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9 将抛物线 $y=2x^2$ 先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线对应的函数解析式为 （
A.$y=2(x+3)^2 -1$
B.$y=2(x-3)^2 -1$
C.$y=2(x+3)^2 +1$
D.$y=2(x-3)^2 +1$
A
）A.$y=2(x+3)^2 -1$
B.$y=2(x-3)^2 -1$
C.$y=2(x+3)^2 +1$
D.$y=2(x-3)^2 +1$
答案
A
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”：其中“左加右减”是针对自变量$x$的操作，即向左平移$m$个单位，将原式中$x$替换为$(x+m)$，向右平移$m$个单位，将$x$替换为$(x-m)$；“上加下减”是针对整个函数解析式的操作，即向上平移$n$个单位就在解析式末尾加$n$，向下平移$n$个单位就在解析式末尾减$n$。我们按照题目给出的平移顺序分步计算即可得到新抛物线的解析式。
【解析】
已知原抛物线对应的函数解析式为$y=2x^2$：
1. 第一步向左平移3个单位长度：根据“左加”原则，将解析式中的$x$替换为$(x+3)$，得到平移后的解析式为$y=2(x+3)^2$；
2. 第二步向下平移1个单位长度：根据“下减”原则，在上述解析式末尾减去1，得到最终的新抛物线解析式为$y=2(x+3)^2 -1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数解析式的确定
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数图象平移的基本规则，解题的关键是准确区分“左加右减”是针对自变量$x$的变化，不要混淆平移方向对应的加减操作，牢记规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”：其中“左加右减”是针对自变量$x$的操作，即向左平移$m$个单位，将原式中$x$替换为$(x+m)$，向右平移$m$个单位，将$x$替换为$(x-m)$；“上加下减”是针对整个函数解析式的操作，即向上平移$n$个单位就在解析式末尾加$n$，向下平移$n$个单位就在解析式末尾减$n$。我们按照题目给出的平移顺序分步计算即可得到新抛物线的解析式。
【解析】
已知原抛物线对应的函数解析式为$y=2x^2$：
1. 第一步向左平移3个单位长度：根据“左加”原则，将解析式中的$x$替换为$(x+3)$，得到平移后的解析式为$y=2(x+3)^2$；
2. 第二步向下平移1个单位长度：根据“下减”原则，在上述解析式末尾减去1，得到最终的新抛物线解析式为$y=2(x+3)^2 -1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数解析式的确定
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数图象平移的基本规则，解题的关键是准确区分“左加右减”是针对自变量$x$的变化，不要混淆平移方向对应的加减操作，牢记规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10 将抛物线 $y=2(x-1)^2+3$ 关于y轴作对称变换后，再向上平移2个单位长度，则得到的新抛物线对应的函数解析式为
$y=2x^2+4x+7$
。答案
$y=2x^2+4x+7$
解析
【分析】
解决本题可从二次函数图象变换的核心规律入手：二次函数图象进行平移、对称变换时，二次项系数$a$保持不变，图象的变换等价于顶点的变换。首先确定原抛物线的顶点坐标，再根据“关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变”得到对称后的顶点坐标，写出对称后的抛物线顶点式；接着根据“向上平移纵坐标加”的平移规律得到平移后的顶点式，最后展开为一般式即可得到所求解析式。
【解析】
解：已知原抛物线解析式为$y=2(x-1)^2+3$，属于顶点式，其二次项系数$a=2$，顶点坐标为$(1,3)$。
1. 关于y轴作对称变换：
关于y轴对称的点横坐标变为相反数，纵坐标不变，因此对称后抛物线的顶点坐标为$(-1,3)$，且$a$不变，故对称后的抛物线解析式为$y=2(x+1)^2+3$。
2. 向上平移2个单位长度：
根据二次函数平移规律“上加下减（常数项）”，向上平移2个单位即在解析式末尾加2，可得平移后的解析式为：
$y=2(x+1)^2+3+2=2(x+1)^2+5$
3. 展开为一般式：
$y=2(x^2+2x+1)+5=2x^2+4x+2+5=2x^2+4x+7$
【答案】
$y=2x^2+4x+7$
【知识点】
二次函数图象变换；关于y轴对称的坐标规律；二次函数顶点式化一般式
【点评】
本题考查二次函数的图象变换相关知识，解题时通过跟踪顶点坐标的变化来推导解析式更为简便，不易出错。需熟练掌握对称点的坐标特征和平移的“左加右减，上加下减”规律，注意变换过程中二次项系数始终不变。
【难度系数】
0.7
解决本题可从二次函数图象变换的核心规律入手：二次函数图象进行平移、对称变换时，二次项系数$a$保持不变，图象的变换等价于顶点的变换。首先确定原抛物线的顶点坐标，再根据“关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变”得到对称后的顶点坐标，写出对称后的抛物线顶点式；接着根据“向上平移纵坐标加”的平移规律得到平移后的顶点式，最后展开为一般式即可得到所求解析式。
【解析】
解：已知原抛物线解析式为$y=2(x-1)^2+3$，属于顶点式，其二次项系数$a=2$，顶点坐标为$(1,3)$。
1. 关于y轴作对称变换：
关于y轴对称的点横坐标变为相反数，纵坐标不变，因此对称后抛物线的顶点坐标为$(-1,3)$，且$a$不变，故对称后的抛物线解析式为$y=2(x+1)^2+3$。
2. 向上平移2个单位长度：
根据二次函数平移规律“上加下减（常数项）”，向上平移2个单位即在解析式末尾加2，可得平移后的解析式为：
$y=2(x+1)^2+3+2=2(x+1)^2+5$
3. 展开为一般式：
$y=2(x^2+2x+1)+5=2x^2+4x+2+5=2x^2+4x+7$
【答案】
$y=2x^2+4x+7$
【知识点】
二次函数图象变换；关于y轴对称的坐标规律；二次函数顶点式化一般式
【点评】
本题考查二次函数的图象变换相关知识，解题时通过跟踪顶点坐标的变化来推导解析式更为简便，不易出错。需熟练掌握对称点的坐标特征和平移的“左加右减，上加下减”规律，注意变换过程中二次项系数始终不变。
【难度系数】
0.7
11 将抛物线$y=-x^2+4x-3$先向左平移1个单位长度，再关于x轴作对称变换，求变换后的抛物线对应的函数解析式。
答案
$\because y=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$,$\therefore$ 将抛物线 $y=-x^2+4x-3$ 向左平移 1 个单位长度后对应的函数解析式为$y=-(x-1)^2+1$,再关于 $x$ 轴作对称变换后得到的抛物线对应的函数解析式为$y=(x-1)^2-1$,即$y=x^2-2x$
解析
【分析】
解决二次函数图象变换类问题，通常先将一般式化为顶点式，便于通过顶点的变化确定解析式变化：①首先对原二次函数配方得到顶点式，确定其顶点坐标；②根据“左加右减”的平移规律，计算向左平移1个单位后的顶点坐标，写出平移后的函数解析式；③关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标变为相反数，据此对平移后的解析式作变形，整理即可得到最终结果。
【解析】
首先将原抛物线解析式化为顶点式：
$y=-x^2+4x-3=-(x^2-4x)-3=-(x^2-4x+4-4)-3=-(x-2)^2+1$
根据平移“左加右减”的规律，向左平移1个单位长度，即将解析式中$x$替换为$x+1$，得平移后的解析式：
$y=-(x+1-2)^2+1=-(x-1)^2+1$
关于x轴作对称变换时，同一x对应的新函数值是原函数值的相反数，即把解析式中的$y$替换为$-y$，得：
$-y=-(x-1)^2+1$
两边同乘$-1$整理得：
$y=(x-1)^2-1=x^2-2x+1-1=x^2-2x$
【答案】
$y=x^2-2x$
【知识点】
二次函数的图象平移；二次函数的对称变换；二次函数一般式与顶点式互化
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，核心是掌握平移和对称的变换规律，借助顶点式分析顶点的变化能更直观地推导解析式，有效避免符号错误。
【难度系数】
0.7
解决二次函数图象变换类问题，通常先将一般式化为顶点式，便于通过顶点的变化确定解析式变化：①首先对原二次函数配方得到顶点式，确定其顶点坐标；②根据“左加右减”的平移规律，计算向左平移1个单位后的顶点坐标，写出平移后的函数解析式；③关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标变为相反数，据此对平移后的解析式作变形，整理即可得到最终结果。
【解析】
首先将原抛物线解析式化为顶点式：
$y=-x^2+4x-3=-(x^2-4x)-3=-(x^2-4x+4-4)-3=-(x-2)^2+1$
根据平移“左加右减”的规律，向左平移1个单位长度，即将解析式中$x$替换为$x+1$，得平移后的解析式：
$y=-(x+1-2)^2+1=-(x-1)^2+1$
关于x轴作对称变换时，同一x对应的新函数值是原函数值的相反数，即把解析式中的$y$替换为$-y$，得：
$-y=-(x-1)^2+1$
两边同乘$-1$整理得：
$y=(x-1)^2-1=x^2-2x+1-1=x^2-2x$
【答案】
$y=x^2-2x$
【知识点】
二次函数的图象平移；二次函数的对称变换；二次函数一般式与顶点式互化
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，核心是掌握平移和对称的变换规律，借助顶点式分析顶点的变化能更直观地推导解析式，有效避免符号错误。
【难度系数】
0.7
12 在平面直角坐标系中，二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象的顶点坐标是(1,3)，当 $ x ＞ 1 $ 时，y 随 x 的增大而增大，则该二次函数的解析式可以为 (
A.$ y = -2(x + 1)^2 + 3 $
B.$ y = 2(x + 1)^2 + 3 $
C.$ y = -2(x - 1)^2 + 3 $
D.$ y = 2(x - 1)^2 + 3 $
D
)A.$ y = -2(x + 1)^2 + 3 $
B.$ y = 2(x + 1)^2 + 3 $
C.$ y = -2(x - 1)^2 + 3 $
D.$ y = 2(x - 1)^2 + 3 $
答案
D
解析
【分析】
解题时首先结合已知的顶点坐标，优先利用二次函数顶点式的结构特征筛选选项：二次函数顶点式为$ y=a(x-h)^2+k $（$ a≠0 $），其中(h,k)为顶点坐标，据此可先排除顶点坐标不符合的选项；再根据x＞1时的增减性判断开口方向：对称轴右侧y随x增大而增大说明开口向上，即a＞0，进一步筛选即可得到正确答案。
【解析】
1. 利用顶点坐标筛选：二次函数顶点式为$ y = a(x - h)^2 + k $（$ a≠0 $），顶点坐标为$ (h,k) $。已知题中函数顶点为(1,3)，因此解析式需满足$ h=1 $，$ k=3 $，即形式为$ y=a(x-1)^2+3 $。
观察选项：A、B的解析式为$ y=a(x+1)^2+3 $，对应顶点横坐标为-1，不符合要求，排除A、B。
2. 利用增减性筛选：当x＞1时y随x的增大而增大，说明二次函数开口向上，即二次项系数$ a＞0 $。
观察剩余选项：C选项$ a=-2＜0 $，开口向下，不符合要求，排除C；D选项$ a=2＞0 $，开口向上，符合所有条件。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数开口方向与a的关系
【点评】
本题考查二次函数的基本性质，解题核心是掌握顶点式中各参数与顶点坐标、开口方向的对应关系，结合增减性判断开口方向即可快速解题，属于基础常规题。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知的顶点坐标，优先利用二次函数顶点式的结构特征筛选选项：二次函数顶点式为$ y=a(x-h)^2+k $（$ a≠0 $），其中(h,k)为顶点坐标，据此可先排除顶点坐标不符合的选项；再根据x＞1时的增减性判断开口方向：对称轴右侧y随x增大而增大说明开口向上，即a＞0，进一步筛选即可得到正确答案。
【解析】
1. 利用顶点坐标筛选：二次函数顶点式为$ y = a(x - h)^2 + k $（$ a≠0 $），顶点坐标为$ (h,k) $。已知题中函数顶点为(1,3)，因此解析式需满足$ h=1 $，$ k=3 $，即形式为$ y=a(x-1)^2+3 $。
观察选项：A、B的解析式为$ y=a(x+1)^2+3 $，对应顶点横坐标为-1，不符合要求，排除A、B。
2. 利用增减性筛选：当x＞1时y随x的增大而增大，说明二次函数开口向上，即二次项系数$ a＞0 $。
观察剩余选项：C选项$ a=-2＜0 $，开口向下，不符合要求，排除C；D选项$ a=2＞0 $，开口向上，符合所有条件。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数开口方向与a的关系
【点评】
本题考查二次函数的基本性质，解题核心是掌握顶点式中各参数与顶点坐标、开口方向的对应关系，结合增减性判断开口方向即可快速解题，属于基础常规题。
【难度系数】
0.8
13 已知抛物线 $ y = ax^2 + 4x + m $ 与抛物线 $ y = -2x^2 $ 的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的纵坐标为1，则该抛物线对应的函数解析式为 （
A.$ y = -2x^2 + 4x - 2 $
B.$ y = 2x^2 + 4x + 1 $
C.$ y = 2x^2 + 4x + 2 $
D.$ y = -2x^2 + 4x - 1 $
D
）A.$ y = -2x^2 + 4x - 2 $
B.$ y = 2x^2 + 4x + 1 $
C.$ y = 2x^2 + 4x + 2 $
D.$ y = -2x^2 + 4x - 1 $
答案
D
解析
【分析】
解题时可按两步思考：①先根据“两抛物线形状、开口方向相同”的条件，回忆二次项系数的性质：二次项系数a决定抛物线的开口方向和形状，因此两个抛物线形状、开口方向相同时a值相等，可先求出a的数值，排除a值不符的选项；②已知抛物线有最高点，说明开口向下，最高点纵坐标就是顶点的纵坐标，可利用二次函数顶点纵坐标公式，代入已知的a、b值和顶点纵坐标，求解未知参数m，即可得到函数解析式，也可通过代入剩余选项验证顶点纵坐标是否符合要求得到答案。
【解析】
1. 确定二次项系数a：
∵ 抛物线$y = ax^2 + 4x + m$与$y = -2x^2$形状、开口方向相同，二次项系数决定抛物线的开口方向和形状，
∴ $a = -2$，因此选项B、C中a=2不符合要求，排除。
2. 求参数m：
此时抛物线解析式为$y = -2x^2 + 4x + m$，该抛物线开口向下，最高点即为顶点，顶点纵坐标为1。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点纵坐标公式为$\frac{4ac - b^2}{4a}$，代入$a=-2$，$b=4$，$c=m$，顶点纵坐标为1，可得：
$\frac{4×(-2)× m - 4^2}{4×(-2)} = 1$
化简计算：
$\frac{-8m - 16}{-8} = 1$
$m + 2 = 1$
解得$m = -1$。
因此抛物线解析式为$y = -2x^2 + 4x - 1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 二次函数顶点坐标公式
3. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是先通过抛物线的形状、开口特征确定二次项系数，再结合顶点坐标的性质求解未知参数，需要熟练掌握二次项系数的意义和顶点坐标的计算方法，也可通过排除法快速缩小选项范围提高解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时可按两步思考：①先根据“两抛物线形状、开口方向相同”的条件，回忆二次项系数的性质：二次项系数a决定抛物线的开口方向和形状，因此两个抛物线形状、开口方向相同时a值相等，可先求出a的数值，排除a值不符的选项；②已知抛物线有最高点，说明开口向下，最高点纵坐标就是顶点的纵坐标，可利用二次函数顶点纵坐标公式，代入已知的a、b值和顶点纵坐标，求解未知参数m，即可得到函数解析式，也可通过代入剩余选项验证顶点纵坐标是否符合要求得到答案。
【解析】
1. 确定二次项系数a：
∵ 抛物线$y = ax^2 + 4x + m$与$y = -2x^2$形状、开口方向相同，二次项系数决定抛物线的开口方向和形状，
∴ $a = -2$，因此选项B、C中a=2不符合要求，排除。
2. 求参数m：
此时抛物线解析式为$y = -2x^2 + 4x + m$，该抛物线开口向下，最高点即为顶点，顶点纵坐标为1。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点纵坐标公式为$\frac{4ac - b^2}{4a}$，代入$a=-2$，$b=4$，$c=m$，顶点纵坐标为1，可得：
$\frac{4×(-2)× m - 4^2}{4×(-2)} = 1$
化简计算：
$\frac{-8m - 16}{-8} = 1$
$m + 2 = 1$
解得$m = -1$。
因此抛物线解析式为$y = -2x^2 + 4x - 1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 二次函数顶点坐标公式
3. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是先通过抛物线的形状、开口特征确定二次项系数，再结合顶点坐标的性质求解未知参数，需要熟练掌握二次项系数的意义和顶点坐标的计算方法，也可通过排除法快速缩小选项范围提高解题效率。
【难度系数】
0.7
14 若二次函数$y=ax^2+bx+c$图象的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，则这个二次函数的解析式可以是
答案不唯一，如$y=-x^2+1$
。答案
答案不唯一,如$y=-x^2+1$
解析
【分析】
要写出符合条件的二次函数解析式，需先根据题干给出的图象特征确定系数a、b、c的取值范围：首先，二次函数对称轴左侧部分上升，说明抛物线开口向下，可得a＜0；其次，顶点在y轴上说明对称轴为y轴（x=0），结合对称轴公式可推出b=0；最后，顶点在y轴正半轴上，说明x=0时函数值c＞0。满足以上三个条件的解析式均符合要求，任取一组符合条件的a、c即可写出答案。
【解析】
1. 由二次函数对称轴左侧的部分是上升的，可知抛物线开口向下，因此$\boldsymbol{a＜0}$；
2. 由顶点在y轴上，可知抛物线对称轴为$x=0$，代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=0$，由于$a≠0$，因此$\boldsymbol{b=0}$；
3. 由顶点在y轴正半轴上，可知当$x=0$时，$y=c＞0$，因此$\boldsymbol{c＞0}$。
只要满足$a＜0$、$b=0$、$c＞0$的二次函数均符合题意，例如取$a=-1$，$c=1$，即可得到解析式$y=-x^2+1$。
【答案】
答案不唯一，如$y=-x^2+1$
【知识点】
二次函数图象性质、二次函数对称轴、二次函数顶点特征
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对二次函数核心性质的理解与运用，解题时只需根据图象特征依次确定各项系数的取值范围，就能快速写出符合要求的解析式，要注意避免混淆开口方向和系数的对应关系。
【难度系数】
0.75
要写出符合条件的二次函数解析式，需先根据题干给出的图象特征确定系数a、b、c的取值范围：首先，二次函数对称轴左侧部分上升，说明抛物线开口向下，可得a＜0；其次，顶点在y轴上说明对称轴为y轴（x=0），结合对称轴公式可推出b=0；最后，顶点在y轴正半轴上，说明x=0时函数值c＞0。满足以上三个条件的解析式均符合要求，任取一组符合条件的a、c即可写出答案。
【解析】
1. 由二次函数对称轴左侧的部分是上升的，可知抛物线开口向下，因此$\boldsymbol{a＜0}$；
2. 由顶点在y轴上，可知抛物线对称轴为$x=0$，代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=0$，由于$a≠0$，因此$\boldsymbol{b=0}$；
3. 由顶点在y轴正半轴上，可知当$x=0$时，$y=c＞0$，因此$\boldsymbol{c＞0}$。
只要满足$a＜0$、$b=0$、$c＞0$的二次函数均符合题意，例如取$a=-1$，$c=1$，即可得到解析式$y=-x^2+1$。
【答案】
答案不唯一，如$y=-x^2+1$
【知识点】
二次函数图象性质、二次函数对称轴、二次函数顶点特征
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对二次函数核心性质的理解与运用，解题时只需根据图象特征依次确定各项系数的取值范围，就能快速写出符合要求的解析式，要注意避免混淆开口方向和系数的对应关系。
【难度系数】
0.75
15 如图，抛物线$y=2x^2+bx+c$与y轴交于点C(0,1)，过点C的直线MN//x轴，且与抛物线的另一个交点为D(-2,n)，则此抛物线对应的函数解析式为
$y=2x^2+4x+1$
。答案
$y=2x^2+4x+1$
解析
【分析】
要确定抛物线的解析式，已知解析式中只有b、c两个未知系数，需找到两个满足解析式的点的坐标代入求解。首先根据平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，结合点C的坐标可求出点D的纵坐标，得到D点完整坐标，再将C、D两点坐标代入抛物线解析式，即可求出b、c的值，得到函数解析式。
【解析】
∵ 直线MN//x轴，点C(0,1)、D(-2,n)都在MN上，
∴ 点C和点D的纵坐标相等，即n=1，
∴ 点D的坐标为(-2,1)。
将点C(0,1)代入抛物线$y=2x^2+bx+c$，得：
$1=2×0^2 + b×0 + c$，解得$c=1$。
将点D(-2,1)、$c=1$代入抛物线$y=2x^2+bx+c$，得：
$1=2×(-2)^2 + b×(-2) + 1$，
整理得：$1=8 - 2b + 1$，
解得：$b=4$。
∴ 此抛物线对应的函数解析式为$y=2x^2+4x+1$。
【答案】
$y=2x^2+4x+1$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 平行于x轴的直线的坐标特征
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是先利用平行线的坐标性质得到完整的已知点坐标，再代入解析式求解未知系数，熟练掌握相关性质和待定系数法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要确定抛物线的解析式，已知解析式中只有b、c两个未知系数，需找到两个满足解析式的点的坐标代入求解。首先根据平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，结合点C的坐标可求出点D的纵坐标，得到D点完整坐标，再将C、D两点坐标代入抛物线解析式，即可求出b、c的值，得到函数解析式。
【解析】
∵ 直线MN//x轴，点C(0,1)、D(-2,n)都在MN上，
∴ 点C和点D的纵坐标相等，即n=1，
∴ 点D的坐标为(-2,1)。
将点C(0,1)代入抛物线$y=2x^2+bx+c$，得：
$1=2×0^2 + b×0 + c$，解得$c=1$。
将点D(-2,1)、$c=1$代入抛物线$y=2x^2+bx+c$，得：
$1=2×(-2)^2 + b×(-2) + 1$，
整理得：$1=8 - 2b + 1$，
解得：$b=4$。
∴ 此抛物线对应的函数解析式为$y=2x^2+4x+1$。
【答案】
$y=2x^2+4x+1$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 平行于x轴的直线的坐标特征
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是先利用平行线的坐标性质得到完整的已知点坐标，再代入解析式求解未知系数，熟练掌握相关性质和待定系数法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
16 已知二次函数在 $x=\frac{3}{2}$ 时有最小值 $-\frac{1}{4}$，且其图象经过点 (0,2)，求该二次函数的解析式。
答案
由题意,可设该二次函数的解析式为$y=a(x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}(a≠0)$.将$(0,2)$代入,得$\frac{9}{4}a-\frac{1}{4}=2$,解得$a=1$.$\therefore y=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}=x^2-3x+2$
解析
【分析】
题目明确给出了二次函数取最值时的x值和最值，即二次函数的顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{1}{4})$，因此优先选择顶点式设解析式简化计算。解题思路如下：第一步，根据顶点坐标设出二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，代入顶点的横、纵坐标得到含参数a的解析式；第二步，将已知经过的点$(0,2)$代入所设解析式，得到关于a的一元一次方程，求解得到a的值；第三步，将a代入顶点式，整理为一般式即可得到最终解析式。
【解析】
解：$\because$ 二次函数在$x=\frac{3}{2}$时有最小值$-\frac{1}{4}$，
$\therefore$ 该二次函数的顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{1}{4})$，
$\therefore$ 可设二次函数的解析式为$y=a(x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}(a≠0)$，
将点$(0,2)$代入解析式，得：
$a×(0-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}=2$，
即$\frac{9}{4}a-\frac{1}{4}=2$，
解得$a=1$，
将$a=1$代入所设解析式，得：
$y=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}=x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{1}{4}=x^2-3x+2$。
【答案】
$y=x^2-3x+2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式；2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是根据已知条件灵活选择解析式的形式，已知顶点相关条件时选用顶点式可大幅降低计算量，代入点计算时要注意运算准确性。
【难度系数】
0.8
题目明确给出了二次函数取最值时的x值和最值，即二次函数的顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{1}{4})$，因此优先选择顶点式设解析式简化计算。解题思路如下：第一步，根据顶点坐标设出二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，代入顶点的横、纵坐标得到含参数a的解析式；第二步，将已知经过的点$(0,2)$代入所设解析式，得到关于a的一元一次方程，求解得到a的值；第三步，将a代入顶点式，整理为一般式即可得到最终解析式。
【解析】
解：$\because$ 二次函数在$x=\frac{3}{2}$时有最小值$-\frac{1}{4}$，
$\therefore$ 该二次函数的顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{1}{4})$，
$\therefore$ 可设二次函数的解析式为$y=a(x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}(a≠0)$，
将点$(0,2)$代入解析式，得：
$a×(0-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}=2$，
即$\frac{9}{4}a-\frac{1}{4}=2$，
解得$a=1$，
将$a=1$代入所设解析式，得：
$y=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}=x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{1}{4}=x^2-3x+2$。
【答案】
$y=x^2-3x+2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式；2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是根据已知条件灵活选择解析式的形式，已知顶点相关条件时选用顶点式可大幅降低计算量，代入点计算时要注意运算准确性。
【难度系数】
0.8
17 如图，抛物线$y=x^2+(b-1)x+c$经过点$P(-1,-2b)$，且$b+c=-2$。过点$P$作直线$PA⊥ y$轴，交$y$轴于点$A$，交抛物线于另一点$B$（点$B$在点$P$的左侧），且$BP=2PA$。求这条抛物线对应的函数解析式。
答案
由$P(-1,-2b)$,点 A 在 y 轴上,$PA⊥ y$轴,可得$PA=1$.
又$\because BP=2PA$,$\therefore BP=2$.$\because$ 点 B 在点 P 的左侧,$\therefore$ 点 B 的横坐标为$-3$.由抛物线的对称性,可知其对称轴为直线$x=-2$.$\therefore -\frac{b-1}{2}=-2$,解得$b=5$.又$\because b+c=-2$,$\therefore c=-7$.
$\therefore$ 这条抛物线对应的函数解析式为$y=x^2+4x-7$
又$\because BP=2PA$,$\therefore BP=2$.$\because$ 点 B 在点 P 的左侧,$\therefore$ 点 B 的横坐标为$-3$.由抛物线的对称性,可知其对称轴为直线$x=-2$.$\therefore -\frac{b-1}{2}=-2$,解得$b=5$.又$\because b+c=-2$,$\therefore c=-7$.
$\therefore$ 这条抛物线对应的函数解析式为$y=x^2+4x-7$
解析
【分析】
解题时先从点P的坐标和PA⊥y轴的条件入手，先求出PA的长度，结合BP=2PA推出点B的横坐标；由于点B和点P纵坐标相同，均在平行于x轴的直线上，根据二次函数的对称性，两点关于抛物线的对称轴对称，由此求出抛物线的对称轴，再利用二次函数对称轴公式列方程求出b的值，最后结合b+c=-2的条件求出c的值，代入即可得到抛物线解析式。
【解析】
已知点$P(-1,-2b)$，$PA⊥y$轴且点A在y轴上，因此PA的长度为点P横坐标的绝对值，即$PA=1$。
$\because BP=2PA$，$\therefore BP=2×1=2$，又$\because$点B在点P左侧，且PB平行于x轴，$\therefore$点B的横坐标为$-1-2=-3$。
由于点B、P是抛物线上纵坐标相等的两个点，根据二次函数的对称性，抛物线的对称轴为线段BP的垂直平分线，即对称轴为直线$x=\frac{-3+(-1)}{2}=-2$。
对于抛物线$y=x^2+(b-1)x+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b-1}{2a}$（其中$a=1$），代入对称轴得：
$-\frac{b-1}{2}=-2$
解得$b=5$。
又$\because b+c=-2$，将$b=5$代入得$5+c=-2$，解得$c=-7$。
将$b=5$、$c=-7$代入抛物线原式，得$y=x^2+(5-1)x-7=x^2+4x-7$。
【答案】
$y=x^2+4x-7$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴公式；待定系数法求解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的典型题型，解题核心是利用平行于x轴的直线与抛物线两交点的对称性求出对称轴，再结合已知条件求解参数，侧重对二次函数基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
解题时先从点P的坐标和PA⊥y轴的条件入手，先求出PA的长度，结合BP=2PA推出点B的横坐标；由于点B和点P纵坐标相同，均在平行于x轴的直线上，根据二次函数的对称性，两点关于抛物线的对称轴对称，由此求出抛物线的对称轴，再利用二次函数对称轴公式列方程求出b的值，最后结合b+c=-2的条件求出c的值，代入即可得到抛物线解析式。
【解析】
已知点$P(-1,-2b)$，$PA⊥y$轴且点A在y轴上，因此PA的长度为点P横坐标的绝对值，即$PA=1$。
$\because BP=2PA$，$\therefore BP=2×1=2$，又$\because$点B在点P左侧，且PB平行于x轴，$\therefore$点B的横坐标为$-1-2=-3$。
由于点B、P是抛物线上纵坐标相等的两个点，根据二次函数的对称性，抛物线的对称轴为线段BP的垂直平分线，即对称轴为直线$x=\frac{-3+(-1)}{2}=-2$。
对于抛物线$y=x^2+(b-1)x+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b-1}{2a}$（其中$a=1$），代入对称轴得：
$-\frac{b-1}{2}=-2$
解得$b=5$。
又$\because b+c=-2$，将$b=5$代入得$5+c=-2$，解得$c=-7$。
将$b=5$、$c=-7$代入抛物线原式，得$y=x^2+(5-1)x-7=x^2+4x-7$。
【答案】
$y=x^2+4x-7$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴公式；待定系数法求解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的典型题型，解题核心是利用平行于x轴的直线与抛物线两交点的对称性求出对称轴，再结合已知条件求解参数，侧重对二次函数基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
