED=∠1+∠2$。
(2) 数量关系为$\boldsymbol{∠1+∠EGH=∠2+∠BEG}$，证明如下：
如图②，分别过点E、G作$EF// AB$，$GM// AB$。
$\because AB// CD$，$\therefore AB// EF// GM// CD$。
$\therefore ∠1=∠3$，$∠4=∠5$，$∠6=∠2$。
$\therefore ∠1+∠5+∠6=∠3+∠4+∠2$，即$∠1+∠EGH=∠2+∠BEG$。
(3) 参照前两问的推导规律，可得：$∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $∠1+∠EGH=∠2+∠BEG$，证明见解析；
(3) $∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6$

【知识点】
平行线的性质；平行的传递性；内错角相等
【点评】
本题是平行线多拐点问题的经典题型，核心解题思路是过拐点作已知直线的平行线，将复杂的角的关系转化为简单的内错角相等关系，推导过程体现了从特殊到一般的归纳思想，掌握该方法可快速求解同类型问题。
【难度系数】
0.7