登录
1. 已知圆锥的底面半径为5 cm，母线长为13 cm，则这个圆锥的全面积是（
A.$65π \ \mathrm{cm}^2$
B.$90π \ \mathrm{cm}^2$
C.$130π \ \mathrm{cm}^2$
D.$155π \ \mathrm{cm}^2$
B
）A.$65π \ \mathrm{cm}^2$
B.$90π \ \mathrm{cm}^2$
C.$130π \ \mathrm{cm}^2$
D.$155π \ \mathrm{cm}^2$
答案
1.B
解析
【分析】
要计算圆锥的全面积，首先明确圆锥全面积由侧面积和底面积两部分组成。解题思路为：第一步先计算圆锥的底面积，底面是圆形，已知底面半径可直接用圆的面积公式计算；第二步计算圆锥的侧面积，圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（其中$r$是底面半径，$l$是母线长），代入已知的半径和母线长即可算出侧面积；第三步将侧面积和底面积相加得到全面积，对应选项选出答案即可。
【解析】
首先计算圆锥的底面积：
底面是半径$r=5\ \mathrm{cm}$的圆，根据圆的面积公式$S_{\mathrm{底}}=π r^2$，代入得$S_{\mathrm{底}}=π×5^2=25π\ \mathrm{cm}^2$。
再计算圆锥的侧面积：
已知母线长$l=13\ \mathrm{cm}$，根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入得$S_{\mathrm{侧}}=π×5×13=65π\ \mathrm{cm}^2$。
最后计算全面积：
$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=65π+25π=90π\ \mathrm{cm}^2$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积公式；圆的面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对圆锥面积相关公式的掌握，只要牢记公式、准确代入已知量计算即可正确解答。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥的全面积，首先明确圆锥全面积由侧面积和底面积两部分组成。解题思路为：第一步先计算圆锥的底面积，底面是圆形，已知底面半径可直接用圆的面积公式计算；第二步计算圆锥的侧面积，圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（其中$r$是底面半径，$l$是母线长），代入已知的半径和母线长即可算出侧面积；第三步将侧面积和底面积相加得到全面积，对应选项选出答案即可。
【解析】
首先计算圆锥的底面积：
底面是半径$r=5\ \mathrm{cm}$的圆，根据圆的面积公式$S_{\mathrm{底}}=π r^2$，代入得$S_{\mathrm{底}}=π×5^2=25π\ \mathrm{cm}^2$。
再计算圆锥的侧面积：
已知母线长$l=13\ \mathrm{cm}$，根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入得$S_{\mathrm{侧}}=π×5×13=65π\ \mathrm{cm}^2$。
最后计算全面积：
$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=65π+25π=90π\ \mathrm{cm}^2$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积公式；圆的面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对圆锥面积相关公式的掌握，只要牢记公式、准确代入已知量计算即可正确解答。
【难度系数】
0.8
2. 哈尼族蘑菇房是云南极具特色的传统民居，其锥形茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候. 某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型. 已知该圆锥模型的底面周长为 $8π$，母线长为6，则此圆锥的侧面积为 （
A.$12π$
B.$24π$
C.$30π$
D.$48π$
B
）A.$12π$
B.$24π$
C.$30π$
D.$48π$
答案
2.B
解析
【分析】
要计算圆锥的侧面积，首先回忆圆锥侧面积的相关计算方法：圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，因此圆锥侧面积可以通过扇形面积公式推导计算，也可以直接用圆锥侧面积公式求解。已知题目给出了底面周长和母线长，代入对应公式即可算出结果。
【解析】
方法1：利用扇形面积公式计算
圆锥侧面展开为扇形，扇形弧长$l$=圆锥底面周长=$8π$，扇形半径$R$=圆锥母线长=6，
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$，代入数值可得：
$S_{侧}=\frac{1}{2}×8π×6=24π$。
方法2：利用圆锥侧面积公式计算
先求底面半径$r$，由圆的周长公式$C=2π r=8π$，解得$r=4$，
圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（其中$l$为母线长），代入$r=4$，$l=6$可得：
$S_{侧}=π×4×6=24π$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.圆锥侧面积计算
2.圆的周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考察圆锥侧面积的计算，熟练掌握圆锥侧面积的两种计算方法、明确圆锥各参数和侧面展开扇形参数的对应关系即可快速求解，解题时注意不要混淆母线长和底面半径的对应关系。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥的侧面积，首先回忆圆锥侧面积的相关计算方法：圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，因此圆锥侧面积可以通过扇形面积公式推导计算，也可以直接用圆锥侧面积公式求解。已知题目给出了底面周长和母线长，代入对应公式即可算出结果。
【解析】
方法1：利用扇形面积公式计算
圆锥侧面展开为扇形，扇形弧长$l$=圆锥底面周长=$8π$，扇形半径$R$=圆锥母线长=6，
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$，代入数值可得：
$S_{侧}=\frac{1}{2}×8π×6=24π$。
方法2：利用圆锥侧面积公式计算
先求底面半径$r$，由圆的周长公式$C=2π r=8π$，解得$r=4$，
圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（其中$l$为母线长），代入$r=4$，$l=6$可得：
$S_{侧}=π×4×6=24π$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.圆锥侧面积计算
2.圆的周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考察圆锥侧面积的计算，熟练掌握圆锥侧面积的两种计算方法、明确圆锥各参数和侧面展开扇形参数的对应关系即可快速求解，解题时注意不要混淆母线长和底面半径的对应关系。
【难度系数】
0.8
3.(广安中考)如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为$90°$的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（
A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{5}{2}$
D.5
A
）A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{5}{2}$
D.5
答案
3.A
解析
【分析】
要解决这道题，需抓住圆锥侧面展开图和底面圆的核心等量关系：圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径对应圆锥的母线长。解题思路：首先利用弧长公式算出展开扇形的弧长，再根据弧长等于底面圆周长列等式，求解底面圆半径即可。
【解析】
设该圆锥的底面圆的半径为$r$。
1. 计算侧面展开扇形的弧长：已知扇形圆心角为$90°$，半径（即圆锥母线长）为5，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），可得弧长$l=\frac{90π×5}{180}=\frac{5π}{2}$。
2. 根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆周长，可得等式：$2π r=\frac{5π}{2}$。
3. 求解$r$：等式两边同时除以$π$得$2r=\frac{5}{2}$，解得$r=\frac{5}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、圆周长计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题，解题核心是明确侧面展开扇形与圆锥底面圆的等量对应关系，熟练掌握弧长和圆周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需抓住圆锥侧面展开图和底面圆的核心等量关系：圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径对应圆锥的母线长。解题思路：首先利用弧长公式算出展开扇形的弧长，再根据弧长等于底面圆周长列等式，求解底面圆半径即可。
【解析】
设该圆锥的底面圆的半径为$r$。
1. 计算侧面展开扇形的弧长：已知扇形圆心角为$90°$，半径（即圆锥母线长）为5，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），可得弧长$l=\frac{90π×5}{180}=\frac{5π}{2}$。
2. 根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆周长，可得等式：$2π r=\frac{5π}{2}$。
3. 求解$r$：等式两边同时除以$π$得$2r=\frac{5}{2}$，解得$r=\frac{5}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、圆周长计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题，解题核心是明确侧面展开扇形与圆锥底面圆的等量对应关系，熟练掌握弧长和圆周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为$24π\ \mathrm{cm}$，侧面积为$240π\ \mathrm{cm}^2$，则该吊灯外罩的高是（
A.$12\ \mathrm{cm}$
B.$16\ \mathrm{cm}$
C.$24π\ \mathrm{cm}$
D.$30\ \mathrm{cm}$
B
）A.$12\ \mathrm{cm}$
B.$16\ \mathrm{cm}$
C.$24π\ \mathrm{cm}$
D.$30\ \mathrm{cm}$
答案
4.B
解析
【分析】
要计算圆锥的高，需先明确圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，其中母线长为斜边，因此我们可以分三步求解：第一步根据底面周长求出底面半径r；第二步根据圆锥侧面积公式求出母线长l；第三步利用勾股定理计算圆锥的高h。
【解析】
设该圆锥的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，母线长为$l\ \mathrm{cm}$，高为$h\ \mathrm{cm}$。
1. 求底面半径：
已知底面周长为$24π\ \mathrm{cm}$，由圆的周长公式$C=2π r$，可得：
$2π r=24π$，解得$r=12$。
2. 求母线长：
已知圆锥侧面积为$240π\ \mathrm{cm}^2$，由圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入$r=12$可得：
$π×12× l=240π$，两边同时除以$π$得$12l=240$，解得$l=20$。
3. 求圆锥的高：
圆锥的高、底面半径、母线长满足勾股定理$h^2+r^2=l^2$，代入数值：
$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$，即高为$16\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积公式；勾股定理；圆的周长公式
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题核心是牢记圆锥各基本量之间的对应关系，结合几何性质计算即可，熟练掌握公式是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥的高，需先明确圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，其中母线长为斜边，因此我们可以分三步求解：第一步根据底面周长求出底面半径r；第二步根据圆锥侧面积公式求出母线长l；第三步利用勾股定理计算圆锥的高h。
【解析】
设该圆锥的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，母线长为$l\ \mathrm{cm}$，高为$h\ \mathrm{cm}$。
1. 求底面半径：
已知底面周长为$24π\ \mathrm{cm}$，由圆的周长公式$C=2π r$，可得：
$2π r=24π$，解得$r=12$。
2. 求母线长：
已知圆锥侧面积为$240π\ \mathrm{cm}^2$，由圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入$r=12$可得：
$π×12× l=240π$，两边同时除以$π$得$12l=240$，解得$l=20$。
3. 求圆锥的高：
圆锥的高、底面半径、母线长满足勾股定理$h^2+r^2=l^2$，代入数值：
$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$，即高为$16\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积公式；勾股定理；圆的周长公式
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题核心是牢记圆锥各基本量之间的对应关系，结合几何性质计算即可，熟练掌握公式是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为$60π$，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为
10
。答案
5.10
解析
【分析】
解题时首先回忆圆锥侧面积的计算公式：圆锥侧面积等于π乘底面半径乘母线长（$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，其中r为底面半径，l为母线长）。本题已知侧面积和底面半径，只需将已知量代入公式，解关于母线长的一元一次方程即可求出结果。
【解析】
根据圆锥侧面积公式：$S_{\mathrm{侧}}=π r l$（r为底面半径，l为母线长），
由题可知$S_{\mathrm{侧}}=60π$，$r=6$，代入公式得：
$60π = π × 6 × l$
两边同时除以$π$，可得$60=6l$，
解得$l=10$。
【答案】
10
【知识点】
圆锥侧面积计算、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查圆锥侧面积公式的应用，解题的关键是准确记忆公式，代入数值计算时注意避免混淆侧面积和全面积公式。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆锥侧面积的计算公式：圆锥侧面积等于π乘底面半径乘母线长（$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，其中r为底面半径，l为母线长）。本题已知侧面积和底面半径，只需将已知量代入公式，解关于母线长的一元一次方程即可求出结果。
【解析】
根据圆锥侧面积公式：$S_{\mathrm{侧}}=π r l$（r为底面半径，l为母线长），
由题可知$S_{\mathrm{侧}}=60π$，$r=6$，代入公式得：
$60π = π × 6 × l$
两边同时除以$π$，可得$60=6l$，
解得$l=10$。
【答案】
10
【知识点】
圆锥侧面积计算、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查圆锥侧面积公式的应用，解题的关键是准确记忆公式，代入数值计算时注意避免混淆侧面积和全面积公式。
【难度系数】
0.8
6.如图,用半径为24 cm,圆心角为$120°$的扇形纸板,做一个圆锥形的生日帽,在不考虑接缝的情况下,这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是
第6题图 第7题图
16π
cm.第6题图 第7题图
答案
6.16π
解析
【分析】
要解决本题，首先明确扇形围成圆锥的等量关系：圆锥形生日帽的底面圆周长等于用来制作它的扇形的弧长，因此本题可转化为求已知圆心角、半径的扇形的弧长，再代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 扇形围成圆锥时，扇形的弧长与圆锥底面圆的周长相等
已知扇形的圆心角$n=120°$，半径$R=24\ \mathrm{cm}$
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入数据得：
$l=\frac{120×π×24}{180}=16π\ (\mathrm{cm})$
即这个圆锥形生日帽的底面圆周长是$16π\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$16π$
【知识点】
弧长公式；圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题属于基础常考题，解题的核心是掌握圆锥侧面展开图和扇形的对应关系，明确圆锥底面周长等于对应扇形的弧长，牢记弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确扇形围成圆锥的等量关系：圆锥形生日帽的底面圆周长等于用来制作它的扇形的弧长，因此本题可转化为求已知圆心角、半径的扇形的弧长，再代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 扇形围成圆锥时，扇形的弧长与圆锥底面圆的周长相等
已知扇形的圆心角$n=120°$，半径$R=24\ \mathrm{cm}$
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入数据得：
$l=\frac{120×π×24}{180}=16π\ (\mathrm{cm})$
即这个圆锥形生日帽的底面圆周长是$16π\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$16π$
【知识点】
弧长公式；圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题属于基础常考题，解题的核心是掌握圆锥侧面展开图和扇形的对应关系，明确圆锥底面周长等于对应扇形的弧长，牢记弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7.如图,要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计),若该圆锥的底面圆的周长为$20π$ cm,侧面积为$240π$ cm²,则这个扇形的圆心角的度数是
150
°.答案
7.150
解析
【分析】
要解决这道题，需明确圆锥侧面展开图是扇形，其中扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的面积等于圆锥的侧面积。解题步骤可分为两步：第一步利用扇形侧面积公式求出扇形的半径（即圆锥母线长），第二步利用弧长公式求出扇形的圆心角度数。
【解析】
设扇形的半径为$ R $ cm，圆心角的度数为$ n° $。
1. 由题意可知，扇形的弧长$ l $等于圆锥底面周长，即$ l=20π $ cm，圆锥侧面积等于扇形面积，为$ 240π $ $ \mathrm{cm}^2 $。
根据扇形面积公式$ S_{\mathrm{扇}}=\frac{1}{2}lR $，代入已知数值：
$ 240π=\frac{1}{2}×20π× R $
化简得：$ 10π R=240π $，解得$ R=24 $ cm。
2. 再根据弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $，将$ l=20π $、$ R=24 $代入：
$ 20π=\frac{nπ×24}{180} $
两边同时除以$ π $，化简得：$ 20=\frac{24n}{180} $
解得：$ n=\frac{20×180}{24}=150 $。
【答案】
150
【知识点】
圆锥与展开扇形的关系；扇形面积计算；弧长计算
【点评】
本题是圆锥侧面积相关的常规题型，解题核心是找准圆锥和其展开扇形的对应等量关系，熟练掌握扇形的面积、弧长公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需明确圆锥侧面展开图是扇形，其中扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的面积等于圆锥的侧面积。解题步骤可分为两步：第一步利用扇形侧面积公式求出扇形的半径（即圆锥母线长），第二步利用弧长公式求出扇形的圆心角度数。
【解析】
设扇形的半径为$ R $ cm，圆心角的度数为$ n° $。
1. 由题意可知，扇形的弧长$ l $等于圆锥底面周长，即$ l=20π $ cm，圆锥侧面积等于扇形面积，为$ 240π $ $ \mathrm{cm}^2 $。
根据扇形面积公式$ S_{\mathrm{扇}}=\frac{1}{2}lR $，代入已知数值：
$ 240π=\frac{1}{2}×20π× R $
化简得：$ 10π R=240π $，解得$ R=24 $ cm。
2. 再根据弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $，将$ l=20π $、$ R=24 $代入：
$ 20π=\frac{nπ×24}{180} $
两边同时除以$ π $，化简得：$ 20=\frac{24n}{180} $
解得：$ n=\frac{20×180}{24}=150 $。
【答案】
150
【知识点】
圆锥与展开扇形的关系；扇形面积计算；弧长计算
【点评】
本题是圆锥侧面积相关的常规题型，解题核心是找准圆锥和其展开扇形的对应等量关系，熟练掌握扇形的面积、弧长公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形,若扇形的半径l是5,则该圆锥的全面积是
6π
.答案
8.6π
解析
【分析】
要计算圆锥的全面积，需先分别求出圆锥的侧面积和底面积，再求和。首先明确圆锥侧面展开图的对应关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形半径等于圆锥的母线长。解题时第一步先根据圆心角和母线长算出扇形的弧长，第二步利用弧长等于底面周长求出底面半径，第三步分别计算侧面积、底面积，相加得到全面积。
【解析】
1. 计算侧面展开扇形的弧长：
弧长公式为$l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），代入$n=72°$，$R=5$，得：
$l_{\mathrm{弧}}=\frac{72π×5}{180}=2π$
2. 求圆锥底面半径$r$：
圆锥底面圆的周长等于扇形弧长，即$2π r=l_{\mathrm{弧}}$，代入$l_{\mathrm{弧}}=2π$：
$2π r=2π$，解得$r=1$
3. 计算圆锥的全面积：
全面积=侧面积+底面积，其中侧面积$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}× l_{\mathrm{弧}}× R=\frac{1}{2}×2π×5=5π$，底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×1^2=π$
所以全面积$S_{\mathrm{全}}=5π+π=6π$
【答案】
$6π$
【知识点】
圆锥的侧面展开图，弧长计算，圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题核心是抓住圆锥侧面展开图与圆锥各参数的对应关系，尤其是“扇形弧长等于底面圆周长”这个等量关系，熟练掌握公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥的全面积，需先分别求出圆锥的侧面积和底面积，再求和。首先明确圆锥侧面展开图的对应关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形半径等于圆锥的母线长。解题时第一步先根据圆心角和母线长算出扇形的弧长，第二步利用弧长等于底面周长求出底面半径，第三步分别计算侧面积、底面积，相加得到全面积。
【解析】
1. 计算侧面展开扇形的弧长：
弧长公式为$l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），代入$n=72°$，$R=5$，得：
$l_{\mathrm{弧}}=\frac{72π×5}{180}=2π$
2. 求圆锥底面半径$r$：
圆锥底面圆的周长等于扇形弧长，即$2π r=l_{\mathrm{弧}}$，代入$l_{\mathrm{弧}}=2π$：
$2π r=2π$，解得$r=1$
3. 计算圆锥的全面积：
全面积=侧面积+底面积，其中侧面积$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}× l_{\mathrm{弧}}× R=\frac{1}{2}×2π×5=5π$，底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×1^2=π$
所以全面积$S_{\mathrm{全}}=5π+π=6π$
【答案】
$6π$
【知识点】
圆锥的侧面展开图，弧长计算，圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题核心是抓住圆锥侧面展开图与圆锥各参数的对应关系，尤其是“扇形弧长等于底面圆周长”这个等量关系，熟练掌握公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
9. 如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型。若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是
R=4r
。答案
9.R=4r
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确圆锥的构成特点：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长恰好等于圆锥底面圆的周长，这是本题的核心等量关系。首先观察图形可得，剪下的扇形圆心角为90°（即四分之一圆），接下来分别计算扇形的弧长和小圆的周长，令二者相等后化简即可得到R和r的数量关系。
【解析】
∵ 剪下的扇形和圆形恰好围成圆锥，
∴ 扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长。
由图可知，扇形的圆心角为90°，半径为R，
根据弧长公式，扇形弧长为：$\frac{90π R}{180} = \frac{π R}{2}$。
已知底面圆半径为r，根据圆的周长公式，底面圆周长为：$2π r$。
令二者相等：$\frac{π R}{2} = 2π r$，
两边同时除以π得：$\frac{R}{2} = 2r$，
化简得：$R=4r$。
【答案】
R=4r
【知识点】
圆锥展开图性质，弧长计算，圆的周长计算
【点评】
本题的解题关键是找准扇形弧长和圆锥底面周长的等量关系，解题时要先结合图形判断扇形的圆心角度数，再代入公式计算即可，属于基础的几何对应关系应用题。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确圆锥的构成特点：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长恰好等于圆锥底面圆的周长，这是本题的核心等量关系。首先观察图形可得，剪下的扇形圆心角为90°（即四分之一圆），接下来分别计算扇形的弧长和小圆的周长，令二者相等后化简即可得到R和r的数量关系。
【解析】
∵ 剪下的扇形和圆形恰好围成圆锥，
∴ 扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长。
由图可知，扇形的圆心角为90°，半径为R，
根据弧长公式，扇形弧长为：$\frac{90π R}{180} = \frac{π R}{2}$。
已知底面圆半径为r，根据圆的周长公式，底面圆周长为：$2π r$。
令二者相等：$\frac{π R}{2} = 2π r$，
两边同时除以π得：$\frac{R}{2} = 2r$，
化简得：$R=4r$。
【答案】
R=4r
【知识点】
圆锥展开图性质，弧长计算，圆的周长计算
【点评】
本题的解题关键是找准扇形弧长和圆锥底面周长的等量关系，解题时要先结合图形判断扇形的圆心角度数，再代入公式计算即可，属于基础的几何对应关系应用题。
【难度系数】
0.7
10.如图,这是圆锥侧面展开得到的扇形,此扇形的半径$CA=3$,圆心角$∠ ACB=120°$.
(1)求$\overset{\frown}{AB}$的长;
(2)求此圆锥高$OC$的长.
(1)求$\overset{\frown}{AB}$的长;
(2)求此圆锥高$OC$的长.
答案
10.解:(1)$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{120π×3}{180}=2π$.
(2)设$OA$的长为$r$,则$2πr=2π$,解得$r=1$. 在$Rt△AOC$中,$∠AOC=90°$,由勾股定理,得$OC=\sqrt{AC^2-AO^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$.
(2)设$OA$的长为$r$,则$2πr=2π$,解得$r=1$. 在$Rt△AOC$中,$∠AOC=90°$,由勾股定理,得$OC=\sqrt{AC^2-AO^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 求$\overset{\frown}{AB}$的长时，已知扇形的半径和圆心角，直接套用弧长公式即可求解。
(2) 求圆锥的高$OC$时，首先要明确圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，先通过弧长计算出底面半径$OA$的长度，再结合圆锥的母线、底面半径、高恰好构成直角三角形，利用勾股定理即可求出高$OC$的长度。
【解析】
(1) 已知扇形半径$CA=3$，圆心角$∠ ACB=120°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），可得：
$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{120π×3}{180}=2π$。
(2) 设圆锥底面圆的半径$OA=r$，由于圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，因此有：
$2π r=2π$，解得$r=1$。
在$Rt△ AOC$中，$∠ AOC=90°$，母线$AC=3$，$AO=1$，由勾股定理可得：
$OC=\sqrt{AC^2-AO^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{AB}$的长为$2π$；(2) 圆锥高$OC$的长为$2\sqrt{2}$。
【知识点】
弧长计算，圆锥展开图性质，勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题，解题关键是理清圆锥侧面展开扇形和底面圆的对应关系，结合基础公式即可求解，主要考查对公式的理解和应用能力。
【难度系数】
0.75
(1) 求$\overset{\frown}{AB}$的长时，已知扇形的半径和圆心角，直接套用弧长公式即可求解。
(2) 求圆锥的高$OC$时，首先要明确圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，先通过弧长计算出底面半径$OA$的长度，再结合圆锥的母线、底面半径、高恰好构成直角三角形，利用勾股定理即可求出高$OC$的长度。
【解析】
(1) 已知扇形半径$CA=3$，圆心角$∠ ACB=120°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），可得：
$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{120π×3}{180}=2π$。
(2) 设圆锥底面圆的半径$OA=r$，由于圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，因此有：
$2π r=2π$，解得$r=1$。
在$Rt△ AOC$中，$∠ AOC=90°$，母线$AC=3$，$AO=1$，由勾股定理可得：
$OC=\sqrt{AC^2-AO^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{AB}$的长为$2π$；(2) 圆锥高$OC$的长为$2\sqrt{2}$。
【知识点】
弧长计算，圆锥展开图性质，勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题，解题关键是理清圆锥侧面展开扇形和底面圆的对应关系，结合基础公式即可求解，主要考查对公式的理解和应用能力。
【难度系数】
0.75
