1.如图1,一只蚂蚁要从圆柱下底面的点A爬到上底面的点B处,求它爬行的最短距离.已知圆柱底面圆半径为R,高度AC为h.小明同学在研究这个问题时,提出了两种可供选择的方案.方案1:沿A→C→B爬行;方案2:沿圆柱侧面展开图中的线段AB爬行,如图2.(π取3)
(1)当R=1,h=4时,方案的爬行距离更短.
(2)当R=1,h=1时,方案的爬行距离更短.

1.答案 (1)2 (2)1
解析 (1)方案1:爬行距离=AC+BC=4+2=6,方案2:易知BD=3,AB²=AD²+BD²=4²+3²=25=5²,所以爬行距离=AB=5,5＜6,故方案2的爬行距离更短.
(2)方案1:爬行距离=AC+BC=1+2=3,方案2:易知BD=3,AB²=AD²+BD²=1²+3²=10,爬行距离=AB的长,10＞9=3²,故方案1的爬行距离更短.

2.如图,已知圆柱底面圆的周长为6 dm,圆柱的高为4 dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝周长的最小值为 dm.

2.答案 10
解析 如图,把圆柱的侧面展开,得到长方形,则这圈金属丝的周长最小值为AC长的两倍.因为圆柱底面圆的周长为6 dm,圆柱的高为4 dm,所以AB=4 dm,BC=BC'=3 dm,所以AC²=4²+3²=25=5²,所以AC=5 dm,所以这圈金属丝周长的最小值为2AC=10 dm.

3.如图,圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm,底面周长为16 cm,在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿1 cm且与蜂蜜相对的点B处,则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为cm.(杯壁厚度不计)

3.答案 10
解析 如图,将玻璃杯侧面展开(展开图的一半),作B关于EF的对称点B',作B'D⊥AE,交AE的延长线于点D,连接AB',
由题意得DE=1/2 BB'=1 cm,AE=9-4=5(cm),
所以AD=AE+DE=6 cm,因为底面周长为16 cm,所以B'D=1/2×16=8(cm),所以AB'=10 cm,由两点之间线段最短可知,蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB'=10 cm.故答案为10.

4.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,一丈是十尺,该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处(点B在点A正上方),则葛藤的最短长度是.

4.答案 25尺
解析 圆柱的侧面展开图如图所示,葛藤自点A处缠绕而上到达点B处的最短长度为5倍的AC的长,易知CD=1/5×20=4(尺),AD=3尺,由勾股定理得AC²=AD²+CD²=3²+4²=25=5²,所以AC=5尺,所以葛藤的最短长度是5×5=25(尺).

5.如图,长方体的长和宽分别为3 cm和1 cm,高为6 cm.如果用一根细线从点A处开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B处,那么所用细线的最短长度是cm.

5.答案 10
解析 如图,将长方体的侧面展开,连接AB',由题意可知AA'=3+1+3+1=8(cm),A'B'=6 cm,由勾股定理可知AB'²=8²+6²=100=10²,所以AB'=10 cm,所以所用细线的最短长度是10 cm.

6.数学老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时提出了以下问题.设下面问题中蚂蚁爬行的最短路程为a,请你根据下面所给的条件分别求出$a^2$的值.
(1)如图1,正方体的棱长为5 cm,一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点$C_1$处.
(2)如图2,长方体的长和宽都为5 cm,高为6 cm,一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点$C_1$处.
(3)如图3,长方体的长、宽、高分别是6 cm,5 cm和3 cm.一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到顶点B处.

6.解析 (1)将正方体的部分表面展开,如图1所示,连接AC₁,由勾股定理可知AC₁²=AC²+CC₁²=(5+5)²+5²=125,则a²的值为125.

(2)将长方体的部分表面展开,蚂蚁的爬行路线有3种:
如图2,AC₁²=AB²+BC₁²=5²+(5+6)²=146,
如图3,AC₁²=AC²+CC₁²=(5+5)²+6²=136,
如图4,AC₁²=AB₁²+B₁C₁²=(6+5)²+5²=146,
因为136＜146,所以a²的值为136.

(3)将长方体的部分表面展开,蚂蚁的爬行路线有3种:
如图5,AB²=(5+3)²+6²=100,
如图6,AB²=(5+6)²+3²=130,
如图7,AB²=(3+6)²+5²=106,
因为100＜106＜130,所以a²的值为100.